Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pl1cn 30599
Description: A univariate polynomial is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
pl1cn.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pl1cn.e 𝐸 = (eval1𝑅)
pl1cn.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pl1cn.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
pl1cn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
pl1cn.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
pl1cn.2 (𝜑𝑅 ∈ TopRing)
pl1cn.3 (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
pl1cn (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Proof of Theorem pl1cn
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pl1cn.k . 2 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2778 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3 eqid 2778 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 eqid 2778 . 2 ran (eval1𝑅) = ran (eval1𝑅)
51fvexi 6460 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ V)
7 fvexd 6461 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑓𝑥) ∈ V)
8 fvexd 6461 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑔𝑥) ∈ V)
9 simp1 1127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝜑)
10 eqid 2778 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = 𝐽
1110, 10cnf 21458 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓: 𝐽 𝐽)
1211ffnd 6292 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓 Fn 𝐽)
13123ad2ant2 1125 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 Fn 𝐽)
14 dffn5 6501 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝐾𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)))
15 pl1cn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ TopRing)
16 trgtgp 22379 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ TopRing → 𝑅 ∈ TopGrp)
17 pl1cn.j . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
1817, 1tgptopon 22294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
1915, 16, 183syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
20 toponuni 21126 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → 𝐾 = 𝐽)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 = 𝐽)
2221fneq2d 6227 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑓 Fn 𝐾𝑓 Fn 𝐽))
2314, 22syl5rbbr 278 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑓 Fn 𝐽𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥))))
2423biimpa 470 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 Fn 𝐽) → 𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)))
259, 13, 24syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)))
2610, 10cnf 21458 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔: 𝐽 𝐽)
2726ffnd 6292 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔 Fn 𝐽)
28273ad2ant3 1126 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 Fn 𝐽)
29 dffn5 6501 . . . . . . . . . 10 (𝑔 Fn 𝐾𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)))
3021fneq2d 6227 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑔 Fn 𝐾𝑔 Fn 𝐽))
3129, 30syl5rbbr 278 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑔 Fn 𝐽𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥))))
3231biimpa 470 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 Fn 𝐽) → 𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)))
339, 28, 32syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)))
346, 7, 8, 25, 33offval2 7191 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓𝑓 (+g𝑅)𝑔) = (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(+g𝑅)(𝑔𝑥))))
35193ad2ant1 1124 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
36 simp2 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3725, 36eqeltrrd 2860 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
38 simp3 1129 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3933, 38eqeltrrd 2860 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
40 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 (+𝑓𝑅) = (+𝑓𝑅)
411, 2, 40plusffval 17633 . . . . . . . . 9 (+𝑓𝑅) = (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(+g𝑅)𝑧))
4217, 40tgpcn 22296 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ TopGrp → (+𝑓𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
4315, 16, 423syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (+𝑓𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
4441, 43syl5eqelr 2864 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
45443ad2ant1 1124 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
46 oveq12 6931 . . . . . . 7 ((𝑦 = (𝑓𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔𝑥)) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) = ((𝑓𝑥)(+g𝑅)(𝑔𝑥)))
4735, 37, 39, 35, 35, 45, 46cnmpt12 21879 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(+g𝑅)(𝑔𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4834, 47eqeltrd 2859 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓𝑓 (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
49483adant2l 1182 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓𝑓 (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
50493adant3l 1186 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓𝑓 (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
51503expb 1110 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓𝑓 (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
526, 7, 8, 25, 33offval2 7191 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓𝑓 (.r𝑅)𝑔) = (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔𝑥))))
53 eqid 2778 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5453, 1mgpbas 18882 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5553, 3mgpplusg 18880 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
56 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
5754, 55, 56plusffval 17633 . . . . . . . . 9 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(.r𝑅)𝑧))
5817, 56mulrcn 22390 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ TopRing → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
5915, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
6057, 59syl5eqelr 2864 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(.r𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
61603ad2ant1 1124 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(.r𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
62 oveq12 6931 . . . . . . 7 ((𝑦 = (𝑓𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔𝑥)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) = ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔𝑥)))
6335, 37, 39, 35, 35, 61, 62cnmpt12 21879 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6452, 63eqeltrd 2859 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓𝑓 (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
65643adant2l 1182 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓𝑓 (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
66653adant3l 1186 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓𝑓 (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
67663expb 1110 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓𝑓 (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
68 eleq1 2847 . 2 ( = (𝐾 × {𝑓}) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
69 eleq1 2847 . 2 ( = ( I ↾ 𝐾) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
70 eleq1 2847 . 2 ( = 𝑓 → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
71 eleq1 2847 . 2 ( = 𝑔 → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
72 eleq1 2847 . 2 ( = (𝑓𝑓 (+g𝑅)𝑔) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓𝑓 (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
73 eleq1 2847 . 2 ( = (𝑓𝑓 (.r𝑅)𝑔) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓𝑓 (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
74 eleq1 2847 . 2 ( = (𝐸𝐹) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐸𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
7519adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑓𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
76 simpr 479 . . 3 ((𝜑𝑓𝐾) → 𝑓𝐾)
77 cnconst2 21495 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝑓𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
7875, 75, 76, 77syl3anc 1439 . 2 ((𝜑𝑓𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
79 idcn 21469 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
8019, 79syl 17 . 2 (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
81 pl1cn.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
82 pl1cn.e . . . . . . 7 𝐸 = (eval1𝑅)
83 pl1cn.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
84 eqid 2778 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
8582, 83, 84, 1evl1rhm 20092 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
86 pl1cn.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
87 eqid 2778 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
8886, 87rhmf 19115 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
89 ffn 6291 . . . . . 6 (𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)) → 𝐸 Fn 𝐵)
90 dffn3 6302 . . . . . . 7 (𝐸 Fn 𝐵𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
9190biimpi 208 . . . . . 6 (𝐸 Fn 𝐵𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
9285, 88, 89, 914syl 19 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
9381, 92syl 17 . . . 4 (𝜑𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
94 pl1cn.3 . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
9593, 94ffvelrnd 6624 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ ran 𝐸)
9682rneqi 5597 . . 3 ran 𝐸 = ran (eval1𝑅)
9795, 96syl6eleq 2869 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ ran (eval1𝑅))
981, 2, 3, 4, 51, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 78, 80, 97pf1ind 20115 1 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  {csn 4398   cuni 4671  cmpt 4965   I cid 5260   × cxp 5353  ran crn 5356  cres 5357   Fn wfn 6130  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  cmpt2 6924  𝑓 cof 7172  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  .rcmulr 16339  TopOpenctopn 16468  s cpws 16493  +𝑓cplusf 17625  mulGrpcmgp 18876  CRingccrg 18935   RingHom crh 19101  Poly1cpl1 19943  eval1ce1 20075  TopOnctopon 21122   Cn ccn 21436   ×t ctx 21772  TopGrpctgp 22283  TopRingctrg 22367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-ofr 7175  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-prds 16494  df-pws 16496  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-plusf 17627  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-srg 18893  df-ring 18936  df-cring 18937  df-rnghom 19104  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-assa 19709  df-asp 19710  df-ascl 19711  df-psr 19753  df-mvr 19754  df-mpl 19755  df-opsr 19757  df-evls 19902  df-evl 19903  df-psr1 19946  df-ply1 19948  df-evl1 20077  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-tx 21774  df-tmd 22284  df-tgp 22285  df-trg 22371
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator