MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resthauslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resthauslem 23371
Description: Lemma for resthaus 23376 and similar theorems. If the topological property 𝐴 is preserved under injective preimages, then property 𝐴 passes to subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resthauslem.1 (𝐽𝐴𝐽 ∈ Top)
resthauslem.2 ((𝐽𝐴 ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽) ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽)) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resthauslem ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem resthauslem
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → 𝐽𝐴)
2 f1oi 6886 . . 3 ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1-onto→(𝑆 𝐽)
3 f1of1 6847 . . 3 (( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1-onto→(𝑆 𝐽) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽))
42, 3mp1i 13 . 2 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽))
5 inss2 4238 . . . . 5 (𝑆 𝐽) ⊆ 𝐽
6 resabs1 6024 . . . . 5 ((𝑆 𝐽) ⊆ 𝐽 → (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) = ( I ↾ (𝑆 𝐽)))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) = ( I ↾ (𝑆 𝐽))
8 resthauslem.1 . . . . . . . 8 (𝐽𝐴𝐽 ∈ Top)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → 𝐽 ∈ Top)
10 toptopon2 22924 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
119, 10sylib 218 . . . . . 6 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
12 idcn 23265 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → ( I ↾ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
14 eqid 2737 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
1514cnrest 23293 . . . . 5 ((( I ↾ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ (𝑆 𝐽) ⊆ 𝐽) → (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
1613, 5, 15sylancl 586 . . . 4 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
177, 16eqeltrrid 2846 . . 3 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
1814restin 23174 . . . 4 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (𝐽t 𝑆) = (𝐽t (𝑆 𝐽)))
1918oveq1d 7446 . . 3 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽) = ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
2017, 19eleqtrrd 2844 . 2 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽))
21 resthauslem.2 . 2 ((𝐽𝐴 ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽) ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽)) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)
221, 4, 20, 21syl3anc 1373 1 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951   cuni 4907   I cid 5577  cres 5687  1-1wf1 6558  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  t crest 17465  Topctop 22899  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-map 8868  df-en 8986  df-fin 8989  df-fi 9451  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cn 23235
This theorem is referenced by:  restt0  23374  restt1  23375  resthaus  23376
  Copyright terms: Public domain W3C validator