Theorem sszcld 24733

Description: Every subset of the integers are closed in the topology on ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
sszcld	⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem sszcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld2.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	zcld2 24731	. 2 ⊢ ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℤ)
4		zex 12477	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
5		difss 4083	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∖ 𝐴) ⊆ ℤ
6	4, 5	elpwi2 5271	. . . 4 ⊢ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 ℤ
7	1	zdis 24732	. . . 4 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) = 𝒫 ℤ
8	6, 7	eleqtrri 2830	. . 3 ⊢ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t ℤ)
9	1	cnfldtopon 24697	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
10		zsscn 12476	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
11		resttopon 23076	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t ℤ) ∈ (TopOn‘ℤ))
12	9, 10, 11	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) ∈ (TopOn‘ℤ)
13	12	topontopi 22830	. . . 4 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) ∈ Top
14	12	toponunii 22831	. . . . 5 ⊢ ℤ = ∪ (𝐽 ↾t ℤ)
15	14	iscld 22942	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ↾t ℤ) ∈ Top → (𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ)) ↔ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t ℤ))))
16	13, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ)) ↔ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t ℤ)))
17	3, 8, 16	sylanblrc 590	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ)))
18		restcldr 23089	. 2 ⊢ ((ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ))) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
19	2, 17, 18	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4547  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℤcz 12468   ↾_t crest 17324  TopOpenctopn 17325  ℂ_fldccnfld 21291  Topctop 22808  TopOnctopon 22825  Clsdccld 22931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-fz 13408  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-rest 17326  df-topn 17327  df-topgen 17347  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-xms 24235  df-ms 24236

This theorem is referenced by:  lgamucov  26975