Theorem cnmptid 23989

Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmptid.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
cnmptid	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋

Proof of Theorem cnmptid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptresid 6045	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥)
2		cnmptid.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		idcn 23584	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5	1, 4	eqeltrrid 2865	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ↦ cmpt 5185   I cid 5545   ↾ cres 5653  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  TopOnctopon 23237   Cn ccn 23551

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-map 8857  df-top 23221  df-topon 23238  df-cn 23554

This theorem is used by:  xkoinjcn  24015  txconn  24017  imasnopn  24018  imasncld  24019  imasncls  24020  pt1hmeo  24134  istgp2  24419  tmdmulg  24420  tmdlactcn  24430  clsnsg  24438  tgpt0  24447  tlmtgp  24524  nmcn  25173  expcn  25202  divccn  25203  cncfmptid  25243  cdivcncf  25251  iirevcn  25260  iihalf1cn  25262  iihalf2cn  25264  icchmeo  25271  evth2  25290  pcocn  25347  pcopt  25352  pcopt2  25353  pcoass  25354  csscld  25579  clsocv  25580  dvcnvlem  26305  resqrtcn  27086  sqrtcn  27087  efrlim  27306  ipasslem7  31447  occllem  31914  hmopidmchi  32762  rmulccn  34610  cxpcncf1  35274  cvxpconn  36125  cvmlift2lem2  36187  cvmlift2lem3  36188  cvmliftphtlem  36200  knoppcnlem10  37492  cxpcncf2  47045