Theorem f1ocnvfv1 7222

Description: The converse value of the value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv1	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem f1ocnvfv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv1 6803	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
2	1	fveq1d 6836	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ((◡𝐹 ∘ 𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐴)‘𝐶))
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((◡𝐹 ∘ 𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐴)‘𝐶))
4		f1of 6774	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5		fvco3 6933	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((◡𝐹 ∘ 𝐹)‘𝐶) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)))
6	4, 5	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((◡𝐹 ∘ 𝐹)‘𝐶) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)))
7		fvresi 7119	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (( I ↾ 𝐴)‘𝐶) = 𝐶)
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (( I ↾ 𝐴)‘𝐶) = 𝐶)
9	3, 6, 8	3eqtr3d 2779	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   I cid 5518  ^◡ccnv 5623   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  f1ocnvfv  7224  wemapwe  9606  fseqenlem2  9935  acndom  9961  isf34lem5  10288  axcc3  10348  pwfseqlem1  10569  hashdom  14302  fz1isolem  14384  cnrecnv  15088  sadcadd  16385  sadadd2  16387  invinv  17694  catcisolem  18034  mhmf1o  18721  rngisom1  20402  srngnvl  20783  mdetleib2  22532  2ndcdisj  23400  cnheiborlem  24909  iunmbl2  25514  dvcnvlem  25936  eff1olem  26513  logef  26546  adjbdlnb  32159  cnvbrabra  32187  fsumiunle  32910  ccatws1f1o  33033  fzto1stinvn  33186  cycpmfv1  33195  cycpmfv2  33196  cycpmco2lem7  33214  madjusmdetlem1  33984  tpr2rico  34069  esumiun  34251  lautj  40353  lautm  40354  ldilcnv  40375  ltrneq2  40408  trlcnv  40425  diaocN  41385  dihcnvid1  41532  dochocss  41626  mapdcnvid1N  41914  aks6d1c1p3  42364  sticksstones19  42419  nvocnvb  43663  grimcnv  48134  gricushgr  48163  uspgrlimlem2  48235