Theorem cnmptid 23581

Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmptid.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
cnmptid	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋

Proof of Theorem cnmptid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptresid 6011	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥)
2		cnmptid.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		idcn 23177	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5	1, 4	eqeltrrid 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5183   I cid 5525   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  TopOnctopon 22830   Cn ccn 23144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-map 8778  df-top 22814  df-topon 22831  df-cn 23147

This theorem is referenced by:  xkoinjcn  23607  txconn  23609  imasnopn  23610  imasncld  23611  imasncls  23612  pt1hmeo  23726  istgp2  24011  tmdmulg  24012  tmdlactcn  24022  clsnsg  24030  tgpt0  24039  tlmtgp  24116  nmcn  24766  expcn  24796  divccn  24797  expcnOLD  24798  divccnOLD  24799  cncfmptid  24839  cdivcncf  24847  iirevcn  24857  iihalf1cn  24859  iihalf1cnOLD  24860  iihalf2cn  24862  iihalf2cnOLD  24863  icchmeo  24871  icchmeoOLD  24872  evth2  24892  pcocn  24950  pcopt  24955  pcopt2  24956  pcoass  24957  csscld  25182  clsocv  25183  dvcnvlem  25913  resqrtcn  26692  sqrtcn  26693  efrlim  26912  efrlimOLD  26913  ipasslem7  30815  occllem  31282  hmopidmchi  32130  rmulccn  33911  cxpcncf1  34579  cvxpconn  35222  cvmlift2lem2  35284  cvmlift2lem3  35285  cvmliftphtlem  35297  knoppcnlem10  36483  cxpcncf2  45890