Theorem cnmptid 23653

Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmptid.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
cnmptid	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋

Proof of Theorem cnmptid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptresid 6052	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥)
2		cnmptid.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		idcn 23249	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5	1, 4	eqeltrrid 2831	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   ↦ cmpt 5228   I cid 5571   ↾ cres 5676  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  TopOnctopon 22900   Cn ccn 23216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8849  df-top 22884  df-topon 22901  df-cn 23219

This theorem is referenced by:  xkoinjcn  23679  txconn  23681  imasnopn  23682  imasncld  23683  imasncls  23684  pt1hmeo  23798  istgp2  24083  tmdmulg  24084  tmdlactcn  24094  clsnsg  24102  tgpt0  24111  tlmtgp  24188  nmcn  24848  expcn  24878  divccn  24879  expcnOLD  24880  divccnOLD  24881  cncfmptid  24921  cdivcncf  24929  iirevcn  24939  iihalf1cn  24941  iihalf1cnOLD  24942  iihalf2cn  24944  iihalf2cnOLD  24945  icchmeo  24953  icchmeoOLD  24954  evth2  24974  pcocn  25032  pcopt  25037  pcopt2  25038  pcoass  25039  csscld  25265  clsocv  25266  dvcnvlem  25996  resqrtcn  26774  sqrtcn  26775  efrlim  26994  efrlimOLD  26995  ipasslem7  30766  occllem  31233  hmopidmchi  32081  rmulccn  33756  cxpcncf1  34454  cvxpconn  35083  cvmlift2lem2  35145  cvmlift2lem3  35146  cvmliftphtlem  35158  knoppcnlem10  36218  cxpcncf2  45556