Theorem cnmptid 23555

Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmptid.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
cnmptid	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋

Proof of Theorem cnmptid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptresid 6025	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥)
2		cnmptid.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		idcn 23151	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5	1, 4	eqeltrrid 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5191   I cid 5535   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  TopOnctopon 22804   Cn ccn 23118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804  df-top 22788  df-topon 22805  df-cn 23121

This theorem is referenced by:  xkoinjcn  23581  txconn  23583  imasnopn  23584  imasncld  23585  imasncls  23586  pt1hmeo  23700  istgp2  23985  tmdmulg  23986  tmdlactcn  23996  clsnsg  24004  tgpt0  24013  tlmtgp  24090  nmcn  24740  expcn  24770  divccn  24771  expcnOLD  24772  divccnOLD  24773  cncfmptid  24813  cdivcncf  24821  iirevcn  24831  iihalf1cn  24833  iihalf1cnOLD  24834  iihalf2cn  24836  iihalf2cnOLD  24837  icchmeo  24845  icchmeoOLD  24846  evth2  24866  pcocn  24924  pcopt  24929  pcopt2  24930  pcoass  24931  csscld  25156  clsocv  25157  dvcnvlem  25887  resqrtcn  26666  sqrtcn  26667  efrlim  26886  efrlimOLD  26887  ipasslem7  30772  occllem  31239  hmopidmchi  32087  rmulccn  33925  cxpcncf1  34593  cvxpconn  35236  cvmlift2lem2  35298  cvmlift2lem3  35299  cvmliftphtlem  35311  knoppcnlem10  36497  cxpcncf2  45904