Theorem iccmax 13396

Description: The closed interval from minus to plus infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iccmax	⊢ (-∞[,]+∞) = ℝ*

Proof of Theorem iccmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11267	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2		pnfxr 11264	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		iccval 13359	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞[,]+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)})
4	1, 2, 3	mp2an 690	. 2 ⊢ (-∞[,]+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)}
5		rabid2 3464	. . 3 ⊢ (ℝ* = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)} ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞))
6		mnfle 13110	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑥)
7		pnfge 13106	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → 𝑥 ≤ +∞)
8	6, 7	jca 512	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞))
9	5, 8	mprgbir 3068	. 2 ⊢ ℝ* = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)}
10	4, 9	eqtr4i 2763	1 ⊢ (-∞[,]+∞) = ℝ*

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245  [,]cicc 13323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-icc 13327

This theorem is referenced by:  leordtval2  22707  lecldbas  22714