MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resthauslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resthauslem 22737
Description: Lemma for resthaus 22742 and similar theorems. If the topological property 𝐴 is preserved under injective preimages, then property 𝐴 passes to subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resthauslem.1 (𝐽 ∈ 𝐴 β†’ 𝐽 ∈ Top)
resthauslem.2 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)):(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)–1-1β†’(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽) ∧ ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) Cn 𝐽)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resthauslem ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem resthauslem
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . 2 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ 𝐽 ∈ 𝐴)
2 f1oi 6826 . . 3 ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)):(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)–1-1-ontoβ†’(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)
3 f1of1 6787 . . 3 (( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)):(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)–1-1-ontoβ†’(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽) β†’ ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)):(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)–1-1β†’(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽))
42, 3mp1i 13 . 2 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)):(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)–1-1β†’(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽))
5 inss2 4193 . . . . 5 (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽
6 resabs1 5971 . . . . 5 ((𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽 β†’ (( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) = ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 (( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) = ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽))
8 resthauslem.1 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ 𝐴 β†’ 𝐽 ∈ Top)
98adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ 𝐽 ∈ Top)
10 toptopon2 22290 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
119, 10sylib 217 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
12 idcn 22631 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) β†’ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
14 eqid 2733 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1514cnrest 22659 . . . . 5 ((( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) Cn 𝐽))
1613, 5, 15sylancl 587 . . . 4 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ (( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) Cn 𝐽))
177, 16eqeltrrid 2839 . . 3 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) Cn 𝐽))
1814restin 22540 . . . 4 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) = (𝐽 β†Ύt (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)))
1918oveq1d 7376 . . 3 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) Cn 𝐽) = ((𝐽 β†Ύt (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) Cn 𝐽))
2017, 19eleqtrrd 2837 . 2 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) Cn 𝐽))
21 resthauslem.2 . 2 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)):(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)–1-1β†’(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽) ∧ ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) Cn 𝐽)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ 𝐴)
221, 4, 20, 21syl3anc 1372 1 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆͺ cuni 4869   I cid 5534   β†Ύ cres 5639  β€“1-1β†’wf1 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   β†Ύt crest 17310  Topctop 22265  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-en 8890  df-fin 8893  df-fi 9355  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cn 22601
This theorem is referenced by:  restt0  22740  restt1  22741  resthaus  22742
  Copyright terms: Public domain W3C validator