Theorem invf 17711

Description: The inverse relation is a function from isomorphisms to isomorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invfval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invfval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
isoval.n	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
invf	⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)⟶(𝑌𝐼𝑋))

Proof of Theorem invf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invfval.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		invfval.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	invfun 17707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑋𝑁𝑌))
7	6	funfnd 6576	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) Fn dom (𝑋𝑁𝑌))
8		isoval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	isoval 17708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌))
10	9	fneq2d 6640	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝑁𝑌) Fn (𝑋𝐼𝑌) ↔ (𝑋𝑁𝑌) Fn dom (𝑋𝑁𝑌)))
11	7, 10	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) Fn (𝑋𝐼𝑌))
12		df-rn 5686	. . . 4 ⊢ ran (𝑋𝑁𝑌) = dom ◡(𝑋𝑁𝑌)
13	1, 2, 3, 4, 5	invsym2 17706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝑁𝑋))
14	13	dmeqd 5903	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom ◡(𝑋𝑁𝑌) = dom (𝑌𝑁𝑋))
15	1, 2, 3, 5, 4, 8	isoval 17708	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐼𝑋) = dom (𝑌𝑁𝑋))
16	14, 15	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ◡(𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))
17	12, 16	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))
18		eqimss 4039	. . 3 ⊢ (ran (𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝐼𝑋) → ran (𝑋𝑁𝑌) ⊆ (𝑌𝐼𝑋))
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑋𝑁𝑌) ⊆ (𝑌𝐼𝑋))
20		df-f 6544	. 2 ⊢ ((𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)⟶(𝑌𝐼𝑋) ↔ ((𝑋𝑁𝑌) Fn (𝑋𝐼𝑌) ∧ ran (𝑋𝑁𝑌) ⊆ (𝑌𝐼𝑋)))
21	11, 19, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)⟶(𝑌𝐼𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947  ^◡ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  Catccat 17604  Invcinv 17688  Isociso 17689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-cat 17608  df-cid 17609  df-sect 17690  df-inv 17691  df-iso 17692

This theorem is referenced by:  invf1o  17712  invisoinvl  17733  invcoisoid  17735  isocoinvid  17736  rcaninv  17737  ffthiso  17876  initoeu2lem1  17960