MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioomax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioomax 12801
Description: The open interval from minus to plus infinity. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioomax (-∞(,)+∞) = ℝ

Proof of Theorem ioomax
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10687 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
2 pnfxr 10684 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
3 iooval2 12761 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥𝑥 < +∞)})
41, 2, 3mp2an 688 . 2 (-∞(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥𝑥 < +∞)}
5 rabid2 3382 . . 3 (ℝ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥𝑥 < +∞)} ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (-∞ < 𝑥𝑥 < +∞))
6 mnflt 12508 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
7 ltpnf 12505 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
86, 7jca 512 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥𝑥 < +∞))
95, 8mprgbir 3153 . 2 ℝ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥𝑥 < +∞)}
104, 9eqtr4i 2847 1 (-∞(,)+∞) = ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3142   class class class wbr 5058  (class class class)co 7145  cr 10525  +∞cpnf 10661  -∞cmnf 10662  *cxr 10663   < clt 10664  (,)cioo 12728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ioo 12732
This theorem is referenced by:  unirnioo  12827  resup  13225  reordt  21756  icopnfcld  23305  iocmnfcld  23306  blssioo  23332  reconnlem1  23363  ioombl1  24092  ioombl  24095  mbfdm  24156  ismbf  24158  ismbf2d  24170  ismbf3d  24184  tpr2rico  31055  esumcvgsum  31247  itgexpif  31777  retopsconn  32394  asindmre  34859  itgsubsticclem  42140
  Copyright terms: Public domain W3C validator