MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ocnvfv1 7274
Description: The converse value of the value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem f1ocnvfv1
StepHypRef Expression
1 f1ococnv1 6863 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
21fveq1d 6894 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐴)‘𝐶))
32adantr 482 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐴)‘𝐶))
4 f1of 6834 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
5 fvco3 6991 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
64, 5sylan 581 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
7 fvresi 7171 . . 3 (𝐶𝐴 → (( I ↾ 𝐴)‘𝐶) = 𝐶)
87adantl 483 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → (( I ↾ 𝐴)‘𝐶) = 𝐶)
93, 6, 83eqtr3d 2781 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   I cid 5574  ccnv 5676  cres 5679  ccom 5681  wf 6540  1-1-ontowf1o 6543  cfv 6544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552
This theorem is referenced by:  f1ocnvfv  7276  wemapwe  9692  fseqenlem2  10020  acndom  10046  isf34lem5  10373  axcc3  10433  pwfseqlem1  10653  hashdom  14339  fz1isolem  14422  cnrecnv  15112  sadcadd  16399  sadadd2  16401  invinv  17717  catcisolem  18060  mhmf1o  18682  srngnvl  20464  mdetleib2  22090  2ndcdisj  22960  cnheiborlem  24470  iunmbl2  25074  dvcnvlem  25493  eff1olem  26057  logef  26090  adjbdlnb  31337  cnvbrabra  31365  fsumiunle  32035  fzto1stinvn  32263  cycpmfv1  32272  cycpmfv2  32273  cycpmco2lem7  32291  madjusmdetlem1  32807  tpr2rico  32892  esumiun  33092  lautj  38964  lautm  38965  ldilcnv  38986  ltrneq2  39019  trlcnv  39036  diaocN  39996  dihcnvid1  40143  dochocss  40237  mapdcnvid1N  40525  sticksstones19  40981  nvocnvb  42173  isomushgr  46494  rngisom1  46718
  Copyright terms: Public domain W3C validator