Theorem pl1cn 34345

Description: A univariate polynomial is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
pl1cn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pl1cn.e	⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑅)
pl1cn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pl1cn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
pl1cn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
pl1cn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
pl1cn.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopRing)
pl1cn.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pl1cn	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Proof of Theorem pl1cn

Dummy variables ℎ 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pl1cn.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2763	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		eqid 2763	. 2 ⊢ ran (eval1‘𝑅) = ran (eval1‘𝑅)
5	1	fvexi 6895	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ V)
7		fvexd 6896	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑓‘𝑥) ∈ V)
8		fvexd 6896	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑔‘𝑥) ∈ V)
9		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝜑)
10		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
11	10, 10	cnf 23403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓:∪ 𝐽⟶∪ 𝐽)
12	11	ffnd 6706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓 Fn ∪ 𝐽)
13	12	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 Fn ∪ 𝐽)
14		pl1cn.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopRing)
15		trgtgp 24325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ TopRing → 𝑅 ∈ TopGrp)
16		pl1cn.j	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
17	16, 1	tgptopon 24239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
18	14, 15, 17	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
19		toponuni 23071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → 𝐾 = ∪ 𝐽)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ∪ 𝐽)
21	20	fneq2d 6629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑓 Fn 𝐾 ↔ 𝑓 Fn ∪ 𝐽))
22		dffn5 6939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 Fn 𝐾 ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)))
23	21, 22	bitr3di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑓 Fn ∪ 𝐽 ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥))))
24	23	biimpa 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ∪ 𝐽) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)))
25	9, 13, 24	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)))
26	10, 10	cnf 23403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔:∪ 𝐽⟶∪ 𝐽)
27	26	ffnd 6706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔 Fn ∪ 𝐽)
28	27	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 Fn ∪ 𝐽)
29	20	fneq2d 6629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑔 Fn 𝐾 ↔ 𝑔 Fn ∪ 𝐽))
30		dffn5 6939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 Fn 𝐾 ↔ 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)))
31	29, 30	bitr3di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑔 Fn ∪ 𝐽 ↔ 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥))))
32	31	biimpa 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ∪ 𝐽) → 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)))
33	9, 28, 32	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)))
34	6, 7, 8, 25, 33	offval2 7694	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑔‘𝑥))))
35	18	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
36		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
37	25, 36	eqeltrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
38		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
39	33, 38	eqeltrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
40		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+𝑓‘𝑅) = (+𝑓‘𝑅)
41	1, 2, 40	plusffval 18699	. . . . . . . . 9 ⊢ (+𝑓‘𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧))
42	16, 40	tgpcn 24241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ TopGrp → (+𝑓‘𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
43	14, 15, 42	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
44	41, 43	eqeltrrid 2868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
45	44	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
46		oveq12 7419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = (𝑓‘𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔‘𝑥)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑔‘𝑥)))
47	35, 37, 39, 35, 35, 45, 46	cnmpt12 23824	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
48	34, 47	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
49	48	3adant2l 1197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
50	49	3adant3l 1199	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
51	50	3expb 1138	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
52	6, 7, 8, 25, 33	offval2 7694	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑥))))
53		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
54	53, 1	mgpbas 20216	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
55	53, 3	mgpplusg 20215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
56		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
57	54, 55, 56	plusffval 18699	. . . . . . . . 9 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧))
58	16, 56	mulrcn 24336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ TopRing → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
59	14, 58	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
60	57, 59	eqeltrrid 2868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
61	60	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
62		oveq12 7419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = (𝑓‘𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔‘𝑥)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑥)))
63	35, 37, 39, 35, 35, 61, 62	cnmpt12 23824	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
64	52, 63	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
65	64	3adant2l 1197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
66	65	3adant3l 1199	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
67	66	3expb 1138	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
68		eleq1 2851	. 2 ⊢ (ℎ = (𝐾 × {𝑓}) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
69		eleq1 2851	. 2 ⊢ (ℎ = ( I ↾ 𝐾) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
70		eleq1 2851	. 2 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
71		eleq1 2851	. 2 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
72		eleq1 2851	. 2 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
73		eleq1 2851	. 2 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
74		eleq1 2851	. 2 ⊢ (ℎ = (𝐸‘𝐹) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐸‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
75	18	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
76		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → 𝑓 ∈ 𝐾)
77		cnconst2 23440	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
78	75, 75, 76, 77	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
79		idcn 23414	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
80	18, 79	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
81		pl1cn.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
82		pl1cn.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑅)
83		pl1cn.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
84		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
85	82, 83, 84, 1	evl1rhm 22492	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
86		pl1cn.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
87		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
88	86, 87	rhmf 20563	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
89		ffn 6705	. . . . . 6 ⊢ (𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝐸 Fn 𝐵)
90		dffn3 6718	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 Fn 𝐵 ↔ 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
91	90	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 Fn 𝐵 → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
92	85, 88, 89, 91	4syl 20	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
93	81, 92	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
94		pl1cn.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
95	93, 94	ffvelcdmd 7080	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ ran 𝐸)
96	82	rneqi 5927	. . 3 ⊢ ran 𝐸 = ran (eval1‘𝑅)
97	95, 96	eleqtrdi 2873	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ ran (eval1‘𝑅))
98	1, 2, 3, 4, 51, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 78, 80, 97	pf1ind 22515	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  {csn 4589  ∪ cuni 4872   ↦ cmpt 5192   I cid 5555   × cxp 5659  ran crn 5662   ↾ cres 5663   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412   ∘_f cof 7672  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  ._rcmulr 17306  TopOpenctopn 17469   ↑_s cpws 17494  +_𝑓cplusf 18690  mulGrpcmgp 20211  CRingccrg 20311   RingHom crh 20547  Poly₁cpl1 22337  eval₁ce1 22474  TopOnctopon 23067   Cn ccn 23381   ×_t ctx 23717  TopGrpctgp 24228  TopRingctrg 24313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-plusf 18692  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-srg 20264  df-ring 20312  df-cring 20313  df-rhm 20550  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-assa 22003  df-asp 22004  df-ascl 22005  df-psr 22059  df-mvr 22060  df-mpl 22061  df-opsr 22063  df-evls 22225  df-evl 22226  df-psr1 22340  df-ply1 22342  df-evl1 22476  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-tx 23719  df-tmd 24229  df-tgp 24230  df-trg 24317

This theorem is referenced by: (None)