Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pl1cn 33556
Description: A univariate polynomial is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
pl1cn.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
pl1cn.e 𝐸 = (eval1β€˜π‘…)
pl1cn.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
pl1cn.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
pl1cn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
pl1cn.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
pl1cn.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TopRing)
pl1cn.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
pl1cn (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜πΉ) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Proof of Theorem pl1cn
Dummy variables β„Ž 𝑓 𝑔 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pl1cn.k . 2 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2728 . 2 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
3 eqid 2728 . 2 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
4 eqid 2728 . 2 ran (eval1β€˜π‘…) = ran (eval1β€˜π‘…)
51fvexi 6911 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
65a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝐾 ∈ V)
7 fvexd 6912 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ V)
8 fvexd 6912 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ V)
9 simp1 1134 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ πœ‘)
10 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1110, 10cnf 23163 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐽)
1211ffnd 6723 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) β†’ 𝑓 Fn βˆͺ 𝐽)
13123ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝑓 Fn βˆͺ 𝐽)
14 pl1cn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TopRing)
15 trgtgp 24085 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ TopRing β†’ 𝑅 ∈ TopGrp)
16 pl1cn.j . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
1716, 1tgptopon 23999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ))
1814, 15, 173syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ))
19 toponuni 22829 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ) β†’ 𝐾 = βˆͺ 𝐽)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾 = βˆͺ 𝐽)
2120fneq2d 6648 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑓 Fn 𝐾 ↔ 𝑓 Fn βˆͺ 𝐽))
22 dffn5 6957 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝐾 ↔ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
2321, 22bitr3di 286 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑓 Fn βˆͺ 𝐽 ↔ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘“β€˜π‘₯))))
2423biimpa 476 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 Fn βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
259, 13, 24syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
2610, 10cnf 23163 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) β†’ 𝑔:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐽)
2726ffnd 6723 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) β†’ 𝑔 Fn βˆͺ 𝐽)
28273ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝑔 Fn βˆͺ 𝐽)
2920fneq2d 6648 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑔 Fn 𝐾 ↔ 𝑔 Fn βˆͺ 𝐽))
30 dffn5 6957 . . . . . . . . . 10 (𝑔 Fn 𝐾 ↔ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
3129, 30bitr3di 286 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑔 Fn βˆͺ 𝐽 ↔ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘”β€˜π‘₯))))
3231biimpa 476 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
339, 28, 32syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
346, 7, 8, 25, 33offval2 7705 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))))
35183ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ))
36 simp2 1135 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3725, 36eqeltrrd 2830 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
38 simp3 1136 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3933, 38eqeltrrd 2830 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
40 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (+π‘“β€˜π‘…) = (+π‘“β€˜π‘…)
411, 2, 40plusffval 18606 . . . . . . . . 9 (+π‘“β€˜π‘…) = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))
4216, 40tgpcn 24001 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ TopGrp β†’ (+π‘“β€˜π‘…) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
4314, 15, 423syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (+π‘“β€˜π‘…) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
4441, 43eqeltrrid 2834 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
45443ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
46 oveq12 7429 . . . . . . 7 ((𝑦 = (π‘“β€˜π‘₯) ∧ 𝑧 = (π‘”β€˜π‘₯)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘“β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯)))
4735, 37, 39, 35, 35, 45, 46cnmpt12 23584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4834, 47eqeltrd 2829 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
49483adant2l 1176 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
50493adant3l 1178 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) β†’ (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
51503expb 1118 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) β†’ (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
526, 7, 8, 25, 33offval2 7705 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))))
53 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
5453, 1mgpbas 20080 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
5553, 3mgpplusg 20078 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
56 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (+π‘“β€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) = (+π‘“β€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
5754, 55, 56plusffval 18606 . . . . . . . . 9 (+π‘“β€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))
5816, 56mulrcn 24096 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ TopRing β†’ (+π‘“β€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
5914, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (+π‘“β€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
6057, 59eqeltrrid 2834 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
61603ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
62 oveq12 7429 . . . . . . 7 ((𝑦 = (π‘“β€˜π‘₯) ∧ 𝑧 = (π‘”β€˜π‘₯)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯)))
6335, 37, 39, 35, 35, 61, 62cnmpt12 23584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6452, 63eqeltrd 2829 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
65643adant2l 1176 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
66653adant3l 1178 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) β†’ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
67663expb 1118 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) β†’ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
68 eleq1 2817 . 2 (β„Ž = (𝐾 Γ— {𝑓}) β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐾 Γ— {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
69 eleq1 2817 . 2 (β„Ž = ( I β†Ύ 𝐾) β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ ( I β†Ύ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
70 eleq1 2817 . 2 (β„Ž = 𝑓 β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
71 eleq1 2817 . 2 (β„Ž = 𝑔 β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
72 eleq1 2817 . 2 (β„Ž = (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
73 eleq1 2817 . 2 (β„Ž = (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
74 eleq1 2817 . 2 (β„Ž = (πΈβ€˜πΉ) β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (πΈβ€˜πΉ) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
7518adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ))
76 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) β†’ 𝑓 ∈ 𝐾)
77 cnconst2 23200 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ) ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) β†’ (𝐾 Γ— {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
7875, 75, 76, 77syl3anc 1369 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) β†’ (𝐾 Γ— {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
79 idcn 23174 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ) β†’ ( I β†Ύ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
8018, 79syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
81 pl1cn.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
82 pl1cn.e . . . . . . 7 𝐸 = (eval1β€˜π‘…)
83 pl1cn.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
84 eqid 2728 . . . . . . 7 (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
8582, 83, 84, 1evl1rhm 22251 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
86 pl1cn.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
87 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))
8886, 87rhmf 20424 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) β†’ 𝐸:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
89 ffn 6722 . . . . . 6 (𝐸:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)) β†’ 𝐸 Fn 𝐡)
90 dffn3 6735 . . . . . . 7 (𝐸 Fn 𝐡 ↔ 𝐸:𝐡⟢ran 𝐸)
9190biimpi 215 . . . . . 6 (𝐸 Fn 𝐡 β†’ 𝐸:𝐡⟢ran 𝐸)
9285, 88, 89, 914syl 19 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐸:𝐡⟢ran 𝐸)
9381, 92syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸:𝐡⟢ran 𝐸)
94 pl1cn.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
9593, 94ffvelcdmd 7095 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜πΉ) ∈ ran 𝐸)
9682rneqi 5939 . . 3 ran 𝐸 = ran (eval1β€˜π‘…)
9795, 96eleqtrdi 2839 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜πΉ) ∈ ran (eval1β€˜π‘…))
981, 2, 3, 4, 51, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 78, 80, 97pf1ind 22274 1 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜πΉ) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  {csn 4629  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231   I cid 5575   Γ— cxp 5676  ran crn 5679   β†Ύ cres 5680   Fn wfn 6543  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422   ∘f cof 7683  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  .rcmulr 17234  TopOpenctopn 17403   ↑s cpws 17428  +𝑓cplusf 18597  mulGrpcmgp 20074  CRingccrg 20174   RingHom crh 20408  Poly1cpl1 22096  eval1ce1 22233  TopOnctopon 22825   Cn ccn 23141   Γ—t ctx 23477  TopGrpctgp 23988  TopRingctrg 24073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-plusf 18599  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-srg 20127  df-ring 20175  df-cring 20176  df-rhm 20411  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-assa 21787  df-asp 21788  df-ascl 21789  df-psr 21842  df-mvr 21843  df-mpl 21844  df-opsr 21846  df-evls 22018  df-evl 22019  df-psr1 22099  df-ply1 22101  df-evl1 22235  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-tx 23479  df-tmd 23989  df-tgp 23990  df-trg 24077
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator