MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resthauslem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem resthauslem 22867
Description: Lemma for resthaus 22872 and similar theorems. If the topological property 𝐴 is preserved under injective preimages, then property 𝐴 passes to subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resthauslem.1 (𝐽 ∈ 𝐴 β†’ 𝐽 ∈ Top)
resthauslem.2 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)):(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)–1-1β†’(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽) ∧ ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) Cn 𝐽)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resthauslem ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ 𝐴)
Proof of Theorem resthauslem
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . 2 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ 𝐽 ∈ 𝐴)
2 f1oi 6872 . . 3 ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)):(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)–1-1-ontoβ†’(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)
3 f1of1 6833 . . 3 (( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)):(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)–1-1-ontoβ†’(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽) β†’ ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)):(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)–1-1β†’(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽))
42, 3mp1i 13 . 2 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)):(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)–1-1β†’(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽))
5 inss2 4230 . . . . 5 (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽
6 resabs1 6012 . . . . 5 ((𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽 β†’ (( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) = ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 (( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) = ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽))
8 resthauslem.1 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ 𝐴 β†’ 𝐽 ∈ Top)
98adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ 𝐽 ∈ Top)
10 toptopon2 22420 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
119, 10sylib 217 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
12 idcn 22761 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) β†’ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
14 eqid 2733 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1514cnrest 22789 . . . . 5 ((( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) Cn 𝐽))
1613, 5, 15sylancl 587 . . . 4 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ (( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) Cn 𝐽))
177, 16eqeltrrid 2839 . . 3 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) Cn 𝐽))
1814restin 22670 . . . 4 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) = (𝐽 β†Ύt (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)))
1918oveq1d 7424 . . 3 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) Cn 𝐽) = ((𝐽 β†Ύt (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) Cn 𝐽))
2017, 19eleqtrrd 2837 . 2 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) Cn 𝐽))
21 resthauslem.2 . 2 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)):(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)–1-1β†’(𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽) ∧ ( I β†Ύ (𝑆 ∩ βˆͺ 𝐽)) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) Cn 𝐽)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ 𝐴)
221, 4, 20, 21syl3anc 1372 1 ((𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909   I cid 5574   β†Ύ cres 5679  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   β†Ύt crest 17366  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cn 22731
This theorem is referenced by:  restt0  22870  restt1  22871  resthaus  22872
  Copyright terms: Public domain W3C validator