Theorem ioomax 13450

Description: The open interval from minus to plus infinity. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioomax	⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ

Proof of Theorem ioomax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11267	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2		pnfxr 11264	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		iooval2 13406	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)})
4	1, 2, 3	mp2an 704	. 2 ⊢ (-∞(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)}
5		rabid2 3449	. . 3 ⊢ (ℝ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)} ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
6		mnflt 13149	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
7		ltpnf 13146	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
8	6, 7	jca 520	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
9	5, 8	mprgbir 3086	. 2 ⊢ ℝ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)}
10	4, 9	eqtr4i 2789	1 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244  (,)cioo 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ioo 13377

This theorem is referenced by:  unirnioo  13477  resup  13902  reordt  23356  icopnfcld  24905  iocmnfcld  24906  blssioo  24933  reconnlem1  24965  ioombl1  25702  ioombl  25705  mbfdm  25766  ismbf  25768  ismbf2d  25780  ismbf3d  25794  tpr2rico  34283  esumcvgsum  34459  itgexpif  34974  retopsconn  35722  asindmre  38335  itgsubsticclem  46672