Theorem cnmptid 23685

Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmptid.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
cnmptid	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋

Proof of Theorem cnmptid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptresid 6071	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥)
2		cnmptid.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		idcn 23281	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5	1, 4	eqeltrrid 2844	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5231   I cid 5582   ↾ cres 5691  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-top 22916  df-topon 22933  df-cn 23251

This theorem is referenced by:  xkoinjcn  23711  txconn  23713  imasnopn  23714  imasncld  23715  imasncls  23716  pt1hmeo  23830  istgp2  24115  tmdmulg  24116  tmdlactcn  24126  clsnsg  24134  tgpt0  24143  tlmtgp  24220  nmcn  24880  expcn  24910  divccn  24911  expcnOLD  24912  divccnOLD  24913  cncfmptid  24953  cdivcncf  24961  iirevcn  24971  iihalf1cn  24973  iihalf1cnOLD  24974  iihalf2cn  24976  iihalf2cnOLD  24977  icchmeo  24985  icchmeoOLD  24986  evth2  25006  pcocn  25064  pcopt  25069  pcopt2  25070  pcoass  25071  csscld  25297  clsocv  25298  dvcnvlem  26029  resqrtcn  26807  sqrtcn  26808  efrlim  27027  efrlimOLD  27028  ipasslem7  30865  occllem  31332  hmopidmchi  32180  rmulccn  33889  cxpcncf1  34589  cvxpconn  35227  cvmlift2lem2  35289  cvmlift2lem3  35290  cvmliftphtlem  35302  knoppcnlem10  36485  cxpcncf2  45855