Theorem ioopos 13368

Description: The set of positive reals expressed as an open interval. (Contributed by NM, 7-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioopos	⊢ (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}

Proof of Theorem ioopos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11183	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		pnfxr 11190	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		iooval2 13322	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)})
4	1, 2, 3	mp2an 693	. 2 ⊢ (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)}
5		ltpnf 13062	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
6	5	biantrud 531	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
7	6	rabbiia 3394	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)}
8	4, 7	eqtr4i 2763	1 ⊢ (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170  (,)cioo 13289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-addrcl 11090  ax-rnegex 11100  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ioo 13293

This theorem is referenced by:  ioorp  13369  repos  13390