Theorem ist0cld 31783

Description: The predicate "is a T₀ space", using closed sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ist0cls.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐽)
ist0cls.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (Clsd‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
ist0cld	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∀𝑑 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑) → 𝑥 = 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝐷,𝑑   𝐽,𝑑,𝑥,𝑦   𝜑,𝑑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑑)   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ist0cld

Dummy variable 𝑜 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	ist0 22471	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
3	2	simplbi 498	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
4	3	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Kol2) → 𝐽 ∈ Top)
5	2	baib 536	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
6	5	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
7		ist0cls.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐽)
8	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
9	8	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) → ∪ 𝐽 = 𝐵)
10	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∪ 𝐽 = 𝐵)
11		simp-4r 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
12		uniexg 7593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ V)
13		difexg 5251	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝐽 ∈ V → (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ∈ V)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ∈ V)
15	1	iscld 22178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑑 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑑 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽)))
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝑑 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑑 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽)))
17		ist0cls.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (Clsd‘𝐽))
18	17	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ 𝐷 ↔ 𝑑 ∈ (Clsd‘𝐽)))
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝑑 ∈ 𝐷 ↔ 𝑑 ∈ (Clsd‘𝐽)))
20		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜))
21		difssd 4067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ⊆ ∪ 𝐽)
22	20, 21	eqsstrd 3959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽)
23	22	r19.29an 3217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ ∃𝑜 ∈ 𝐽 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽)
24		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜))
25	24	difeq2d 4057	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) = (∪ 𝐽 ∖ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)))
26	1	eltopss 22056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) → 𝑜 ⊆ ∪ 𝐽)
27	26	ad5ant24 758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → 𝑜 ⊆ ∪ 𝐽)
28		dfss4 4192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑜 ⊆ ∪ 𝐽 ↔ (∪ 𝐽 ∖ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) = 𝑜)
29	27, 28	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (∪ 𝐽 ∖ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) = 𝑜)
30		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → 𝑜 ∈ 𝐽)
31	29, 30	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (∪ 𝐽 ∖ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) ∈ 𝐽)
32	25, 31	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽)
33	32	r19.29an 3217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ ∃𝑜 ∈ 𝐽 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽)
34		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽)
35		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽) ∧ 𝑜 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑑)) → 𝑜 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑑))
36	35	difeq2d 4057	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽) ∧ 𝑜 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑑)) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) = (∪ 𝐽 ∖ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑)))
37	36	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽) ∧ 𝑜 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑑)) → (𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ↔ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑))))
38		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽) → 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽)
39		dfss4 4192	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ⊆ ∪ 𝐽 ↔ (∪ 𝐽 ∖ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑)) = 𝑑)
40	38, 39	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽) → (∪ 𝐽 ∖ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑)) = 𝑑)
41	40	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽) → 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑)))
42	34, 37, 41	rspcedvd 3563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽) → ∃𝑜 ∈ 𝐽 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜))
43	33, 42	impbida 798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) → (∃𝑜 ∈ 𝐽 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ↔ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽))
44	23, 43	biadanid 820	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) → (∃𝑜 ∈ 𝐽 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ↔ (𝑑 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽)))
45	16, 19, 44	3bitr4d 311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝑑 ∈ 𝐷 ↔ ∃𝑜 ∈ 𝐽 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)))
46	45	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑑 ∈ 𝐷 ↔ ∃𝑜 ∈ 𝐽 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)))
47		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜))
48	47	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑥 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)))
49		eldif 3897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑜))
50	49	baib 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 → (𝑥 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝑜))
51	50	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (𝑥 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝑜))
52	48, 51	bitrd 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝑜))
53	47	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (𝑦 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)))
54		eldif 3897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ↔ (𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜))
55	54	baib 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝐽 → (𝑦 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜))
56	55	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (𝑦 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜))
57	53, 56	bitrd 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (𝑦 ∈ 𝑑 ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜))
58	52, 57	bibi12d 346	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → ((𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝑜 ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜)))
59		notbi 319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝑜 ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜))
60	58, 59	bitr4di 289	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → ((𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑) ↔ (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜)))
61	14, 46, 60	ralxfr2d 5333	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) → (∀𝑑 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑) ↔ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜)))
62	61	bicomd 222	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) → (∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑)))
63	62	imbi1d 342	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) → ((∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (∀𝑑 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑) → 𝑥 = 𝑦)))
64	10, 63	raleqbidva 3354	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → (∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∀𝑑 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑) → 𝑥 = 𝑦)))
65	9, 64	raleqbidva 3354	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) → (∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∀𝑑 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑) → 𝑥 = 𝑦)))
66	6, 65	bitrd 278	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∀𝑑 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑) → 𝑥 = 𝑦)))
67	4, 66	biadanid 820	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∀𝑑 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑) → 𝑥 = 𝑦))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  ∪ cuni 4839  ‘cfv 6433  Topctop 22042  Clsdccld 22167  Kol2ct0 22457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-top 22043  df-cld 22170  df-t0 22464

This theorem is referenced by:  zart0  31829