Theorem iccmax 13451

Description: The closed interval from minus to plus infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iccmax	⊢ (-∞[,]+∞) = ℝ*

Proof of Theorem iccmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11267	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2		pnfxr 11264	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		iccval 13412	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞[,]+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)})
4	1, 2, 3	mp2an 704	. 2 ⊢ (-∞[,]+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)}
5		rabid2 3449	. . 3 ⊢ (ℝ* = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)} ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞))
6		mnfle 13161	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑥)
7		pnfge 13156	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → 𝑥 ≤ +∞)
8	6, 7	jca 520	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞))
9	5, 8	mprgbir 3086	. 2 ⊢ ℝ* = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)}
10	4, 9	eqtr4i 2789	1 ⊢ (-∞[,]+∞) = ℝ*

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245  [,]cicc 13376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-icc 13380

This theorem is referenced by:  leordtval2  23350  lecldbas  23357