MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ocnvfv1 7276
Description: The converse value of the value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem f1ocnvfv1
StepHypRef Expression
1 f1ococnv1 6861 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
21fveq1d 6892 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐴)‘𝐶))
32adantr 479 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐴)‘𝐶))
4 f1of 6832 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
5 fvco3 6989 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
64, 5sylan 578 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
7 fvresi 7172 . . 3 (𝐶𝐴 → (( I ↾ 𝐴)‘𝐶) = 𝐶)
87adantl 480 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → (( I ↾ 𝐴)‘𝐶) = 𝐶)
93, 6, 83eqtr3d 2778 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104   I cid 5572  ccnv 5674  cres 5677  ccom 5679  wf 6538  1-1-ontowf1o 6541  cfv 6542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550
This theorem is referenced by:  f1ocnvfv  7278  wemapwe  9694  fseqenlem2  10022  acndom  10048  isf34lem5  10375  axcc3  10435  pwfseqlem1  10655  hashdom  14343  fz1isolem  14426  cnrecnv  15116  sadcadd  16403  sadadd2  16405  invinv  17721  catcisolem  18064  mhmf1o  18718  rngisom1  20357  srngnvl  20607  mdetleib2  22310  2ndcdisj  23180  cnheiborlem  24700  iunmbl2  25306  dvcnvlem  25728  eff1olem  26293  logef  26326  adjbdlnb  31604  cnvbrabra  31632  fsumiunle  32302  fzto1stinvn  32533  cycpmfv1  32542  cycpmfv2  32543  cycpmco2lem7  32561  madjusmdetlem1  33105  tpr2rico  33190  esumiun  33390  lautj  39267  lautm  39268  ldilcnv  39289  ltrneq2  39322  trlcnv  39339  diaocN  40299  dihcnvid1  40446  dochocss  40540  mapdcnvid1N  40828  sticksstones19  41287  nvocnvb  42475  isomushgr  46792
  Copyright terms: Public domain W3C validator