Theorem pl1cn 34040

Description: A univariate polynomial is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
pl1cn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pl1cn.e	⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑅)
pl1cn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pl1cn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
pl1cn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
pl1cn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
pl1cn.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopRing)
pl1cn.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pl1cn	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Proof of Theorem pl1cn

Dummy variables ℎ 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pl1cn.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2733	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2733	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		eqid 2733	. 2 ⊢ ran (eval1‘𝑅) = ran (eval1‘𝑅)
5	1	fvexi 6845	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ V)
7		fvexd 6846	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑓‘𝑥) ∈ V)
8		fvexd 6846	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑔‘𝑥) ∈ V)
9		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝜑)
10		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
11	10, 10	cnf 23181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓:∪ 𝐽⟶∪ 𝐽)
12	11	ffnd 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓 Fn ∪ 𝐽)
13	12	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 Fn ∪ 𝐽)
14		pl1cn.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopRing)
15		trgtgp 24103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ TopRing → 𝑅 ∈ TopGrp)
16		pl1cn.j	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
17	16, 1	tgptopon 24017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
18	14, 15, 17	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
19		toponuni 22849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → 𝐾 = ∪ 𝐽)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ∪ 𝐽)
21	20	fneq2d 6583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑓 Fn 𝐾 ↔ 𝑓 Fn ∪ 𝐽))
22		dffn5 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 Fn 𝐾 ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)))
23	21, 22	bitr3di 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑓 Fn ∪ 𝐽 ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥))))
24	23	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ∪ 𝐽) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)))
25	9, 13, 24	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)))
26	10, 10	cnf 23181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔:∪ 𝐽⟶∪ 𝐽)
27	26	ffnd 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔 Fn ∪ 𝐽)
28	27	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 Fn ∪ 𝐽)
29	20	fneq2d 6583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑔 Fn 𝐾 ↔ 𝑔 Fn ∪ 𝐽))
30		dffn5 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 Fn 𝐾 ↔ 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)))
31	29, 30	bitr3di 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑔 Fn ∪ 𝐽 ↔ 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥))))
32	31	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ∪ 𝐽) → 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)))
33	9, 28, 32	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)))
34	6, 7, 8, 25, 33	offval2 7639	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑔‘𝑥))))
35	18	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
36		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
37	25, 36	eqeltrrd 2834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
38		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
39	33, 38	eqeltrrd 2834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
40		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+𝑓‘𝑅) = (+𝑓‘𝑅)
41	1, 2, 40	plusffval 18562	. . . . . . . . 9 ⊢ (+𝑓‘𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧))
42	16, 40	tgpcn 24019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ TopGrp → (+𝑓‘𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
43	14, 15, 42	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
44	41, 43	eqeltrrid 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
45	44	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
46		oveq12 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = (𝑓‘𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔‘𝑥)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑔‘𝑥)))
47	35, 37, 39, 35, 35, 45, 46	cnmpt12 23602	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
48	34, 47	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
49	48	3adant2l 1179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
50	49	3adant3l 1181	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
51	50	3expb 1120	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
52	6, 7, 8, 25, 33	offval2 7639	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑥))))
53		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
54	53, 1	mgpbas 20071	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
55	53, 3	mgpplusg 20070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
56		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
57	54, 55, 56	plusffval 18562	. . . . . . . . 9 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧))
58	16, 56	mulrcn 24114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ TopRing → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
59	14, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
60	57, 59	eqeltrrid 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
61	60	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
62		oveq12 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = (𝑓‘𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔‘𝑥)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑥)))
63	35, 37, 39, 35, 35, 61, 62	cnmpt12 23602	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
64	52, 63	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
65	64	3adant2l 1179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
66	65	3adant3l 1181	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
67	66	3expb 1120	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
68		eleq1 2821	. 2 ⊢ (ℎ = (𝐾 × {𝑓}) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
69		eleq1 2821	. 2 ⊢ (ℎ = ( I ↾ 𝐾) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
70		eleq1 2821	. 2 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
71		eleq1 2821	. 2 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
72		eleq1 2821	. 2 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
73		eleq1 2821	. 2 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
74		eleq1 2821	. 2 ⊢ (ℎ = (𝐸‘𝐹) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐸‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
75	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
76		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → 𝑓 ∈ 𝐾)
77		cnconst2 23218	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
78	75, 75, 76, 77	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
79		idcn 23192	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
80	18, 79	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
81		pl1cn.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
82		pl1cn.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑅)
83		pl1cn.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
84		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
85	82, 83, 84, 1	evl1rhm 22267	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
86		pl1cn.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
87		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
88	86, 87	rhmf 20411	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
89		ffn 6659	. . . . . 6 ⊢ (𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝐸 Fn 𝐵)
90		dffn3 6671	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 Fn 𝐵 ↔ 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
91	90	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 Fn 𝐵 → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
92	85, 88, 89, 91	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
93	81, 92	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
94		pl1cn.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
95	93, 94	ffvelcdmd 7027	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ ran 𝐸)
96	82	rneqi 5883	. . 3 ⊢ ran 𝐸 = ran (eval1‘𝑅)
97	95, 96	eleqtrdi 2843	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ ran (eval1‘𝑅))
98	1, 2, 3, 4, 51, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 78, 80, 97	pf1ind 22290	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  {csn 4577  ∪ cuni 4860   ↦ cmpt 5176   I cid 5515   × cxp 5619  ran crn 5622   ↾ cres 5623   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∈ cmpo 7357   ∘_f cof 7617  Basecbs 17127  +_gcplusg 17168  ._rcmulr 17169  TopOpenctopn 17332   ↑_s cpws 17357  +_𝑓cplusf 18553  mulGrpcmgp 20066  CRingccrg 20160   RingHom crh 20396  Poly₁cpl1 22108  eval₁ce1 22249  TopOnctopon 22845   Cn ccn 23159   ×_t ctx 23495  TopGrpctgp 24006  TopRingctrg 24091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-ofr 7620  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-sup 9337  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-hash 14245  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-hom 17192  df-cco 17193  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-plusf 18555  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-mulg 18989  df-subg 19044  df-ghm 19133  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-srg 20113  df-ring 20161  df-cring 20162  df-rhm 20399  df-subrng 20470  df-subrg 20494  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-assa 21799  df-asp 21800  df-ascl 21801  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-evls 22020  df-evl 22021  df-psr1 22111  df-ply1 22113  df-evl1 22251  df-top 22829  df-topon 22846  df-topsp 22868  df-bases 22881  df-cn 23162  df-cnp 23163  df-tx 23497  df-tmd 24007  df-tgp 24008  df-trg 24095

This theorem is referenced by: (None)