Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pl1cn 33684
Description: A univariate polynomial is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
pl1cn.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pl1cn.e 𝐸 = (eval1𝑅)
pl1cn.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pl1cn.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
pl1cn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
pl1cn.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
pl1cn.2 (𝜑𝑅 ∈ TopRing)
pl1cn.3 (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
pl1cn (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Proof of Theorem pl1cn
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pl1cn.k . 2 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2725 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3 eqid 2725 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 eqid 2725 . 2 ran (eval1𝑅) = ran (eval1𝑅)
51fvexi 6910 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ V)
7 fvexd 6911 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑓𝑥) ∈ V)
8 fvexd 6911 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑔𝑥) ∈ V)
9 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝜑)
10 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = 𝐽
1110, 10cnf 23194 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓: 𝐽 𝐽)
1211ffnd 6724 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓 Fn 𝐽)
13123ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 Fn 𝐽)
14 pl1cn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ TopRing)
15 trgtgp 24116 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ TopRing → 𝑅 ∈ TopGrp)
16 pl1cn.j . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
1716, 1tgptopon 24030 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
1814, 15, 173syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
19 toponuni 22860 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → 𝐾 = 𝐽)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 = 𝐽)
2120fneq2d 6649 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑓 Fn 𝐾𝑓 Fn 𝐽))
22 dffn5 6956 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝐾𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)))
2321, 22bitr3di 285 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑓 Fn 𝐽𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥))))
2423biimpa 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 Fn 𝐽) → 𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)))
259, 13, 24syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)))
2610, 10cnf 23194 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔: 𝐽 𝐽)
2726ffnd 6724 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔 Fn 𝐽)
28273ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 Fn 𝐽)
2920fneq2d 6649 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑔 Fn 𝐾𝑔 Fn 𝐽))
30 dffn5 6956 . . . . . . . . . 10 (𝑔 Fn 𝐾𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)))
3129, 30bitr3di 285 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑔 Fn 𝐽𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥))))
3231biimpa 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 Fn 𝐽) → 𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)))
339, 28, 32syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)))
346, 7, 8, 25, 33offval2 7705 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓f (+g𝑅)𝑔) = (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(+g𝑅)(𝑔𝑥))))
35183ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
36 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3725, 36eqeltrrd 2826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
38 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3933, 38eqeltrrd 2826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
40 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (+𝑓𝑅) = (+𝑓𝑅)
411, 2, 40plusffval 18609 . . . . . . . . 9 (+𝑓𝑅) = (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(+g𝑅)𝑧))
4216, 40tgpcn 24032 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ TopGrp → (+𝑓𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
4314, 15, 423syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (+𝑓𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
4441, 43eqeltrrid 2830 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
45443ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
46 oveq12 7428 . . . . . . 7 ((𝑦 = (𝑓𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔𝑥)) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) = ((𝑓𝑥)(+g𝑅)(𝑔𝑥)))
4735, 37, 39, 35, 35, 45, 46cnmpt12 23615 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(+g𝑅)(𝑔𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4834, 47eqeltrd 2825 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓f (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
49483adant2l 1175 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓f (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
50493adant3l 1177 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓f (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
51503expb 1117 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓f (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
526, 7, 8, 25, 33offval2 7705 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓f (.r𝑅)𝑔) = (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔𝑥))))
53 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5453, 1mgpbas 20092 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5553, 3mgpplusg 20090 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
56 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
5754, 55, 56plusffval 18609 . . . . . . . . 9 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(.r𝑅)𝑧))
5816, 56mulrcn 24127 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ TopRing → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
5914, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
6057, 59eqeltrrid 2830 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(.r𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
61603ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(.r𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
62 oveq12 7428 . . . . . . 7 ((𝑦 = (𝑓𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔𝑥)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) = ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔𝑥)))
6335, 37, 39, 35, 35, 61, 62cnmpt12 23615 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6452, 63eqeltrd 2825 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓f (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
65643adant2l 1175 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓f (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
66653adant3l 1177 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓f (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
67663expb 1117 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓f (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
68 eleq1 2813 . 2 ( = (𝐾 × {𝑓}) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
69 eleq1 2813 . 2 ( = ( I ↾ 𝐾) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
70 eleq1 2813 . 2 ( = 𝑓 → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
71 eleq1 2813 . 2 ( = 𝑔 → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
72 eleq1 2813 . 2 ( = (𝑓f (+g𝑅)𝑔) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓f (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
73 eleq1 2813 . 2 ( = (𝑓f (.r𝑅)𝑔) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓f (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
74 eleq1 2813 . 2 ( = (𝐸𝐹) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐸𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
7518adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑓𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
76 simpr 483 . . 3 ((𝜑𝑓𝐾) → 𝑓𝐾)
77 cnconst2 23231 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝑓𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
7875, 75, 76, 77syl3anc 1368 . 2 ((𝜑𝑓𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
79 idcn 23205 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
8018, 79syl 17 . 2 (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
81 pl1cn.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
82 pl1cn.e . . . . . . 7 𝐸 = (eval1𝑅)
83 pl1cn.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
84 eqid 2725 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
8582, 83, 84, 1evl1rhm 22276 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
86 pl1cn.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
87 eqid 2725 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
8886, 87rhmf 20436 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
89 ffn 6723 . . . . . 6 (𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)) → 𝐸 Fn 𝐵)
90 dffn3 6735 . . . . . . 7 (𝐸 Fn 𝐵𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
9190biimpi 215 . . . . . 6 (𝐸 Fn 𝐵𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
9285, 88, 89, 914syl 19 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
9381, 92syl 17 . . . 4 (𝜑𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
94 pl1cn.3 . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
9593, 94ffvelcdmd 7094 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ ran 𝐸)
9682rneqi 5939 . . 3 ran 𝐸 = ran (eval1𝑅)
9795, 96eleqtrdi 2835 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ ran (eval1𝑅))
981, 2, 3, 4, 51, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 78, 80, 97pf1ind 22299 1 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3461  {csn 4630   cuni 4909  cmpt 5232   I cid 5575   × cxp 5676  ran crn 5679  cres 5680   Fn wfn 6544  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cmpo 7421  f cof 7683  Basecbs 17183  +gcplusg 17236  .rcmulr 17237  TopOpenctopn 17406  s cpws 17431  +𝑓cplusf 18600  mulGrpcmgp 20086  CRingccrg 20186   RingHom crh 20420  Poly1cpl1 22119  eval1ce1 22258  TopOnctopon 22856   Cn ccn 23172   ×t ctx 23508  TopGrpctgp 24019  TopRingctrg 24104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-plusf 18602  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-srg 20139  df-ring 20187  df-cring 20188  df-rhm 20423  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-assa 21804  df-asp 21805  df-ascl 21806  df-psr 21859  df-mvr 21860  df-mpl 21861  df-opsr 21863  df-evls 22040  df-evl 22041  df-psr1 22122  df-ply1 22124  df-evl1 22260  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-tx 23510  df-tmd 24020  df-tgp 24021  df-trg 24108
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator