Theorem sszcld 24757

Description: Every subset of the integers are closed in the topology on ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
sszcld	⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem sszcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld2.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	zcld2 24755	. 2 ⊢ ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℤ)
4		zex 12597	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
5		difss 4111	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∖ 𝐴) ⊆ ℤ
6	4, 5	elpwi2 5305	. . . 4 ⊢ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 ℤ
7	1	zdis 24756	. . . 4 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) = 𝒫 ℤ
8	6, 7	eleqtrri 2833	. . 3 ⊢ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t ℤ)
9	1	cnfldtopon 24721	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
10		zsscn 12596	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
11		resttopon 23099	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t ℤ) ∈ (TopOn‘ℤ))
12	9, 10, 11	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) ∈ (TopOn‘ℤ)
13	12	topontopi 22853	. . . 4 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) ∈ Top
14	12	toponunii 22854	. . . . 5 ⊢ ℤ = ∪ (𝐽 ↾t ℤ)
15	14	iscld 22965	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ↾t ℤ) ∈ Top → (𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ)) ↔ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t ℤ))))
16	13, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ)) ↔ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ (ℤ ∖ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t ℤ)))
17	3, 8, 16	sylanblrc 590	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ)))
18		restcldr 23112	. 2 ⊢ ((ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐴 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t ℤ))) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
19	2, 17, 18	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℤcz 12588   ↾_t crest 17434  TopOpenctopn 17435  ℂ_fldccnfld 21315  Topctop 22831  TopOnctopon 22848  Clsdccld 22954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-fz 13525  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-rest 17436  df-topn 17437  df-topgen 17457  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-xms 24259  df-ms 24260

This theorem is referenced by:  lgamucov  27000