Theorem ioopos 13156

Description: The set of positive reals expressed as an open interval. (Contributed by NM, 7-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioopos	⊢ (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}

Proof of Theorem ioopos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11022	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		pnfxr 11029	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		iooval2 13112	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)})
4	1, 2, 3	mp2an 689	. 2 ⊢ (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)}
5		ltpnf 12856	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
6	5	biantrud 532	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
7	6	rabbiia 3407	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)}
8	4, 7	eqtr4i 2769	1 ⊢ (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009  (,)cioo 13079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-addrcl 10932  ax-rnegex 10942  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-ioo 13083

This theorem is referenced by:  ioorp  13157  repos  13178