MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invf 16813
Description: The inverse relation is a function from isomorphisms to isomorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
invfval.x (𝜑𝑋𝐵)
invfval.y (𝜑𝑌𝐵)
isoval.n 𝐼 = (Iso‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
invf (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)⟶(𝑌𝐼𝑋))

Proof of Theorem invf
StepHypRef Expression
1 invfval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 invfval.n . . . . 5 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3 invfval.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 invfval.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
5 invfval.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
61, 2, 3, 4, 5invfun 16809 . . . 4 (𝜑 → Fun (𝑋𝑁𝑌))
76funfnd 6166 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) Fn dom (𝑋𝑁𝑌))
8 isoval.n . . . . 5 𝐼 = (Iso‘𝐶)
91, 2, 3, 4, 5, 8isoval 16810 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌))
109fneq2d 6227 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝑁𝑌) Fn (𝑋𝐼𝑌) ↔ (𝑋𝑁𝑌) Fn dom (𝑋𝑁𝑌)))
117, 10mpbird 249 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) Fn (𝑋𝐼𝑌))
12 df-rn 5366 . . . 4 ran (𝑋𝑁𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌)
131, 2, 3, 4, 5invsym2 16808 . . . . . 6 (𝜑(𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝑁𝑋))
1413dmeqd 5571 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑋𝑁𝑌) = dom (𝑌𝑁𝑋))
151, 2, 3, 5, 4, 8isoval 16810 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝐼𝑋) = dom (𝑌𝑁𝑋))
1614, 15eqtr4d 2817 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))
1712, 16syl5eq 2826 . . 3 (𝜑 → ran (𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))
18 eqimss 3876 . . 3 (ran (𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝐼𝑋) → ran (𝑋𝑁𝑌) ⊆ (𝑌𝐼𝑋))
1917, 18syl 17 . 2 (𝜑 → ran (𝑋𝑁𝑌) ⊆ (𝑌𝐼𝑋))
20 df-f 6139 . 2 ((𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)⟶(𝑌𝐼𝑋) ↔ ((𝑋𝑁𝑌) Fn (𝑋𝐼𝑌) ∧ ran (𝑋𝑁𝑌) ⊆ (𝑌𝐼𝑋)))
2111, 19, 20sylanbrc 578 1 (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)⟶(𝑌𝐼𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  wss 3792  ccnv 5354  dom cdm 5355  ran crn 5356   Fn wfn 6130  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  Catccat 16710  Invcinv 16790  Isociso 16791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-cat 16714  df-cid 16715  df-sect 16792  df-inv 16793  df-iso 16794
This theorem is referenced by:  invf1o  16814  invisoinvl  16835  invcoisoid  16837  isocoinvid  16838  rcaninv  16839  ffthiso  16974  initoeu2lem1  17049
  Copyright terms: Public domain W3C validator