Theorem ioomax 13455

Description: The open interval from minus to plus infinity. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioomax	⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ

Proof of Theorem ioomax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11272	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2		pnfxr 11269	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		iooval2 13411	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)})
4	1, 2, 3	mp2an 704	. 2 ⊢ (-∞(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)}
5		rabid2 3448	. . 3 ⊢ (ℝ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)} ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
6		mnflt 13154	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
7		ltpnf 13151	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
8	6, 7	jca 520	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
9	5, 8	mprgbir 3085	. 2 ⊢ ℝ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)}
10	4, 9	eqtr4i 2788	1 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {crab 3415   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  +∞cpnf 11246  -∞cmnf 11247  ℝ^*cxr 11248   < clt 11249  (,)cioo 13378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-ioo 13382

This theorem is used by:  unirnioo  13482  resup  13907  reordt  23386  icopnfcld  24935  iocmnfcld  24936  blssioo  24963  reconnlem1  24995  ioombl1  25732  ioombl  25735  mbfdm  25796  ismbf  25798  ismbf2d  25810  ismbf3d  25824  tpr2rico  34311  esumcvgsum  34487  itgexpif  35002  retopsconn  35749  asindmre  38382  itgsubsticclem  46717