MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioomax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioomax 12790
Description: The open interval from minus to plus infinity. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioomax (-∞(,)+∞) = ℝ

Proof of Theorem ioomax
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10675 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
2 pnfxr 10672 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
3 iooval2 12749 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥𝑥 < +∞)})
41, 2, 3mp2an 691 . 2 (-∞(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥𝑥 < +∞)}
5 rabid2 3366 . . 3 (ℝ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥𝑥 < +∞)} ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (-∞ < 𝑥𝑥 < +∞))
6 mnflt 12496 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
7 ltpnf 12493 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
86, 7jca 515 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥𝑥 < +∞))
95, 8mprgbir 3141 . 2 ℝ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥𝑥 < +∞)}
104, 9eqtr4i 2847 1 (-∞(,)+∞) = ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  {crab 3130   class class class wbr 5039  (class class class)co 7130  cr 10513  +∞cpnf 10649  -∞cmnf 10650  *cxr 10651   < clt 10652  (,)cioo 12716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-ioo 12720
This theorem is referenced by:  unirnioo  12817  resup  13218  reordt  21802  icopnfcld  23352  iocmnfcld  23353  blssioo  23379  reconnlem1  23410  ioombl1  24145  ioombl  24148  mbfdm  24209  ismbf  24211  ismbf2d  24223  ismbf3d  24237  tpr2rico  31163  esumcvgsum  31355  itgexpif  31885  retopsconn  32504  asindmre  35022  itgsubsticclem  42436
  Copyright terms: Public domain W3C validator