MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resthauslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resthauslem 21495
Description: Lemma for resthaus 21500 and similar theorems. If the topological property 𝐴 is preserved under injective preimages, then property 𝐴 passes to subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resthauslem.1 (𝐽𝐴𝐽 ∈ Top)
resthauslem.2 ((𝐽𝐴 ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽) ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽)) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resthauslem ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem resthauslem
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . 2 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → 𝐽𝐴)
2 f1oi 6394 . . 3 ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1-onto→(𝑆 𝐽)
3 f1of1 6356 . . 3 (( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1-onto→(𝑆 𝐽) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽))
42, 3mp1i 13 . 2 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽))
5 inss2 4030 . . . . 5 (𝑆 𝐽) ⊆ 𝐽
6 resabs1 5638 . . . . 5 ((𝑆 𝐽) ⊆ 𝐽 → (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) = ( I ↾ (𝑆 𝐽)))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) = ( I ↾ (𝑆 𝐽))
8 resthauslem.1 . . . . . . . 8 (𝐽𝐴𝐽 ∈ Top)
98adantr 473 . . . . . . 7 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → 𝐽 ∈ Top)
10 eqid 2800 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
1110toptopon 21049 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
129, 11sylib 210 . . . . . 6 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
13 idcn 21389 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → ( I ↾ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
1510cnrest 21417 . . . . 5 ((( I ↾ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ (𝑆 𝐽) ⊆ 𝐽) → (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
1614, 5, 15sylancl 581 . . . 4 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
177, 16syl5eqelr 2884 . . 3 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
1810restin 21298 . . . 4 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (𝐽t 𝑆) = (𝐽t (𝑆 𝐽)))
1918oveq1d 6894 . . 3 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽) = ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
2017, 19eleqtrrd 2882 . 2 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽))
21 resthauslem.2 . 2 ((𝐽𝐴 ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽) ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽)) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)
221, 4, 20, 21syl3anc 1491 1 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  cin 3769  wss 3770   cuni 4629   I cid 5220  cres 5315  1-1wf1 6099  1-1-ontowf1o 6101  cfv 6102  (class class class)co 6879  t crest 16395  Topctop 21025  TopOnctopon 21042   Cn ccn 21356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-en 8197  df-fin 8200  df-fi 8560  df-rest 16397  df-topgen 16418  df-top 21026  df-topon 21043  df-bases 21078  df-cn 21359
This theorem is referenced by:  restt0  21498  restt1  21499  resthaus  21500
  Copyright terms: Public domain W3C validator