Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pl1cn 33916
Description: A univariate polynomial is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
pl1cn.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pl1cn.e 𝐸 = (eval1𝑅)
pl1cn.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pl1cn.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
pl1cn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
pl1cn.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
pl1cn.2 (𝜑𝑅 ∈ TopRing)
pl1cn.3 (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
pl1cn (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Proof of Theorem pl1cn
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pl1cn.k . 2 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2735 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3 eqid 2735 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 eqid 2735 . 2 ran (eval1𝑅) = ran (eval1𝑅)
51fvexi 6921 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ V)
7 fvexd 6922 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑓𝑥) ∈ V)
8 fvexd 6922 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑔𝑥) ∈ V)
9 simp1 1135 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝜑)
10 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = 𝐽
1110, 10cnf 23270 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓: 𝐽 𝐽)
1211ffnd 6738 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓 Fn 𝐽)
13123ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 Fn 𝐽)
14 pl1cn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ TopRing)
15 trgtgp 24192 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ TopRing → 𝑅 ∈ TopGrp)
16 pl1cn.j . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
1716, 1tgptopon 24106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
1814, 15, 173syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
19 toponuni 22936 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → 𝐾 = 𝐽)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 = 𝐽)
2120fneq2d 6663 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑓 Fn 𝐾𝑓 Fn 𝐽))
22 dffn5 6967 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝐾𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)))
2321, 22bitr3di 286 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑓 Fn 𝐽𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥))))
2423biimpa 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 Fn 𝐽) → 𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)))
259, 13, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)))
2610, 10cnf 23270 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔: 𝐽 𝐽)
2726ffnd 6738 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔 Fn 𝐽)
28273ad2ant3 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 Fn 𝐽)
2920fneq2d 6663 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑔 Fn 𝐾𝑔 Fn 𝐽))
30 dffn5 6967 . . . . . . . . . 10 (𝑔 Fn 𝐾𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)))
3129, 30bitr3di 286 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑔 Fn 𝐽𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥))))
3231biimpa 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 Fn 𝐽) → 𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)))
339, 28, 32syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)))
346, 7, 8, 25, 33offval2 7717 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓f (+g𝑅)𝑔) = (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(+g𝑅)(𝑔𝑥))))
35183ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
36 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3725, 36eqeltrrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
38 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3933, 38eqeltrrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
40 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (+𝑓𝑅) = (+𝑓𝑅)
411, 2, 40plusffval 18672 . . . . . . . . 9 (+𝑓𝑅) = (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(+g𝑅)𝑧))
4216, 40tgpcn 24108 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ TopGrp → (+𝑓𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
4314, 15, 423syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (+𝑓𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
4441, 43eqeltrrid 2844 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
45443ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
46 oveq12 7440 . . . . . . 7 ((𝑦 = (𝑓𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔𝑥)) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) = ((𝑓𝑥)(+g𝑅)(𝑔𝑥)))
4735, 37, 39, 35, 35, 45, 46cnmpt12 23691 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(+g𝑅)(𝑔𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4834, 47eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓f (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
49483adant2l 1177 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓f (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
50493adant3l 1179 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓f (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
51503expb 1119 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓f (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
526, 7, 8, 25, 33offval2 7717 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓f (.r𝑅)𝑔) = (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔𝑥))))
53 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5453, 1mgpbas 20158 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5553, 3mgpplusg 20156 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
56 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
5754, 55, 56plusffval 18672 . . . . . . . . 9 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(.r𝑅)𝑧))
5816, 56mulrcn 24203 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ TopRing → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
5914, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
6057, 59eqeltrrid 2844 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(.r𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
61603ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(.r𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
62 oveq12 7440 . . . . . . 7 ((𝑦 = (𝑓𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔𝑥)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) = ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔𝑥)))
6335, 37, 39, 35, 35, 61, 62cnmpt12 23691 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6452, 63eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓f (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
65643adant2l 1177 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓f (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
66653adant3l 1179 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓f (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
67663expb 1119 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓f (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
68 eleq1 2827 . 2 ( = (𝐾 × {𝑓}) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
69 eleq1 2827 . 2 ( = ( I ↾ 𝐾) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
70 eleq1 2827 . 2 ( = 𝑓 → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
71 eleq1 2827 . 2 ( = 𝑔 → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
72 eleq1 2827 . 2 ( = (𝑓f (+g𝑅)𝑔) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓f (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
73 eleq1 2827 . 2 ( = (𝑓f (.r𝑅)𝑔) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓f (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
74 eleq1 2827 . 2 ( = (𝐸𝐹) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐸𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
7518adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑓𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
76 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑓𝐾) → 𝑓𝐾)
77 cnconst2 23307 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝑓𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
7875, 75, 76, 77syl3anc 1370 . 2 ((𝜑𝑓𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
79 idcn 23281 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
8018, 79syl 17 . 2 (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
81 pl1cn.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
82 pl1cn.e . . . . . . 7 𝐸 = (eval1𝑅)
83 pl1cn.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
84 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
8582, 83, 84, 1evl1rhm 22352 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
86 pl1cn.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
87 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
8886, 87rhmf 20502 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
89 ffn 6737 . . . . . 6 (𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)) → 𝐸 Fn 𝐵)
90 dffn3 6749 . . . . . . 7 (𝐸 Fn 𝐵𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
9190biimpi 216 . . . . . 6 (𝐸 Fn 𝐵𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
9285, 88, 89, 914syl 19 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
9381, 92syl 17 . . . 4 (𝜑𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
94 pl1cn.3 . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
9593, 94ffvelcdmd 7105 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ ran 𝐸)
9682rneqi 5951 . . 3 ran 𝐸 = ran (eval1𝑅)
9795, 96eleqtrdi 2849 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ ran (eval1𝑅))
981, 2, 3, 4, 51, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 78, 80, 97pf1ind 22375 1 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  {csn 4631   cuni 4912  cmpt 5231   I cid 5582   × cxp 5687  ran crn 5690  cres 5691   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  f cof 7695  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  TopOpenctopn 17468  s cpws 17493  +𝑓cplusf 18663  mulGrpcmgp 20152  CRingccrg 20252   RingHom crh 20486  Poly1cpl1 22194  eval1ce1 22334  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248   ×t ctx 23584  TopGrpctgp 24095  TopRingctrg 24180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-plusf 18665  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-ply1 22199  df-evl1 22336  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-tmd 24096  df-tgp 24097  df-trg 24184
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator