Theorem invinv 17698

Description: The inverse of the inverse of an isomorphism is itself. Proposition 3.14(1) of [Adamek] p. 29. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
isoval.n	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
invinv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
invinv	⊢ (𝜑 → ((𝑌𝑁𝑋)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)

Proof of Theorem invinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invss.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		invss.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	invsym2 17691	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝑁𝑋))
7	6	fveq1d 6837	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑋𝑁𝑌)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = ((𝑌𝑁𝑋)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)))
8		isoval.n	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	invf1o 17697	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)–1-1-onto→(𝑌𝐼𝑋))
10		invinv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
11		f1ocnvfv1 7224	. . 3 ⊢ (((𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)–1-1-onto→(𝑌𝐼𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (◡(𝑋𝑁𝑌)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)
12	9, 10, 11	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑋𝑁𝑌)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)
13	7, 12	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝑁𝑋)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5624  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  Catccat 17591  Invcinv 17673  Isociso 17674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-cat 17595  df-cid 17596  df-sect 17675  df-inv 17676  df-iso 17677

This theorem is referenced by: (None)