Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl1cn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pl1cn 32923
Description: A univariate polynomial is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
pl1cn.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
pl1cn.e 𝐸 = (eval1β€˜π‘…)
pl1cn.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
pl1cn.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
pl1cn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
pl1cn.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
pl1cn.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TopRing)
pl1cn.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
pl1cn (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜πΉ) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Proof of Theorem pl1cn
Dummy variables β„Ž 𝑓 𝑔 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pl1cn.k . 2 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2732 . 2 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
3 eqid 2732 . 2 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
4 eqid 2732 . 2 ran (eval1β€˜π‘…) = ran (eval1β€˜π‘…)
51fvexi 6902 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
65a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝐾 ∈ V)
7 fvexd 6903 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ V)
8 fvexd 6903 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ V)
9 simp1 1136 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ πœ‘)
10 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1110, 10cnf 22741 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐽)
1211ffnd 6715 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) β†’ 𝑓 Fn βˆͺ 𝐽)
13123ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝑓 Fn βˆͺ 𝐽)
14 pl1cn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TopRing)
15 trgtgp 23663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ TopRing β†’ 𝑅 ∈ TopGrp)
16 pl1cn.j . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
1716, 1tgptopon 23577 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ))
1814, 15, 173syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ))
19 toponuni 22407 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ) β†’ 𝐾 = βˆͺ 𝐽)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾 = βˆͺ 𝐽)
2120fneq2d 6640 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑓 Fn 𝐾 ↔ 𝑓 Fn βˆͺ 𝐽))
22 dffn5 6947 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝐾 ↔ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
2321, 22bitr3di 285 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑓 Fn βˆͺ 𝐽 ↔ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘“β€˜π‘₯))))
2423biimpa 477 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 Fn βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
259, 13, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
2610, 10cnf 22741 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) β†’ 𝑔:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐽)
2726ffnd 6715 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) β†’ 𝑔 Fn βˆͺ 𝐽)
28273ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝑔 Fn βˆͺ 𝐽)
2920fneq2d 6640 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑔 Fn 𝐾 ↔ 𝑔 Fn βˆͺ 𝐽))
30 dffn5 6947 . . . . . . . . . 10 (𝑔 Fn 𝐾 ↔ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
3129, 30bitr3di 285 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑔 Fn βˆͺ 𝐽 ↔ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘”β€˜π‘₯))))
3231biimpa 477 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
339, 28, 32syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
346, 7, 8, 25, 33offval2 7686 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))))
35183ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ))
36 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3725, 36eqeltrrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
38 simp3 1138 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3933, 38eqeltrrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
40 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (+π‘“β€˜π‘…) = (+π‘“β€˜π‘…)
411, 2, 40plusffval 18563 . . . . . . . . 9 (+π‘“β€˜π‘…) = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))
4216, 40tgpcn 23579 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ TopGrp β†’ (+π‘“β€˜π‘…) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
4314, 15, 423syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (+π‘“β€˜π‘…) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
4441, 43eqeltrrid 2838 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
45443ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
46 oveq12 7414 . . . . . . 7 ((𝑦 = (π‘“β€˜π‘₯) ∧ 𝑧 = (π‘”β€˜π‘₯)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘“β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯)))
4735, 37, 39, 35, 35, 45, 46cnmpt12 23162 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4834, 47eqeltrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
49483adant2l 1178 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
50493adant3l 1180 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) β†’ (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
51503expb 1120 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) β†’ (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
526, 7, 8, 25, 33offval2 7686 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))))
53 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
5453, 1mgpbas 19987 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
5553, 3mgpplusg 19985 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
56 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (+π‘“β€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) = (+π‘“β€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
5754, 55, 56plusffval 18563 . . . . . . . . 9 (+π‘“β€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))
5816, 56mulrcn 23674 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ TopRing β†’ (+π‘“β€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
5914, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (+π‘“β€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
6057, 59eqeltrrid 2838 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
61603ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
62 oveq12 7414 . . . . . . 7 ((𝑦 = (π‘“β€˜π‘₯) ∧ 𝑧 = (π‘”β€˜π‘₯)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯)))
6335, 37, 39, 35, 35, 61, 62cnmpt12 23162 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6452, 63eqeltrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
65643adant2l 1178 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
66653adant3l 1180 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) β†’ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
67663expb 1120 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1β€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) β†’ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
68 eleq1 2821 . 2 (β„Ž = (𝐾 Γ— {𝑓}) β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐾 Γ— {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
69 eleq1 2821 . 2 (β„Ž = ( I β†Ύ 𝐾) β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ ( I β†Ύ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
70 eleq1 2821 . 2 (β„Ž = 𝑓 β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
71 eleq1 2821 . 2 (β„Ž = 𝑔 β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
72 eleq1 2821 . 2 (β„Ž = (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
73 eleq1 2821 . 2 (β„Ž = (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
74 eleq1 2821 . 2 (β„Ž = (πΈβ€˜πΉ) β†’ (β„Ž ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (πΈβ€˜πΉ) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
7518adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ))
76 simpr 485 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) β†’ 𝑓 ∈ 𝐾)
77 cnconst2 22778 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ) ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) β†’ (𝐾 Γ— {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
7875, 75, 76, 77syl3anc 1371 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) β†’ (𝐾 Γ— {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
79 idcn 22752 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΎ) β†’ ( I β†Ύ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
8018, 79syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
81 pl1cn.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
82 pl1cn.e . . . . . . 7 𝐸 = (eval1β€˜π‘…)
83 pl1cn.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
84 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
8582, 83, 84, 1evl1rhm 21842 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
86 pl1cn.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
87 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))
8886, 87rhmf 20255 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) β†’ 𝐸:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
89 ffn 6714 . . . . . 6 (𝐸:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)) β†’ 𝐸 Fn 𝐡)
90 dffn3 6727 . . . . . . 7 (𝐸 Fn 𝐡 ↔ 𝐸:𝐡⟢ran 𝐸)
9190biimpi 215 . . . . . 6 (𝐸 Fn 𝐡 β†’ 𝐸:𝐡⟢ran 𝐸)
9285, 88, 89, 914syl 19 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐸:𝐡⟢ran 𝐸)
9381, 92syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸:𝐡⟢ran 𝐸)
94 pl1cn.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
9593, 94ffvelcdmd 7084 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜πΉ) ∈ ran 𝐸)
9682rneqi 5934 . . 3 ran 𝐸 = ran (eval1β€˜π‘…)
9795, 96eleqtrdi 2843 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜πΉ) ∈ ran (eval1β€˜π‘…))
981, 2, 3, 4, 51, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 78, 80, 97pf1ind 21865 1 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜πΉ) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ∘f cof 7664  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  TopOpenctopn 17363   ↑s cpws 17388  +𝑓cplusf 18554  mulGrpcmgp 19981  CRingccrg 20050   RingHom crh 20240  Poly1cpl1 21692  eval1ce1 21824  TopOnctopon 22403   Cn ccn 22719   Γ—t ctx 23055  TopGrpctgp 23566  TopRingctrg 23651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-plusf 18556  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-assa 21399  df-asp 21400  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-evls 21626  df-evl 21627  df-psr1 21695  df-ply1 21697  df-evl1 21826  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-tx 23057  df-tmd 23567  df-tgp 23568  df-trg 23655
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator