Theorem invinv 17865

Description: The inverse of the inverse of an isomorphism is itself. Proposition 3.14(1) of [Adamek] p. 29. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
isoval.n	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
invinv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
invinv	⊢ (𝜑 → ((𝑌𝑁𝑋)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)

Proof of Theorem invinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invss.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		invss.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	invsym2 17858	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝑁𝑋))
7	6	fveq1d 6884	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑋𝑁𝑌)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = ((𝑌𝑁𝑋)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)))
8		isoval.n	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	invf1o 17864	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)–1-1-onto→(𝑌𝐼𝑋))
10		invinv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
11		f1ocnvfv1 7281	. . 3 ⊢ (((𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)–1-1-onto→(𝑌𝐼𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (◡(𝑋𝑁𝑌)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)
12	9, 10, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑋𝑁𝑌)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)
13	7, 12	eqtr3d 2799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝑁𝑋)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ^◡ccnv 5658  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  Catccat 17758  Invcinv 17840  Isociso 17841

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-cat 17762  df-cid 17763  df-sect 17842  df-inv 17843  df-iso 17844

This theorem is used by: (None)