Theorem invf 17857

Description: The inverse relation is a function from isomorphisms to isomorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
isoval.n	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
invf	⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)⟶(𝑌𝐼𝑋))

Proof of Theorem invf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invss.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		invss.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	invfun 17853	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑋𝑁𝑌))
7	6	funfnd 6564	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) Fn dom (𝑋𝑁𝑌))
8		isoval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	isoval 17854	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌))
10	9	fneq2d 6626	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝑁𝑌) Fn (𝑋𝐼𝑌) ↔ (𝑋𝑁𝑌) Fn dom (𝑋𝑁𝑌)))
11	7, 10	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) Fn (𝑋𝐼𝑌))
12		df-rn 5666	. . . 4 ⊢ ran (𝑋𝑁𝑌) = dom ◡(𝑋𝑁𝑌)
13	1, 2, 3, 4, 5	invsym2 17852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝑁𝑋))
14	13	dmeqd 5889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom ◡(𝑋𝑁𝑌) = dom (𝑌𝑁𝑋))
15	1, 2, 3, 5, 4, 8	isoval 17854	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐼𝑋) = dom (𝑌𝑁𝑋))
16	14, 15	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ◡(𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))
17	12, 16	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))
18		eqimss 3989	. . 3 ⊢ (ran (𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝐼𝑋) → ran (𝑋𝑁𝑌) ⊆ (𝑌𝐼𝑋))
19	17, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑋𝑁𝑌) ⊆ (𝑌𝐼𝑋))
20		df-f 6537	. 2 ⊢ ((𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)⟶(𝑌𝐼𝑋) ↔ ((𝑋𝑁𝑌) Fn (𝑋𝐼𝑌) ∧ ran (𝑋𝑁𝑌) ⊆ (𝑌𝐼𝑋)))
21	11, 19, 20	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)⟶(𝑌𝐼𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  Catccat 17752  Invcinv 17834  Isociso 17835

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-cat 17756  df-cid 17757  df-sect 17836  df-inv 17837  df-iso 17838

This theorem is used by:  invf1o  17858  invisoinvl  17879  invcoisoid  17881  isocoinvid  17882  rcaninv  17883  ffthiso  18020  initoeu2lem1  18103  upeu2lem  49954  thincciso3  50382