Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl1cn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pl1cn 33455
Description: A univariate polynomial is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
pl1cn.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
pl1cn.e 𝐸 = (eval1β€˜π‘…)
pl1cn.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
pl1cn.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
pl1cn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
pl1cn.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
pl1cn.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TopRing)
pl1cn.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
pl1cn (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜πΉ) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Proof of Theorem pl1cn
Dummy variables β„Ž 𝑓 𝑔 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pl1cn.k . 2 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2724 . 2 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
3 eqid 2724 . 2 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
4 eqid 2724 . 2 ran (eval1β€˜π‘…) = ran (eval1β€˜π‘…)
51fvexi 6896 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
65a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝐾 ∈ V)
7 fvexd 6897 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ V)
8 fvexd 6897 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ V)
9 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ πœ‘)
10 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1110, 10cnf 23094 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐽)
1211ffnd 6709 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) β†’ 𝑓 Fn βˆͺ 𝐽)
13123ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝑓 Fn βˆͺ 𝐽)
14 pl1cn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TopRing)
15 trgtgp 24016 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ TopRing β†’ 𝑅 ∈ TopGrp)
16 pl1cn.j . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
1716, 1tgptopon 23930 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ))
1814, 15, 173syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ))
19 toponuni 22760 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ) β†’ 𝐾 = βˆͺ 𝐽)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾 = βˆͺ 𝐽)
2120fneq2d 6634 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑓 Fn 𝐾 ↔ 𝑓 Fn βˆͺ 𝐽))
22 dffn5 6941 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝐾 ↔ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
2321, 22bitr3di 286 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑓 Fn βˆͺ 𝐽 ↔ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘“β€˜π‘₯))))
2423biimpa 476 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 Fn βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
259, 13, 24syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
2610, 10cnf 23094 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) β†’ 𝑔:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐽)
2726ffnd 6709 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) β†’ 𝑔 Fn βˆͺ 𝐽)
28273ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝑔 Fn βˆͺ 𝐽)
2920fneq2d 6634 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑔 Fn 𝐾 ↔ 𝑔 Fn βˆͺ 𝐽))
30 dffn5 6941 . . . . . . . . . 10 (𝑔 Fn 𝐾 ↔ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
3129, 30bitr3di 286 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑔 Fn βˆͺ 𝐽 ↔ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘”β€˜π‘₯))))
3231biimpa 476 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
339, 28, 32syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
346, 7, 8, 25, 33offval2 7684 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))))
35183ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ))
36 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3725, 36eqeltrrd 2826 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
38 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3933, 38eqeltrrd 2826 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
40 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (+π‘“β€˜π‘…) = (+π‘“β€˜π‘…)
411, 2, 40plusffval 18575 . . . . . . . . 9 (+π‘“β€˜π‘…) = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))
4216, 40tgpcn 23932 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ TopGrp β†’ (+π‘“β€˜π‘…) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
4314, 15, 423syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (+π‘“β€˜π‘…) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
4441, 43eqeltrrid 2830 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
45443ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
46 oveq12 7411 . . . . . . 7 ((𝑦 = (π‘“β€˜π‘₯) ∧ 𝑧 = (π‘”β€˜π‘₯)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘“β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯)))
4735, 37, 39, 35, 35, 45, 46cnmpt12 23515 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4834, 47eqeltrd 2825 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
49483adant2l 1175 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
50493adant3l 1177 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) β†’ (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
51503expb 1117 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) β†’ (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
526, 7, 8, 25, 33offval2 7684 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))))
53 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
5453, 1mgpbas 20041 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
5553, 3mgpplusg 20039 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
56 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (+π‘“β€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) = (+π‘“β€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
5754, 55, 56plusffval 18575 . . . . . . . . 9 (+π‘“β€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))
5816, 56mulrcn 24027 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ TopRing β†’ (+π‘“β€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
5914, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (+π‘“β€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
6057, 59eqeltrrid 2830 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
61603ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
62 oveq12 7411 . . . . . . 7 ((𝑦 = (π‘“β€˜π‘₯) ∧ 𝑧 = (π‘”β€˜π‘₯)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯)))
6335, 37, 39, 35, 35, 61, 62cnmpt12 23515 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6452, 63eqeltrd 2825 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
65643adant2l 1175 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
66653adant3l 1177 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) β†’ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
67663expb 1117 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) β†’ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
68 eleq1 2813 . 2 (β„Ž = (𝐾 Γ— {𝑓}) β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐾 Γ— {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
69 eleq1 2813 . 2 (β„Ž = ( I β†Ύ 𝐾) β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ ( I β†Ύ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
70 eleq1 2813 . 2 (β„Ž = 𝑓 β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
71 eleq1 2813 . 2 (β„Ž = 𝑔 β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
72 eleq1 2813 . 2 (β„Ž = (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
73 eleq1 2813 . 2 (β„Ž = (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
74 eleq1 2813 . 2 (β„Ž = (πΈβ€˜πΉ) β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (πΈβ€˜πΉ) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
7518adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ))
76 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) β†’ 𝑓 ∈ 𝐾)
77 cnconst2 23131 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ) ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) β†’ (𝐾 Γ— {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
7875, 75, 76, 77syl3anc 1368 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) β†’ (𝐾 Γ— {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
79 idcn 23105 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ) β†’ ( I β†Ύ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
8018, 79syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
81 pl1cn.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
82 pl1cn.e . . . . . . 7 𝐸 = (eval1β€˜π‘…)
83 pl1cn.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
84 eqid 2724 . . . . . . 7 (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
8582, 83, 84, 1evl1rhm 22195 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
86 pl1cn.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
87 eqid 2724 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))
8886, 87rhmf 20383 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) β†’ 𝐸:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
89 ffn 6708 . . . . . 6 (𝐸:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)) β†’ 𝐸 Fn 𝐡)
90 dffn3 6721 . . . . . . 7 (𝐸 Fn 𝐡 ↔ 𝐸:𝐡⟢ran 𝐸)
9190biimpi 215 . . . . . 6 (𝐸 Fn 𝐡 β†’ 𝐸:𝐡⟢ran 𝐸)
9285, 88, 89, 914syl 19 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐸:𝐡⟢ran 𝐸)
9381, 92syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸:𝐡⟢ran 𝐸)
94 pl1cn.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
9593, 94ffvelcdmd 7078 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜πΉ) ∈ ran 𝐸)
9682rneqi 5927 . . 3 ran 𝐸 = ran (eval1β€˜π‘…)
9795, 96eleqtrdi 2835 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜πΉ) ∈ ran (eval1β€˜π‘…))
981, 2, 3, 4, 51, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 78, 80, 97pf1ind 22218 1 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜πΉ) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  {csn 4621  βˆͺ cuni 4900   ↦ cmpt 5222   I cid 5564   Γ— cxp 5665  ran crn 5668   β†Ύ cres 5669   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ∈ cmpo 7404   ∘f cof 7662  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  TopOpenctopn 17372   ↑s cpws 17397  +𝑓cplusf 18566  mulGrpcmgp 20035  CRingccrg 20135   RingHom crh 20367  Poly1cpl1 22040  eval1ce1 22177  TopOnctopon 22756   Cn ccn 23072   Γ—t ctx 23408  TopGrpctgp 23919  TopRingctrg 24004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-plusf 18568  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-srg 20088  df-ring 20136  df-cring 20137  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-assa 21737  df-asp 21738  df-ascl 21739  df-psr 21792  df-mvr 21793  df-mpl 21794  df-opsr 21796  df-evls 21966  df-evl 21967  df-psr1 22043  df-ply1 22045  df-evl1 22179  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-tx 23410  df-tmd 23920  df-tgp 23921  df-trg 24008
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator