MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inviso1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inviso1 17036
Description: If 𝐺 is an inverse to 𝐹, then 𝐹 is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
invfval.x (𝜑𝑋𝐵)
invfval.y (𝜑𝑌𝐵)
isoval.n 𝐼 = (Iso‘𝐶)
inviso1.1 (𝜑𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)
Assertion
Ref Expression
inviso1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Proof of Theorem inviso1
StepHypRef Expression
1 invfval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 invfval.n . . . . 5 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3 invfval.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 invfval.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
5 invfval.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
61, 2, 3, 4, 5invfun 17034 . . . 4 (𝜑 → Fun (𝑋𝑁𝑌))
7 funrel 6360 . . . 4 (Fun (𝑋𝑁𝑌) → Rel (𝑋𝑁𝑌))
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → Rel (𝑋𝑁𝑌))
9 inviso1.1 . . 3 (𝜑𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)
10 releldm 5801 . . 3 ((Rel (𝑋𝑁𝑌) ∧ 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺) → 𝐹 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌))
118, 9, 10syl2anc 587 . 2 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌))
12 isoval.n . . 3 𝐼 = (Iso‘𝐶)
131, 2, 3, 4, 5, 12isoval 17035 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌))
1411, 13eleqtrrd 2919 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5052  dom cdm 5542  Rel wrel 5547  Fun wfun 6337  cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  Catccat 16935  Invcinv 17015  Isociso 17016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-cat 16939  df-cid 16940  df-sect 17017  df-inv 17018  df-iso 17019
This theorem is referenced by:  inviso2  17037  isoco  17047  idiso  17058  funciso  17144  ffthiso  17199  fuciso  17245  initoeu1  17271  termoeu1  17278  catciso  17367  yoneda  17533
  Copyright terms: Public domain W3C validator