Theorem inviso1 17728

Description: If 𝐺 is an inverse to 𝐹, then 𝐹 is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
isoval.n	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
inviso1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
inviso1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Proof of Theorem inviso1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invss.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		invss.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	invfun 17726	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑋𝑁𝑌))
7		funrel 6533	. . . 4 ⊢ (Fun (𝑋𝑁𝑌) → Rel (𝑋𝑁𝑌))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑋𝑁𝑌))
9		inviso1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)
10		releldm 5908	. . 3 ⊢ ((Rel (𝑋𝑁𝑌) ∧ 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺) → 𝐹 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌))
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌))
12		isoval.n	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12	isoval 17727	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌))
14	11, 13	eleqtrrd 2831	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  Rel wrel 5643  Fun wfun 6505  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  Catccat 17625  Invcinv 17707  Isociso 17708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-cat 17629  df-cid 17630  df-sect 17709  df-inv 17710  df-iso 17711

This theorem is referenced by:  inviso2  17729  isoco  17739  idiso  17750  funciso  17836  ffthiso  17893  fuciso  17940  initoeu1  17973  termoeu1  17980  catciso  18073  yoneda  18244  isoval2  49021