Theorem pl1cn 34289

Description: A univariate polynomial is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
pl1cn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pl1cn.e	⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑅)
pl1cn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pl1cn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
pl1cn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
pl1cn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
pl1cn.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopRing)
pl1cn.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pl1cn	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Proof of Theorem pl1cn

Dummy variables ℎ 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pl1cn.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2769	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2769	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		eqid 2769	. 2 ⊢ ran (eval1‘𝑅) = ran (eval1‘𝑅)
5	1	fvexi 6896	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ V)
7		fvexd 6897	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑓‘𝑥) ∈ V)
8		fvexd 6897	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑔‘𝑥) ∈ V)
9		simp1 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝜑)
10		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
11	10, 10	cnf 23371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓:∪ 𝐽⟶∪ 𝐽)
12	11	ffnd 6707	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓 Fn ∪ 𝐽)
13	12	3ad2ant2 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 Fn ∪ 𝐽)
14		pl1cn.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopRing)
15		trgtgp 24293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ TopRing → 𝑅 ∈ TopGrp)
16		pl1cn.j	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
17	16, 1	tgptopon 24207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
18	14, 15, 17	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
19		toponuni 23039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → 𝐾 = ∪ 𝐽)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ∪ 𝐽)
21	20	fneq2d 6630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑓 Fn 𝐾 ↔ 𝑓 Fn ∪ 𝐽))
22		dffn5 6940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 Fn 𝐾 ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)))
23	21, 22	bitr3di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑓 Fn ∪ 𝐽 ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥))))
24	23	biimpa 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ∪ 𝐽) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)))
25	9, 13, 24	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)))
26	10, 10	cnf 23371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔:∪ 𝐽⟶∪ 𝐽)
27	26	ffnd 6707	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔 Fn ∪ 𝐽)
28	27	3ad2ant3 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 Fn ∪ 𝐽)
29	20	fneq2d 6630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑔 Fn 𝐾 ↔ 𝑔 Fn ∪ 𝐽))
30		dffn5 6940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 Fn 𝐾 ↔ 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)))
31	29, 30	bitr3di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑔 Fn ∪ 𝐽 ↔ 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥))))
32	31	biimpa 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ∪ 𝐽) → 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)))
33	9, 28, 32	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)))
34	6, 7, 8, 25, 33	offval2 7695	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑔‘𝑥))))
35	18	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
36		simp2 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
37	25, 36	eqeltrrd 2870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
38		simp3 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
39	33, 38	eqeltrrd 2870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
40		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+𝑓‘𝑅) = (+𝑓‘𝑅)
41	1, 2, 40	plusffval 18703	. . . . . . . . 9 ⊢ (+𝑓‘𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧))
42	16, 40	tgpcn 24209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ TopGrp → (+𝑓‘𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
43	14, 15, 42	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
44	41, 43	eqeltrrid 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
45	44	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
46		oveq12 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = (𝑓‘𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔‘𝑥)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑔‘𝑥)))
47	35, 37, 39, 35, 35, 45, 46	cnmpt12 23792	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
48	34, 47	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
49	48	3adant2l 1195	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
50	49	3adant3l 1197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
51	50	3expb 1136	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
52	6, 7, 8, 25, 33	offval2 7695	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑥))))
53		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
54	53, 1	mgpbas 20220	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
55	53, 3	mgpplusg 20219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
56		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
57	54, 55, 56	plusffval 18703	. . . . . . . . 9 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧))
58	16, 56	mulrcn 24304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ TopRing → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
59	14, 58	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
60	57, 59	eqeltrrid 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
61	60	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
62		oveq12 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = (𝑓‘𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔‘𝑥)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑥)))
63	35, 37, 39, 35, 35, 61, 62	cnmpt12 23792	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
64	52, 63	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
65	64	3adant2l 1195	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
66	65	3adant3l 1197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
67	66	3expb 1136	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
68		eleq1 2857	. 2 ⊢ (ℎ = (𝐾 × {𝑓}) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
69		eleq1 2857	. 2 ⊢ (ℎ = ( I ↾ 𝐾) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
70		eleq1 2857	. 2 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
71		eleq1 2857	. 2 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
72		eleq1 2857	. 2 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
73		eleq1 2857	. 2 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
74		eleq1 2857	. 2 ⊢ (ℎ = (𝐸‘𝐹) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐸‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
75	18	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
76		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → 𝑓 ∈ 𝐾)
77		cnconst2 23408	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
78	75, 75, 76, 77	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
79		idcn 23382	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
80	18, 79	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
81		pl1cn.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
82		pl1cn.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑅)
83		pl1cn.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
84		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
85	82, 83, 84, 1	evl1rhm 22460	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
86		pl1cn.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
87		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
88	86, 87	rhmf 20565	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
89		ffn 6706	. . . . . 6 ⊢ (𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝐸 Fn 𝐵)
90		dffn3 6719	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 Fn 𝐵 ↔ 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
91	90	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 Fn 𝐵 → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
92	85, 88, 89, 91	4syl 20	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
93	81, 92	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
94		pl1cn.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
95	93, 94	ffvelcdmd 7081	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ ran 𝐸)
96	82	rneqi 5928	. . 3 ⊢ ran 𝐸 = ran (eval1‘𝑅)
97	95, 96	eleqtrdi 2879	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ ran (eval1‘𝑅))
98	1, 2, 3, 4, 51, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 78, 80, 97	pf1ind 22483	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  {csn 4594  ∪ cuni 4876   ↦ cmpt 5196   I cid 5556   × cxp 5660  ran crn 5663   ↾ cres 5664   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ∘_f cof 7673  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  ._rcmulr 17310  TopOpenctopn 17473   ↑_s cpws 17498  +_𝑓cplusf 18694  mulGrpcmgp 20215  CRingccrg 20315   RingHom crh 20550  Poly₁cpl1 22305  eval₁ce1 22442  TopOnctopon 23035   Cn ccn 23349   ×_t ctx 23685  TopGrpctgp 24196  TopRingctrg 24281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-plusf 18696  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-srg 20268  df-ring 20316  df-cring 20317  df-rhm 20553  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-lsp 21070  df-assa 21971  df-asp 21972  df-ascl 21973  df-psr 22027  df-mvr 22028  df-mpl 22029  df-opsr 22031  df-evls 22193  df-evl 22194  df-psr1 22308  df-ply1 22310  df-evl1 22444  df-top 23019  df-topon 23036  df-topsp 23058  df-bases 23071  df-cn 23352  df-cnp 23353  df-tx 23687  df-tmd 24197  df-tgp 24198  df-trg 24285

This theorem is referenced by: (None)