Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pl1cn 31272
 Description: A univariate polynomial is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
pl1cn.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pl1cn.e 𝐸 = (eval1𝑅)
pl1cn.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pl1cn.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
pl1cn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
pl1cn.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
pl1cn.2 (𝜑𝑅 ∈ TopRing)
pl1cn.3 (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
pl1cn (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Proof of Theorem pl1cn
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pl1cn.k . 2 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2822 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3 eqid 2822 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 eqid 2822 . 2 ran (eval1𝑅) = ran (eval1𝑅)
51fvexi 6666 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ V)
7 fvexd 6667 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑓𝑥) ∈ V)
8 fvexd 6667 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑔𝑥) ∈ V)
9 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝜑)
10 eqid 2822 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = 𝐽
1110, 10cnf 21849 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓: 𝐽 𝐽)
1211ffnd 6495 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓 Fn 𝐽)
13123ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 Fn 𝐽)
14 pl1cn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ TopRing)
15 trgtgp 22771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ TopRing → 𝑅 ∈ TopGrp)
16 pl1cn.j . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
1716, 1tgptopon 22685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
1814, 15, 173syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
19 toponuni 21517 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → 𝐾 = 𝐽)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 = 𝐽)
2120fneq2d 6426 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑓 Fn 𝐾𝑓 Fn 𝐽))
22 dffn5 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝐾𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)))
2321, 22bitr3di 289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑓 Fn 𝐽𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥))))
2423biimpa 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 Fn 𝐽) → 𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)))
259, 13, 24syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)))
2610, 10cnf 21849 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔: 𝐽 𝐽)
2726ffnd 6495 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔 Fn 𝐽)
28273ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 Fn 𝐽)
2920fneq2d 6426 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑔 Fn 𝐾𝑔 Fn 𝐽))
30 dffn5 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑔 Fn 𝐾𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)))
3129, 30bitr3di 289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑔 Fn 𝐽𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥))))
3231biimpa 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 Fn 𝐽) → 𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)))
339, 28, 32syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)))
346, 7, 8, 25, 33offval2 7411 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓f (+g𝑅)𝑔) = (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(+g𝑅)(𝑔𝑥))))
35183ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
36 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3725, 36eqeltrrd 2915 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
38 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3933, 38eqeltrrd 2915 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
40 eqid 2822 . . . . . . . . . 10 (+𝑓𝑅) = (+𝑓𝑅)
411, 2, 40plusffval 17849 . . . . . . . . 9 (+𝑓𝑅) = (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(+g𝑅)𝑧))
4216, 40tgpcn 22687 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ TopGrp → (+𝑓𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
4314, 15, 423syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (+𝑓𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
4441, 43eqeltrrid 2919 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
45443ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
46 oveq12 7149 . . . . . . 7 ((𝑦 = (𝑓𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔𝑥)) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) = ((𝑓𝑥)(+g𝑅)(𝑔𝑥)))
4735, 37, 39, 35, 35, 45, 46cnmpt12 22270 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(+g𝑅)(𝑔𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4834, 47eqeltrd 2914 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓f (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
49483adant2l 1175 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓f (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
50493adant3l 1177 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓f (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
51503expb 1117 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓f (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
526, 7, 8, 25, 33offval2 7411 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓f (.r𝑅)𝑔) = (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔𝑥))))
53 eqid 2822 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5453, 1mgpbas 19236 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5553, 3mgpplusg 19234 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
56 eqid 2822 . . . . . . . . . 10 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
5754, 55, 56plusffval 17849 . . . . . . . . 9 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(.r𝑅)𝑧))
5816, 56mulrcn 22782 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ TopRing → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
5914, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
6057, 59eqeltrrid 2919 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(.r𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
61603ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(.r𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
62 oveq12 7149 . . . . . . 7 ((𝑦 = (𝑓𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔𝑥)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) = ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔𝑥)))
6335, 37, 39, 35, 35, 61, 62cnmpt12 22270 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6452, 63eqeltrd 2914 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓f (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
65643adant2l 1175 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓f (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
66653adant3l 1177 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓f (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
67663expb 1117 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓f (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
68 eleq1 2901 . 2 ( = (𝐾 × {𝑓}) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
69 eleq1 2901 . 2 ( = ( I ↾ 𝐾) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
70 eleq1 2901 . 2 ( = 𝑓 → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
71 eleq1 2901 . 2 ( = 𝑔 → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
72 eleq1 2901 . 2 ( = (𝑓f (+g𝑅)𝑔) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓f (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
73 eleq1 2901 . 2 ( = (𝑓f (.r𝑅)𝑔) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓f (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
74 eleq1 2901 . 2 ( = (𝐸𝐹) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐸𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
7518adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑓𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
76 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝑓𝐾) → 𝑓𝐾)
77 cnconst2 21886 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝑓𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
7875, 75, 76, 77syl3anc 1368 . 2 ((𝜑𝑓𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
79 idcn 21860 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
8018, 79syl 17 . 2 (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
81 pl1cn.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
82 pl1cn.e . . . . . . 7 𝐸 = (eval1𝑅)
83 pl1cn.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
84 eqid 2822 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
8582, 83, 84, 1evl1rhm 20954 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
86 pl1cn.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
87 eqid 2822 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
8886, 87rhmf 19472 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
89 ffn 6494 . . . . . 6 (𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)) → 𝐸 Fn 𝐵)
90 dffn3 6506 . . . . . . 7 (𝐸 Fn 𝐵𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
9190biimpi 219 . . . . . 6 (𝐸 Fn 𝐵𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
9285, 88, 89, 914syl 19 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
9381, 92syl 17 . . . 4 (𝜑𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
94 pl1cn.3 . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
9593, 94ffvelrnd 6834 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ ran 𝐸)
9682rneqi 5784 . . 3 ran 𝐸 = ran (eval1𝑅)
9795, 96eleqtrdi 2924 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ ran (eval1𝑅))
981, 2, 3, 4, 51, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 78, 80, 97pf1ind 20977 1 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  Vcvv 3469  {csn 4539  ∪ cuni 4813   ↦ cmpt 5122   I cid 5436   × cxp 5530  ran crn 5533   ↾ cres 5534   Fn wfn 6329  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ∈ cmpo 7142   ∘f cof 7392  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  .rcmulr 16557  TopOpenctopn 16686   ↑s cpws 16711  +𝑓cplusf 17840  mulGrpcmgp 19230  CRingccrg 19289   RingHom crh 19458  Poly1cpl1 20804  eval1ce1 20936  TopOnctopon 21513   Cn ccn 21827   ×t ctx 22163  TopGrpctgp 22674  TopRingctrg 22759 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-ofr 7395  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-prds 16712  df-pws 16714  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-plusf 17842  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-srg 19247  df-ring 19290  df-cring 19291  df-rnghom 19461  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-assa 20540  df-asp 20541  df-ascl 20542  df-psr 20592  df-mvr 20593  df-mpl 20594  df-opsr 20596  df-evls 20743  df-evl 20744  df-psr1 20807  df-ply1 20809  df-evl1 20938  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-tx 22165  df-tmd 22675  df-tgp 22676  df-trg 22763 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator