MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioopos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioopos 13401
Description: The set of positive reals expressed as an open interval. (Contributed by NM, 7-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioopos (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}

Proof of Theorem ioopos
StepHypRef Expression
1 0xr 11261 . . 3 0 ∈ ℝ*
2 pnfxr 11268 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
3 iooval2 13357 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (0 < 𝑥𝑥 < +∞)})
41, 2, 3mp2an 691 . 2 (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (0 < 𝑥𝑥 < +∞)}
5 ltpnf 13100 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
65biantrud 533 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ (0 < 𝑥𝑥 < +∞)))
76rabbiia 3437 . 2 {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (0 < 𝑥𝑥 < +∞)}
84, 7eqtr4i 2764 1 (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3433   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  cr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  *cxr 11247   < clt 11248  (,)cioo 13324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioo 13328
This theorem is referenced by:  ioorp  13402  repos  13423
  Copyright terms: Public domain W3C validator