Theorem cnmptid 23385

Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmptid.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
cnmptid	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋

Proof of Theorem cnmptid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptresid 6050	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥)
2		cnmptid.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		idcn 22981	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5	1, 4	eqeltrrid 2838	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  TopOnctopon 22632   Cn ccn 22948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-top 22616  df-topon 22633  df-cn 22951

This theorem is referenced by:  xkoinjcn  23411  txconn  23413  imasnopn  23414  imasncld  23415  imasncls  23416  pt1hmeo  23530  istgp2  23815  tmdmulg  23816  tmdlactcn  23826  clsnsg  23834  tgpt0  23843  tlmtgp  23920  nmcn  24580  expcn  24610  divccn  24611  expcnOLD  24612  divccnOLD  24613  cncfmptid  24653  cdivcncf  24661  iirevcn  24670  iihalf1cn  24672  iihalf2cn  24674  icchmeo  24681  evth2  24700  pcocn  24757  pcopt  24762  pcopt2  24763  pcoass  24764  csscld  24990  clsocv  24991  dvcnvlem  25717  resqrtcn  26481  sqrtcn  26482  efrlim  26698  ipasslem7  30344  occllem  30811  hmopidmchi  31659  rmulccn  33194  cxpcncf1  33893  cvxpconn  34519  cvmlift2lem2  34581  cvmlift2lem3  34582  cvmliftphtlem  34594  gg-iihalf1cn  35453  gg-iihalf2cn  35454  gg-icchmeo  35456  gg-rmulccn  35465  knoppcnlem10  35681  cxpcncf2  44914