MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccmax 13400
Description: The closed interval from minus to plus infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iccmax (-∞[,]+∞) = ℝ*

Proof of Theorem iccmax
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11271 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
2 pnfxr 11268 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
3 iccval 13363 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞[,]+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ +∞)})
41, 2, 3mp2an 691 . 2 (-∞[,]+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ +∞)}
5 rabid2 3465 . . 3 (ℝ* = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ +∞)} ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ +∞))
6 mnfle 13114 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑥)
7 pnfge 13110 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≤ +∞)
86, 7jca 513 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ +∞))
95, 8mprgbir 3069 . 2 * = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ +∞)}
104, 9eqtr4i 2764 1 (-∞[,]+∞) = ℝ*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3433   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  *cxr 11247  cle 11249  [,]cicc 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-icc 13331
This theorem is referenced by:  leordtval2  22716  lecldbas  22723
  Copyright terms: Public domain W3C validator