MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sszcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sszcld 22840
Description: Every subset of the integers are closed in the topology on . (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
sszcld (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem sszcld
StepHypRef Expression
1 recld2.1 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
21zcld2 22838 . 2 ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)
3 id 22 . . 3 (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℤ)
4 difss 3888 . . . . . 6 (ℤ ∖ 𝐴) ⊆ ℤ
5 zex 11588 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
65elpw2 4959 . . . . . 6 ((ℤ ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 ℤ ↔ (ℤ ∖ 𝐴) ⊆ ℤ)
74, 6mpbir 221 . . . . 5 (ℤ ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 ℤ
81zdis 22839 . . . . 5 (𝐽t ℤ) = 𝒫 ℤ
97, 8eleqtrri 2849 . . . 4 (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽t ℤ)
109a1i 11 . . 3 (𝐴 ⊆ ℤ → (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽t ℤ))
111cnfldtopon 22806 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
12 zsscn 11587 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℂ
13 resttopon 21186 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (𝐽t ℤ) ∈ (TopOn‘ℤ))
1411, 12, 13mp2an 672 . . . . 5 (𝐽t ℤ) ∈ (TopOn‘ℤ)
1514topontopi 20940 . . . 4 (𝐽t ℤ) ∈ Top
1614toponunii 20941 . . . . 5 ℤ = (𝐽t ℤ)
1716iscld 21052 . . . 4 ((𝐽t ℤ) ∈ Top → (𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽t ℤ)) ↔ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽t ℤ))))
1815, 17ax-mp 5 . . 3 (𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽t ℤ)) ↔ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽t ℤ)))
193, 10, 18sylanbrc 572 . 2 (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽t ℤ)))
20 restcldr 21199 . 2 ((ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽t ℤ))) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
212, 19, 20sylancr 575 1 (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cdif 3720  wss 3723  𝒫 cpw 4297  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cz 11579  t crest 16289  TopOpenctopn 16290  fldccnfld 19961  Topctop 20918  TopOnctopon 20935  Clsdccld 21041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-fz 12534  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-rest 16291  df-topn 16292  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-xms 22345  df-ms 22346
This theorem is referenced by:  lgamucov  24985
  Copyright terms: Public domain W3C validator