Theorem sszcld 24878

Description: Every subset of the integers are closed in the topology on ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
sszcld	⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem sszcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld2.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	zcld2 24876	. 2 ⊢ ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℤ)
4		zex 12577	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
5		difss 4089	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∖ 𝐴) ⊆ ℤ
6	4, 5	elpwi2 5291	. . . 4 ⊢ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 ℤ
7	1	zdis 24877	. . . 4 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) = 𝒫 ℤ
8	6, 7	eleqtrri 2861	. . 3 ⊢ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t ℤ)
9	1	cnfldtopon 24842	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
10		zsscn 12576	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
11		resttopon 23221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t ℤ) ∈ (TopOn‘ℤ))
12	9, 10, 11	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) ∈ (TopOn‘ℤ)
13	12	topontopi 22975	. . . 4 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) ∈ Top
14	12	toponunii 22976	. . . . 5 ⊢ ℤ = ∪ (𝐽 ↾t ℤ)
15	14	iscld 23087	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ↾t ℤ) ∈ Top → (𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ)) ↔ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t ℤ))))
16	13, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ)) ↔ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t ℤ)))
17	3, 8, 16	sylanblrc 599	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ)))
18		restcldr 23234	. 2 ⊢ ((ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ))) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
19	2, 17, 18	sylancr 596	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4555  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℤcz 12568   ↾_t crest 17449  TopOpenctopn 17450  ℂ_fldccnfld 21424  Topctop 22953  TopOnctopon 22970  Clsdccld 23076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-fz 13513  df-fl 13802  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-rest 17451  df-topn 17452  df-topgen 17472  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-cnfld 21425  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cld 23079  df-xms 24380  df-ms 24381

This theorem is referenced by:  lgamucov  27102