Theorem sszcld 24777

Description: Every subset of the integers are closed in the topology on ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
sszcld	⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem sszcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld2.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	zcld2 24775	. 2 ⊢ ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℤ)
4		zex 12600	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
5		difss 4128	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∖ 𝐴) ⊆ ℤ
6	4, 5	elpwi2 5349	. . . 4 ⊢ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 ℤ
7	1	zdis 24776	. . . 4 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) = 𝒫 ℤ
8	6, 7	eleqtrri 2824	. . 3 ⊢ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t ℤ)
9	1	cnfldtopon 24743	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
10		zsscn 12599	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
11		resttopon 23109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t ℤ) ∈ (TopOn‘ℤ))
12	9, 10, 11	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) ∈ (TopOn‘ℤ)
13	12	topontopi 22861	. . . 4 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) ∈ Top
14	12	toponunii 22862	. . . . 5 ⊢ ℤ = ∪ (𝐽 ↾t ℤ)
15	14	iscld 22975	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ↾t ℤ) ∈ Top → (𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ)) ↔ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t ℤ))))
16	13, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ)) ↔ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t ℤ)))
17	3, 8, 16	sylanblrc 588	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ)))
18		restcldr 23122	. 2 ⊢ ((ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ))) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
19	2, 17, 18	sylancr 585	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461   ∖ cdif 3941   ⊆ wss 3944  𝒫 cpw 4604  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  ℤcz 12591   ↾_t crest 17405  TopOpenctopn 17406  ℂ_fldccnfld 21296  Topctop 22839  TopOnctopon 22856  Clsdccld 22964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-fz 13520  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-struct 17119  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-rest 17407  df-topn 17408  df-topgen 17428  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-xms 24270  df-ms 24271

This theorem is referenced by:  lgamucov  27015