Theorem ioopos 13340

Description: The set of positive reals expressed as an open interval. (Contributed by NM, 7-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioopos	⊢ (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}

Proof of Theorem ioopos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11179	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		pnfxr 11186	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		iooval2 13294	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)})
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)}
5		ltpnf 13034	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
6	5	biantrud 531	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
7	6	rabbiia 3403	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)}
8	4, 7	eqtr4i 2762	1 ⊢ (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  +∞cpnf 11163  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166  (,)cioo 13261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-addrcl 11087  ax-rnegex 11097  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-ioo 13265

This theorem is referenced by:  ioorp  13341  repos  13362