Theorem invf 17843

Description: The inverse relation is a function from isomorphisms to isomorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
isoval.n	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
invf	⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)⟶(𝑌𝐼𝑋))

Proof of Theorem invf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invss.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		invss.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	invfun 17839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑋𝑁𝑌))
7	6	funfnd 6571	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) Fn dom (𝑋𝑁𝑌))
8		isoval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	isoval 17840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌))
10	9	fneq2d 6633	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝑁𝑌) Fn (𝑋𝐼𝑌) ↔ (𝑋𝑁𝑌) Fn dom (𝑋𝑁𝑌)))
11	7, 10	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) Fn (𝑋𝐼𝑌))
12		df-rn 5674	. . . 4 ⊢ ran (𝑋𝑁𝑌) = dom ◡(𝑋𝑁𝑌)
13	1, 2, 3, 4, 5	invsym2 17838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝑁𝑋))
14	13	dmeqd 5897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom ◡(𝑋𝑁𝑌) = dom (𝑌𝑁𝑋))
15	1, 2, 3, 5, 4, 8	isoval 17840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐼𝑋) = dom (𝑌𝑁𝑋))
16	14, 15	eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ◡(𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))
17	12, 16	eqtrid 2812	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))
18		eqimss 3996	. . 3 ⊢ (ran (𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝐼𝑋) → ran (𝑋𝑁𝑌) ⊆ (𝑌𝐼𝑋))
19	17, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑋𝑁𝑌) ⊆ (𝑌𝐼𝑋))
20		df-f 6544	. 2 ⊢ ((𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)⟶(𝑌𝐼𝑋) ↔ ((𝑋𝑁𝑌) Fn (𝑋𝐼𝑌) ∧ ran (𝑋𝑁𝑌) ⊆ (𝑌𝐼𝑋)))
21	11, 19, 20	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)⟶(𝑌𝐼𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287  Catccat 17738  Invcinv 17820  Isociso 17821

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-cat 17742  df-cid 17743  df-sect 17822  df-inv 17823  df-iso 17824

This theorem is used by:  invf1o  17844  invisoinvl  17865  invcoisoid  17867  isocoinvid  17868  rcaninv  17869  ffthiso  18006  initoeu2lem1  18089  upeu2lem  49839  thincciso3  50267