MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sszcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sszcld 24677
Description: Every subset of the integers are closed in the topology on β„‚. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
sszcld (𝐴 βŠ† β„€ β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½))

Proof of Theorem sszcld
StepHypRef Expression
1 recld2.1 . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21zcld2 24675 . 2 β„€ ∈ (Clsdβ€˜π½)
3 id 22 . . 3 (𝐴 βŠ† β„€ β†’ 𝐴 βŠ† β„€)
4 zex 12566 . . . . 5 β„€ ∈ V
5 difss 4124 . . . . 5 (β„€ βˆ– 𝐴) βŠ† β„€
64, 5elpwi2 5337 . . . 4 (β„€ βˆ– 𝐴) ∈ 𝒫 β„€
71zdis 24676 . . . 4 (𝐽 β†Ύt β„€) = 𝒫 β„€
86, 7eleqtrri 2824 . . 3 (β„€ βˆ– 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt β„€)
91cnfldtopon 24643 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
10 zsscn 12565 . . . . . 6 β„€ βŠ† β„‚
11 resttopon 23009 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ β„€ βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt β„€) ∈ (TopOnβ€˜β„€))
129, 10, 11mp2an 689 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt β„€) ∈ (TopOnβ€˜β„€)
1312topontopi 22761 . . . 4 (𝐽 β†Ύt β„€) ∈ Top
1412toponunii 22762 . . . . 5 β„€ = βˆͺ (𝐽 β†Ύt β„€)
1514iscld 22875 . . . 4 ((𝐽 β†Ύt β„€) ∈ Top β†’ (𝐴 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt β„€)) ↔ (𝐴 βŠ† β„€ ∧ (β„€ βˆ– 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt β„€))))
1613, 15ax-mp 5 . . 3 (𝐴 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt β„€)) ↔ (𝐴 βŠ† β„€ ∧ (β„€ βˆ– 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt β„€)))
173, 8, 16sylanblrc 589 . 2 (𝐴 βŠ† β„€ β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt β„€)))
18 restcldr 23022 . 2 ((β„€ ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt β„€))) β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½))
192, 17, 18sylancr 586 1 (𝐴 βŠ† β„€ β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   βˆ– cdif 3938   βŠ† wss 3941  π’« cpw 4595  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  β„€cz 12557   β†Ύt crest 17371  TopOpenctopn 17372  β„‚fldccnfld 21234  Topctop 22739  TopOnctopon 22756  Clsdccld 22864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-fz 13486  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-rest 17373  df-topn 17374  df-topgen 17394  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-xms 24170  df-ms 24171
This theorem is referenced by:  lgamucov  26911
  Copyright terms: Public domain W3C validator