Theorem f1ocnvfv1 7231

Description: The converse value of the value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv1	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem f1ocnvfv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv1 6809	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
2	1	fveq1d 6842	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ((◡𝐹 ∘ 𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐴)‘𝐶))
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((◡𝐹 ∘ 𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐴)‘𝐶))
4		f1of 6780	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5		fvco3 6939	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((◡𝐹 ∘ 𝐹)‘𝐶) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)))
6	4, 5	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((◡𝐹 ∘ 𝐹)‘𝐶) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)))
7		fvresi 7128	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (( I ↾ 𝐴)‘𝐶) = 𝐶)
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (( I ↾ 𝐴)‘𝐶) = 𝐶)
9	3, 6, 8	3eqtr3d 2779	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   I cid 5525  ^◡ccnv 5630   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6494  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506

This theorem is referenced by:  f1ocnvfv  7233  wemapwe  9618  fseqenlem2  9947  acndom  9973  isf34lem5  10300  axcc3  10360  pwfseqlem1  10581  hashdom  14341  fz1isolem  14423  cnrecnv  15127  sadcadd  16427  sadadd2  16429  invinv  17737  catcisolem  18077  mhmf1o  18764  rngisom1  20446  srngnvl  20827  mdetleib2  22553  2ndcdisj  23421  cnheiborlem  24921  iunmbl2  25524  dvcnvlem  25943  eff1olem  26512  logef  26545  adjbdlnb  32155  cnvbrabra  32183  fsumiunle  32902  ccatws1f1o  33011  fzto1stinvn  33165  cycpmfv1  33174  cycpmfv2  33175  cycpmco2lem7  33193  madjusmdetlem1  33971  tpr2rico  34056  esumiun  34238  lautj  40539  lautm  40540  ldilcnv  40561  ltrneq2  40594  trlcnv  40611  diaocN  41571  dihcnvid1  41718  dochocss  41812  mapdcnvid1N  42100  aks6d1c1p3  42549  sticksstones19  42604  nvocnvb  43849  grimcnv  48364  gricushgr  48393  uspgrlimlem2  48465