Theorem sszcld 25192

Description: Every subset of the integers are closed in the topology on ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
sszcld	⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem sszcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld2.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	zcld2 25190	. 2 ⊢ ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)
3		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℤ)
4		zex 12742	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
5		difss 4075	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∖ 𝐴) ⊆ ℤ
6	4, 5	elpwi2 5304	. . . 4 ⊢ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 ℤ
7	1	zdis 25191	. . . 4 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) = 𝒫 ℤ
8	6, 7	eleqtrri 2863	. . 3 ⊢ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t ℤ)
9	1	cnfldtopon 25156	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
10		zsscn 12741	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
11		resttopon 23534	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t ℤ) ∈ (TopOn‘ℤ))
12	9, 10, 11	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) ∈ (TopOn‘ℤ)
13	12	topontopi 23288	. . . 4 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) ∈ Top
14	12	toponunii 23289	. . . . 5 ⊢ ℤ = ∪ (𝐽 ↾t ℤ)
15	14	iscld 23400	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ↾t ℤ) ∈ Top → (𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ)) ↔ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t ℤ))))
16	13, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ)) ↔ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t ℤ)))
17	3, 8, 16	sylanblrc 602	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ)))
18		restcldr 23547	. 2 ⊢ ((ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ))) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
19	2, 17, 18	sylancr 599	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  𝒫 cpw 4560  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℤcz 12733   ↾_t crest 17641  TopOpenctopn 17642  ℂ_fldccnfld 21729  Topctop 23266  TopOnctopon 23283  Clsdccld 23389

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-fz 13680  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-topgen 17664  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-xms 24694  df-ms 24695

This theorem is used by:  lgamucov  27422