Theorem cnmptid 23980

Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmptid.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
cnmptid	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋

Proof of Theorem cnmptid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptresid 6043	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥)
2		cnmptid.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		idcn 23575	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5	1, 4	eqeltrrid 2866	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186   I cid 5545   ↾ cres 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  TopOnctopon 23228   Cn ccn 23542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8849  df-top 23212  df-topon 23229  df-cn 23545

This theorem is used by:  xkoinjcn  24006  txconn  24008  imasnopn  24009  imasncld  24010  imasncls  24011  pt1hmeo  24125  istgp2  24410  tmdmulg  24411  tmdlactcn  24421  clsnsg  24429  tgpt0  24438  tlmtgp  24515  nmcn  25164  expcn  25193  divccn  25194  cncfmptid  25234  cdivcncf  25242  iirevcn  25251  iihalf1cn  25253  iihalf2cn  25255  icchmeo  25262  evth2  25281  pcocn  25338  pcopt  25343  pcopt2  25344  pcoass  25345  csscld  25570  clsocv  25571  dvcnvlem  26296  resqrtcn  27077  sqrtcn  27078  efrlim  27297  ipasslem7  31438  occllem  31905  hmopidmchi  32753  rmulccn  34560  cxpcncf1  35224  cvxpconn  36007  cvmlift2lem2  36069  cvmlift2lem3  36070  cvmliftphtlem  36082  knoppcnlem10  37368  cxpcncf2  46908