Theorem inviso1 16811

Description: If 𝐺 is an inverse to 𝐹, then 𝐹 is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invfval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invfval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
isoval.n	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
inviso1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
inviso1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Proof of Theorem inviso1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invfval.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		invfval.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	invfun 16809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑋𝑁𝑌))
7		funrel 6152	. . . 4 ⊢ (Fun (𝑋𝑁𝑌) → Rel (𝑋𝑁𝑌))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑋𝑁𝑌))
9		inviso1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)
10		releldm 5604	. . 3 ⊢ ((Rel (𝑋𝑁𝑌) ∧ 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺) → 𝐹 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌))
11	8, 9, 10	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌))
12		isoval.n	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12	isoval 16810	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌))
14	11, 13	eleqtrrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   class class class wbr 4886  dom cdm 5355  Rel wrel 5360  Fun wfun 6129  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  Catccat 16710  Invcinv 16790  Isociso 16791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-cat 16714  df-cid 16715  df-sect 16792  df-inv 16793  df-iso 16794

This theorem is referenced by:  inviso2  16812  isoco  16822  idiso  16833  funciso  16919  ffthiso  16974  fuciso  17020  initoeu1  17046  termoeu1  17053  catciso  17142  yoneda  17309