Theorem invinv 17925

Description: The inverse of the inverse of an isomorphism is itself. Proposition 3.14(1) of [Adamek] p. 29. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
isoval.n	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
invinv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
invinv	⊢ (𝜑 → ((𝑌𝑁𝑋)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)

Proof of Theorem invinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invss.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		invss.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	invsym2 17918	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝑁𝑋))
7	6	fveq1d 6879	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑋𝑁𝑌)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = ((𝑌𝑁𝑋)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)))
8		isoval.n	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	invf1o 17924	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)–1-1-onto→(𝑌𝐼𝑋))
10		invinv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
11		f1ocnvfv1 7276	. . 3 ⊢ (((𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)–1-1-onto→(𝑌𝐼𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (◡(𝑋𝑁𝑌)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)
12	9, 10, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑋𝑁𝑌)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)
13	7, 12	eqtr3d 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝑁𝑋)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ^◡ccnv 5650  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  Catccat 17818  Invcinv 17900  Isociso 17901

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-cat 17822  df-cid 17823  df-sect 17902  df-inv 17903  df-iso 17904

This theorem is used by: (None)