Theorem f1ocnvfv1 7011

Description: The converse value of the value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv1	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem f1ocnvfv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv1 6618	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
2	1	fveq1d 6647	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ((◡𝐹 ∘ 𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐴)‘𝐶))
3	2	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((◡𝐹 ∘ 𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐴)‘𝐶))
4		f1of 6590	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5		fvco3 6737	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((◡𝐹 ∘ 𝐹)‘𝐶) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)))
6	4, 5	sylan 583	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((◡𝐹 ∘ 𝐹)‘𝐶) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)))
7		fvresi 6912	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (( I ↾ 𝐴)‘𝐶) = 𝐶)
8	7	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (( I ↾ 𝐴)‘𝐶) = 𝐶)
9	3, 6, 8	3eqtr3d 2841	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   I cid 5424  ^◡ccnv 5518   ↾ cres 5521   ∘ ccom 5523  ⟶wf 6320  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332

This theorem is referenced by:  f1ocnvfv  7013  wemapwe  9144  fseqenlem2  9436  acndom  9462  isf34lem5  9789  axcc3  9849  pwfseqlem1  10069  hashdom  13736  fz1isolem  13815  cnrecnv  14516  sadcadd  15797  sadadd2  15799  invinv  17032  catcisolem  17358  mhmf1o  17958  srngnvl  19620  mdetleib2  21193  2ndcdisj  22061  cnheiborlem  23559  iunmbl2  24161  dvcnvlem  24579  eff1olem  25140  logef  25173  adjbdlnb  29867  cnvbrabra  29895  fsumiunle  30571  fzto1stinvn  30796  cycpmfv1  30805  cycpmfv2  30806  cycpmco2lem7  30824  madjusmdetlem1  31180  tpr2rico  31265  esumiun  31463  lautj  37389  lautm  37390  ldilcnv  37411  ltrneq2  37444  trlcnv  37461  diaocN  38421  dihcnvid1  38568  dochocss  38662  mapdcnvid1N  38950  isomushgr  44344