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Theorem ist0cld 31186
 Description: The predicate "is a T0 space", using closed sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ist0cls.1 (𝜑𝐵 = 𝐽)
ist0cls.2 (𝜑𝐷 = (Clsd‘𝐽))
Assertion
Ref Expression
ist0cld (𝜑 → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (∀𝑑𝐷 (𝑥𝑑𝑦𝑑) → 𝑥 = 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝐷,𝑑   𝐽,𝑑,𝑥,𝑦   𝜑,𝑑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑑)   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ist0cld
Dummy variable 𝑜 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
21ist0 21928 . . . 4 (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
32simplbi 501 . . 3 (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
43adantl 485 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ Kol2) → 𝐽 ∈ Top)
52baib 539 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
65adantl 485 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ Top) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
7 ist0cls.1 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = 𝐽)
87adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ Top) → 𝐵 = 𝐽)
98eqcomd 2807 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ Top) → 𝐽 = 𝐵)
109adantr 484 . . . . 5 (((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 = 𝐵)
11 simp-4r 783 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 𝐽) ∧ 𝑦 𝐽) ∧ 𝑜𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
12 uniexg 7450 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ V)
13 difexg 5198 . . . . . . . . 9 ( 𝐽 ∈ V → ( 𝐽𝑜) ∈ V)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 𝐽) ∧ 𝑦 𝐽) ∧ 𝑜𝐽) → ( 𝐽𝑜) ∈ V)
151iscld 21635 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Top → (𝑑 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑑 𝐽 ∧ ( 𝐽𝑑) ∈ 𝐽)))
1615adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ Top) → (𝑑 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑑 𝐽 ∧ ( 𝐽𝑑) ∈ 𝐽)))
17 ist0cls.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 = (Clsd‘𝐽))
1817eleq2d 2878 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑑𝐷𝑑 ∈ (Clsd‘𝐽)))
1918adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ Top) → (𝑑𝐷𝑑 ∈ (Clsd‘𝐽)))
20 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑜𝐽) ∧ 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → 𝑑 = ( 𝐽𝑜))
21 difssd 4063 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑜𝐽) ∧ 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → ( 𝐽𝑜) ⊆ 𝐽)
2220, 21eqsstrd 3956 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑜𝐽) ∧ 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → 𝑑 𝐽)
2322r19.29an 3250 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ ∃𝑜𝐽 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → 𝑑 𝐽)
24 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 𝐽) ∧ 𝑜𝐽) ∧ 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → 𝑑 = ( 𝐽𝑜))
2524difeq2d 4053 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 𝐽) ∧ 𝑜𝐽) ∧ 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → ( 𝐽𝑑) = ( 𝐽 ∖ ( 𝐽𝑜)))
261eltopss 21515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜 𝐽)
2726ad5ant24 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 𝐽) ∧ 𝑜𝐽) ∧ 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → 𝑜 𝐽)
28 dfss4 4188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑜 𝐽 ↔ ( 𝐽 ∖ ( 𝐽𝑜)) = 𝑜)
2927, 28sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 𝐽) ∧ 𝑜𝐽) ∧ 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → ( 𝐽 ∖ ( 𝐽𝑜)) = 𝑜)
30 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 𝐽) ∧ 𝑜𝐽) ∧ 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → 𝑜𝐽)
3129, 30eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 𝐽) ∧ 𝑜𝐽) ∧ 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → ( 𝐽 ∖ ( 𝐽𝑜)) ∈ 𝐽)
3225, 31eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 𝐽) ∧ 𝑜𝐽) ∧ 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → ( 𝐽𝑑) ∈ 𝐽)
3332r19.29an 3250 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 𝐽) ∧ ∃𝑜𝐽 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → ( 𝐽𝑑) ∈ 𝐽)
34 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 𝐽) ∧ ( 𝐽𝑑) ∈ 𝐽) → ( 𝐽𝑑) ∈ 𝐽)
35 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 𝐽) ∧ ( 𝐽𝑑) ∈ 𝐽) ∧ 𝑜 = ( 𝐽𝑑)) → 𝑜 = ( 𝐽𝑑))
3635difeq2d 4053 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 𝐽) ∧ ( 𝐽𝑑) ∈ 𝐽) ∧ 𝑜 = ( 𝐽𝑑)) → ( 𝐽𝑜) = ( 𝐽 ∖ ( 𝐽𝑑)))
3736eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 𝐽) ∧ ( 𝐽𝑑) ∈ 𝐽) ∧ 𝑜 = ( 𝐽𝑑)) → (𝑑 = ( 𝐽𝑜) ↔ 𝑑 = ( 𝐽 ∖ ( 𝐽𝑑))))
38 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 𝐽) ∧ ( 𝐽𝑑) ∈ 𝐽) → 𝑑 𝐽)
39 dfss4 4188 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 𝐽 ↔ ( 𝐽 ∖ ( 𝐽𝑑)) = 𝑑)
4038, 39sylib 221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 𝐽) ∧ ( 𝐽𝑑) ∈ 𝐽) → ( 𝐽 ∖ ( 𝐽𝑑)) = 𝑑)
4140eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 𝐽) ∧ ( 𝐽𝑑) ∈ 𝐽) → 𝑑 = ( 𝐽 ∖ ( 𝐽𝑑)))
4234, 37, 41rspcedvd 3577 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 𝐽) ∧ ( 𝐽𝑑) ∈ 𝐽) → ∃𝑜𝐽 𝑑 = ( 𝐽𝑜))
4333, 42impbida 800 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 𝐽) → (∃𝑜𝐽 𝑑 = ( 𝐽𝑜) ↔ ( 𝐽𝑑) ∈ 𝐽))
4423, 43biadanid 30239 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ Top) → (∃𝑜𝐽 𝑑 = ( 𝐽𝑜) ↔ (𝑑 𝐽 ∧ ( 𝐽𝑑) ∈ 𝐽)))
4516, 19, 443bitr4d 314 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ Top) → (𝑑𝐷 ↔ ∃𝑜𝐽 𝑑 = ( 𝐽𝑜)))
4645ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 𝐽) ∧ 𝑦 𝐽) → (𝑑𝐷 ↔ ∃𝑜𝐽 𝑑 = ( 𝐽𝑜)))
47 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 𝐽) ∧ 𝑦 𝐽) ∧ 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → 𝑑 = ( 𝐽𝑜))
4847eleq2d 2878 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 𝐽) ∧ 𝑦 𝐽) ∧ 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → (𝑥𝑑𝑥 ∈ ( 𝐽𝑜)))
49 eldif 3894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ( 𝐽𝑜) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ ¬ 𝑥𝑜))
5049baib 539 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝐽 → (𝑥 ∈ ( 𝐽𝑜) ↔ ¬ 𝑥𝑜))
5150ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 𝐽) ∧ 𝑦 𝐽) ∧ 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → (𝑥 ∈ ( 𝐽𝑜) ↔ ¬ 𝑥𝑜))
5248, 51bitrd 282 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 𝐽) ∧ 𝑦 𝐽) ∧ 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → (𝑥𝑑 ↔ ¬ 𝑥𝑜))
5347eleq2d 2878 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 𝐽) ∧ 𝑦 𝐽) ∧ 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → (𝑦𝑑𝑦 ∈ ( 𝐽𝑜)))
54 eldif 3894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ( 𝐽𝑜) ↔ (𝑦 𝐽 ∧ ¬ 𝑦𝑜))
5554baib 539 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 𝐽 → (𝑦 ∈ ( 𝐽𝑜) ↔ ¬ 𝑦𝑜))
5655ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 𝐽) ∧ 𝑦 𝐽) ∧ 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → (𝑦 ∈ ( 𝐽𝑜) ↔ ¬ 𝑦𝑜))
5753, 56bitrd 282 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 𝐽) ∧ 𝑦 𝐽) ∧ 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → (𝑦𝑑 ↔ ¬ 𝑦𝑜))
5852, 57bibi12d 349 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 𝐽) ∧ 𝑦 𝐽) ∧ 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → ((𝑥𝑑𝑦𝑑) ↔ (¬ 𝑥𝑜 ↔ ¬ 𝑦𝑜)))
59 notbi 322 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ (¬ 𝑥𝑜 ↔ ¬ 𝑦𝑜))
6058, 59syl6bbr 292 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 𝐽) ∧ 𝑦 𝐽) ∧ 𝑑 = ( 𝐽𝑜)) → ((𝑥𝑑𝑦𝑑) ↔ (𝑥𝑜𝑦𝑜)))
6114, 46, 60ralxfr2d 5279 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 𝐽) ∧ 𝑦 𝐽) → (∀𝑑𝐷 (𝑥𝑑𝑦𝑑) ↔ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜)))
6261bicomd 226 . . . . . 6 ((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 𝐽) ∧ 𝑦 𝐽) → (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ∀𝑑𝐷 (𝑥𝑑𝑦𝑑)))
6362imbi1d 345 . . . . 5 ((((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 𝐽) ∧ 𝑦 𝐽) → ((∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (∀𝑑𝐷 (𝑥𝑑𝑦𝑑) → 𝑥 = 𝑦)))
6410, 63raleqbidva 3373 . . . 4 (((𝜑𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 𝐽) → (∀𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑦𝐵 (∀𝑑𝐷 (𝑥𝑑𝑦𝑑) → 𝑥 = 𝑦)))
659, 64raleqbidva 3373 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ Top) → (∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (∀𝑑𝐷 (𝑥𝑑𝑦𝑑) → 𝑥 = 𝑦)))
666, 65bitrd 282 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ Top) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (∀𝑑𝐷 (𝑥𝑑𝑦𝑑) → 𝑥 = 𝑦)))
674, 66biadanid 30239 1 (𝜑 → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (∀𝑑𝐷 (𝑥𝑑𝑦𝑑) → 𝑥 = 𝑦))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  Vcvv 3444   ∖ cdif 3881   ⊆ wss 3884  ∪ cuni 4803  ‘cfv 6328  Topctop 21501  Clsdccld 21624  Kol2ct0 21914 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fv 6336  df-top 21502  df-cld 21627  df-t0 21921 This theorem is referenced by:  zart0  31232
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