Theorem iccmax 13339

Description: The closed interval from minus to plus infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iccmax	⊢ (-∞[,]+∞) = ℝ*

Proof of Theorem iccmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11189	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2		pnfxr 11186	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		iccval 13300	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞[,]+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)})
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ (-∞[,]+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)}
5		rabid2 3432	. . 3 ⊢ (ℝ* = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)} ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞))
6		mnfle 13049	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑥)
7		pnfge 13044	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → 𝑥 ≤ +∞)
8	6, 7	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞))
9	5, 8	mprgbir 3058	. 2 ⊢ ℝ* = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)}
10	4, 9	eqtr4i 2762	1 ⊢ (-∞[,]+∞) = ℝ*

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  +∞cpnf 11163  -∞cmnf 11164  ℝ^*cxr 11165   ≤ cle 11167  [,]cicc 13264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-icc 13268

This theorem is referenced by:  leordtval2  23156  lecldbas  23163