Theorem f1ocnvfv1 7315

Description: The converse value of the value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv1	⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem f1ocnvfv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv1 6885	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
2	1	fveq1d 6918	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 → ((◡𝐹 ∘ 𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐴)‘𝐶))
3	2	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((◡𝐹 ∘ 𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐴)‘𝐶))
4		f1of 6854	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5		fvco3 7016	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((◡𝐹 ∘ 𝐹)‘𝐶) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)))
6	4, 5	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((◡𝐹 ∘ 𝐹)‘𝐶) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)))
7		fvresi 7209	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (( I ↾ 𝐴)‘𝐶) = 𝐶)
8	7	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (( I ↾ 𝐴)‘𝐶) = 𝐶)
9	3, 6, 8	3eqtr3d 2806	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   I cid 5552  ^◡ccnv 5657   ↾ cres 5660   ∘ ccom 5662  ⟶wf 6562  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574

This theorem is used by:  f1ocnvfv  7317  wemapwe  9735  fseqenlem2  10143  acndom  10169  isf34lem5  10495  axcc3  10555  pwfseqlem1  10782  hashdom  14564  fz1isolem  14647  cnrecnv  15375  sadcadd  16672  sadadd2  16674  invinv  17995  catcisolem  18335  mhmf1o  19041  rngisom1  20747  srngnvl  21158  mdetleib2  22958  2ndcdisj  23830  cnheiborlem  25330  iunmbl2  25933  dvcnvlem  26351  eff1olem  26933  logef  26966  adjbdlnb  32743  cnvbrabra  32771  fsumiunle  33516  ccatws1f1o  33610  fzto1stinvn  33764  cycpmfv1  33773  cycpmfv2  33774  cycpmco2lem7  33792  ricdomn1  33949  madjusmdetlem1  34570  tpr2rico  34655  esumiun  34837  lautj  41416  lautm  41417  ldilcnv  41438  ltrneq2  41471  trlcnv  41488  diaocN  42448  dihcnvid1  42595  dochocss  42689  mapdcnvid1N  42977  aks6d1c1p3  43426  sticksstones19  43481  nvocnvb  44684  grimcnv  49259  gricushgr  49288  uspgrlimlem2  49360