MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inviso1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inviso1 17584
Description: If 𝐺 is an inverse to 𝐹, then 𝐹 is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
invfval.n 𝑁 = (Invβ€˜πΆ)
invfval.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
invfval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
invfval.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
isoval.n 𝐼 = (Isoβ€˜πΆ)
inviso1.1 (πœ‘ β†’ 𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺)
Assertion
Ref Expression
inviso1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))

Proof of Theorem inviso1
StepHypRef Expression
1 invfval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 invfval.n . . . . 5 𝑁 = (Invβ€˜πΆ)
3 invfval.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
4 invfval.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 invfval.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
61, 2, 3, 4, 5invfun 17582 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun (π‘‹π‘π‘Œ))
7 funrel 6514 . . . 4 (Fun (π‘‹π‘π‘Œ) β†’ Rel (π‘‹π‘π‘Œ))
86, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ Rel (π‘‹π‘π‘Œ))
9 inviso1.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺)
10 releldm 5896 . . 3 ((Rel (π‘‹π‘π‘Œ) ∧ 𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺) β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘‹π‘π‘Œ))
118, 9, 10syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘‹π‘π‘Œ))
12 isoval.n . . 3 𝐼 = (Isoβ€˜πΆ)
131, 2, 3, 4, 5, 12isoval 17583 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹πΌπ‘Œ) = dom (π‘‹π‘π‘Œ))
1411, 13eleqtrrd 2842 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5104  dom cdm 5631  Rel wrel 5636  Fun wfun 6486  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  Basecbs 17018  Catccat 17479  Invcinv 17563  Isociso 17564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-cat 17483  df-cid 17484  df-sect 17565  df-inv 17566  df-iso 17567
This theorem is referenced by:  inviso2  17585  isoco  17595  idiso  17606  funciso  17695  ffthiso  17751  fuciso  17799  initoeu1  17832  termoeu1  17839  catciso  17932  yoneda  18107
  Copyright terms: Public domain W3C validator