Theorem invinv 17738

Description: The inverse of the inverse of an isomorphism is itself. Proposition 3.14(1) of [Adamek] p. 29. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
isoval.n	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
invinv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
invinv	⊢ (𝜑 → ((𝑌𝑁𝑋)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)

Proof of Theorem invinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invss.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		invss.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	invsym2 17731	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝑁𝑋))
7	6	fveq1d 6862	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑋𝑁𝑌)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = ((𝑌𝑁𝑋)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)))
8		isoval.n	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	invf1o 17737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)–1-1-onto→(𝑌𝐼𝑋))
10		invinv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
11		f1ocnvfv1 7253	. . 3 ⊢ (((𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)–1-1-onto→(𝑌𝐼𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (◡(𝑋𝑁𝑌)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑋𝑁𝑌)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)
13	7, 12	eqtr3d 2767	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝑁𝑋)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ^◡ccnv 5639  –1-1-onto→wf1o 6512  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185  Catccat 17631  Invcinv 17713  Isociso 17714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-cat 17635  df-cid 17636  df-sect 17715  df-inv 17716  df-iso 17717

This theorem is referenced by: (None)