MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resthauslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resthauslem 23387
Description: Lemma for resthaus 23392 and similar theorems. If the topological property 𝐴 is preserved under injective preimages, then property 𝐴 passes to subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resthauslem.1 (𝐽𝐴𝐽 ∈ Top)
resthauslem.2 ((𝐽𝐴 ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽) ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽)) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resthauslem ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem resthauslem
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → 𝐽𝐴)
2 f1oi 6887 . . 3 ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1-onto→(𝑆 𝐽)
3 f1of1 6848 . . 3 (( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1-onto→(𝑆 𝐽) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽))
42, 3mp1i 13 . 2 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽))
5 inss2 4246 . . . . 5 (𝑆 𝐽) ⊆ 𝐽
6 resabs1 6027 . . . . 5 ((𝑆 𝐽) ⊆ 𝐽 → (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) = ( I ↾ (𝑆 𝐽)))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) = ( I ↾ (𝑆 𝐽))
8 resthauslem.1 . . . . . . . 8 (𝐽𝐴𝐽 ∈ Top)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → 𝐽 ∈ Top)
10 toptopon2 22940 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
119, 10sylib 218 . . . . . 6 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
12 idcn 23281 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → ( I ↾ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
14 eqid 2735 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
1514cnrest 23309 . . . . 5 ((( I ↾ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ (𝑆 𝐽) ⊆ 𝐽) → (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
1613, 5, 15sylancl 586 . . . 4 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
177, 16eqeltrrid 2844 . . 3 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
1814restin 23190 . . . 4 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (𝐽t 𝑆) = (𝐽t (𝑆 𝐽)))
1918oveq1d 7446 . . 3 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽) = ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
2017, 19eleqtrrd 2842 . 2 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽))
21 resthauslem.2 . 2 ((𝐽𝐴 ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽) ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽)) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)
221, 4, 20, 21syl3anc 1370 1 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cin 3962  wss 3963   cuni 4912   I cid 5582  cres 5691  1-1wf1 6560  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  t crest 17467  Topctop 22915  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-en 8985  df-fin 8988  df-fi 9449  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cn 23251
This theorem is referenced by:  restt0  23390  restt1  23391  resthaus  23392
  Copyright terms: Public domain W3C validator