Theorem ioomax 12814

Description: The open interval from minus to plus infinity. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioomax	⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ

Proof of Theorem ioomax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 10701	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2		pnfxr 10698	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		iooval2 12774	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)})
4	1, 2, 3	mp2an 690	. 2 ⊢ (-∞(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)}
5		rabid2 3384	. . 3 ⊢ (ℝ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)} ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
6		mnflt 12521	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
7		ltpnf 12518	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
8	6, 7	jca 514	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
9	5, 8	mprgbir 3156	. 2 ⊢ ℝ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)}
10	4, 9	eqtr4i 2850	1 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {crab 3145   class class class wbr 5069  (class class class)co 7159  ℝcr 10539  +∞cpnf 10675  -∞cmnf 10676  ℝ^*cxr 10677   < clt 10678  (,)cioo 12741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-ioo 12745

This theorem is referenced by:  unirnioo  12840  resup  13238  reordt  21829  icopnfcld  23379  iocmnfcld  23380  blssioo  23406  reconnlem1  23437  ioombl1  24166  ioombl  24169  mbfdm  24230  ismbf  24232  ismbf2d  24244  ismbf3d  24258  tpr2rico  31159  esumcvgsum  31351  itgexpif  31881  retopsconn  32500  asindmre  34981  itgsubsticclem  42266