Theorem pl1cn 34698

Description: A univariate polynomial is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
pl1cn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pl1cn.e	⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑅)
pl1cn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pl1cn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
pl1cn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
pl1cn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
pl1cn.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopRing)
pl1cn.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pl1cn	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Proof of Theorem pl1cn

Dummy variables ℎ 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pl1cn.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2763	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		eqid 2763	. 2 ⊢ ran (eval1‘𝑅) = ran (eval1‘𝑅)
5	1	fvexi 6930	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ V)
7		fvexd 6931	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑓‘𝑥) ∈ V)
8		fvexd 6931	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑔‘𝑥) ∈ V)
9		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝜑)
10		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
11	10, 10	cnf 23619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓:∪ 𝐽⟶∪ 𝐽)
12	11	ffnd 6740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓 Fn ∪ 𝐽)
13	12	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 Fn ∪ 𝐽)
14		pl1cn.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopRing)
15		trgtgp 24542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ TopRing → 𝑅 ∈ TopGrp)
16		pl1cn.j	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
17	16, 1	tgptopon 24456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
18	14, 15, 17	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
19		toponuni 23287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → 𝐾 = ∪ 𝐽)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ∪ 𝐽)
21	20	fneq2d 6663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑓 Fn 𝐾 ↔ 𝑓 Fn ∪ 𝐽))
22		dffn5 6974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 Fn 𝐾 ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)))
23	21, 22	bitr3di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑓 Fn ∪ 𝐽 ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥))))
24	23	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ∪ 𝐽) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)))
25	9, 13, 24	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)))
26	10, 10	cnf 23619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔:∪ 𝐽⟶∪ 𝐽)
27	26	ffnd 6740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔 Fn ∪ 𝐽)
28	27	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 Fn ∪ 𝐽)
29	20	fneq2d 6663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑔 Fn 𝐾 ↔ 𝑔 Fn ∪ 𝐽))
30		dffn5 6974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 Fn 𝐾 ↔ 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)))
31	29, 30	bitr3di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑔 Fn ∪ 𝐽 ↔ 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥))))
32	31	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ∪ 𝐽) → 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)))
33	9, 28, 32	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)))
34	6, 7, 8, 25, 33	offval2 7745	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑔‘𝑥))))
35	18	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
36		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
37	25, 36	eqeltrrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
38		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
39	33, 38	eqeltrrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
40		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+𝑓‘𝑅) = (+𝑓‘𝑅)
41	1, 2, 40	plusffval 18872	. . . . . . . . 9 ⊢ (+𝑓‘𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧))
42	16, 40	tgpcn 24458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ TopGrp → (+𝑓‘𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
43	14, 15, 42	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
44	41, 43	eqeltrrid 2869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
45	44	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
46		oveq12 7460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = (𝑓‘𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔‘𝑥)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑔‘𝑥)))
47	35, 37, 39, 35, 35, 45, 46	cnmpt12 24041	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
48	34, 47	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
49	48	3adant2l 1197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
50	49	3adant3l 1199	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
51	50	3expb 1138	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
52	6, 7, 8, 25, 33	offval2 7745	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑥))))
53		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
54	53, 1	mgpbas 20416	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
55	53, 3	mgpplusg 20415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
56		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
57	54, 55, 56	plusffval 18872	. . . . . . . . 9 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧))
58	16, 56	mulrcn 24553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ TopRing → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
59	14, 58	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
60	57, 59	eqeltrrid 2869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
61	60	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
62		oveq12 7460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = (𝑓‘𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔‘𝑥)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑥)))
63	35, 37, 39, 35, 35, 61, 62	cnmpt12 24041	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
64	52, 63	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
65	64	3adant2l 1197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
66	65	3adant3l 1199	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
67	66	3expb 1138	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
68		eleq1 2852	. 2 ⊢ (ℎ = (𝐾 × {𝑓}) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
69		eleq1 2852	. 2 ⊢ (ℎ = ( I ↾ 𝐾) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
70		eleq1 2852	. 2 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
71		eleq1 2852	. 2 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
72		eleq1 2852	. 2 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
73		eleq1 2852	. 2 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
74		eleq1 2852	. 2 ⊢ (ℎ = (𝐸‘𝐹) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐸‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
75	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
76		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → 𝑓 ∈ 𝐾)
77		cnconst2 23656	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
78	75, 75, 76, 77	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
79		idcn 23630	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
80	18, 79	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
81		pl1cn.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
82		pl1cn.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑅)
83		pl1cn.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
84		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
85	82, 83, 84, 1	evl1rhm 22705	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
86		pl1cn.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
87		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
88	86, 87	rhmf 20766	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
89		ffn 6739	. . . . . 6 ⊢ (𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝐸 Fn 𝐵)
90		dffn3 6752	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 Fn 𝐵 ↔ 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
91	90	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 Fn 𝐵 → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
92	85, 88, 89, 91	4syl 20	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
93	81, 92	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
94		pl1cn.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
95	93, 94	ffvelcdmd 7117	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ ran 𝐸)
96	82	rneqi 5931	. . 3 ⊢ ran 𝐸 = ran (eval1‘𝑅)
97	95, 96	eleqtrdi 2874	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ ran (eval1‘𝑅))
98	1, 2, 3, 4, 51, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 78, 80, 97	pf1ind 22728	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  {csn 4588  ∪ cuni 4872   ↦ cmpt 5192   I cid 5552   × cxp 5656  ran crn 5659   ↾ cres 5660   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∈ cmpo 7453   ∘_f cof 7723  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  ._rcmulr 17473  TopOpenctopn 17642   ↑_s cpws 17667  +_𝑓cplusf 18863  mulGrpcmgp 20411  CRingccrg 20511   RingHom crh 20750  Poly₁cpl1 22550  eval₁ce1 22687  TopOnctopon 23283   Cn ccn 23597   ×_t ctx 23934  TopGrpctgp 24445  TopRingctrg 24530

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-plusf 18865  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-srg 20464  df-ring 20512  df-cring 20513  df-rhm 20753  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-assa 22216  df-asp 22217  df-ascl 22218  df-psr 22272  df-mvr 22273  df-mpl 22274  df-opsr 22276  df-evls 22438  df-evl 22439  df-psr1 22553  df-ply1 22555  df-evl1 22689  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-tx 23936  df-tmd 24446  df-tgp 24447  df-trg 24534

This theorem is used by: (None)