Theorem ist0cld 33833

Description: The predicate "is a T₀ space", using closed sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ist0cls.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐽)
ist0cls.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (Clsd‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
ist0cld	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∀𝑑 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑) → 𝑥 = 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝐷,𝑑   𝐽,𝑑,𝑥,𝑦   𝜑,𝑑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑑)   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ist0cld

Dummy variable 𝑜 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	ist0 23329	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
3	2	simplbi 497	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Kol2) → 𝐽 ∈ Top)
5	2	baib 535	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
7		ist0cls.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐽)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
9	8	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) → ∪ 𝐽 = 𝐵)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∪ 𝐽 = 𝐵)
11		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
12		uniexg 7761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ V)
13		difexg 5328	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝐽 ∈ V → (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ∈ V)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ∈ V)
15	1	iscld 23036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑑 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑑 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽)))
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝑑 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑑 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽)))
17		ist0cls.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (Clsd‘𝐽))
18	17	eleq2d 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ 𝐷 ↔ 𝑑 ∈ (Clsd‘𝐽)))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝑑 ∈ 𝐷 ↔ 𝑑 ∈ (Clsd‘𝐽)))
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜))
21		difssd 4136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ⊆ ∪ 𝐽)
22	20, 21	eqsstrd 4017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽)
23	22	r19.29an 3157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ ∃𝑜 ∈ 𝐽 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽)
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜))
25	24	difeq2d 4125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) = (∪ 𝐽 ∖ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)))
26	1	eltopss 22914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) → 𝑜 ⊆ ∪ 𝐽)
27	26	ad5ant24 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → 𝑜 ⊆ ∪ 𝐽)
28		dfss4 4268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑜 ⊆ ∪ 𝐽 ↔ (∪ 𝐽 ∖ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) = 𝑜)
29	27, 28	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (∪ 𝐽 ∖ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) = 𝑜)
30		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → 𝑜 ∈ 𝐽)
31	29, 30	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (∪ 𝐽 ∖ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) ∈ 𝐽)
32	25, 31	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ 𝑜 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽)
33	32	r19.29an 3157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ ∃𝑜 ∈ 𝐽 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽)
34		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽)
35		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽) ∧ 𝑜 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑑)) → 𝑜 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑑))
36	35	difeq2d 4125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽) ∧ 𝑜 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑑)) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) = (∪ 𝐽 ∖ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑)))
37	36	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽) ∧ 𝑜 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑑)) → (𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ↔ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑))))
38		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽) → 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽)
39		dfss4 4268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ⊆ ∪ 𝐽 ↔ (∪ 𝐽 ∖ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑)) = 𝑑)
40	38, 39	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽) → (∪ 𝐽 ∖ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑)) = 𝑑)
41	40	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽) → 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑)))
42	34, 37, 41	rspcedvd 3623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽) → ∃𝑜 ∈ 𝐽 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜))
43	33, 42	impbida 800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽) → (∃𝑜 ∈ 𝐽 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ↔ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽))
44	23, 43	biadanid 822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) → (∃𝑜 ∈ 𝐽 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ↔ (𝑑 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑑) ∈ 𝐽)))
45	16, 19, 44	3bitr4d 311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝑑 ∈ 𝐷 ↔ ∃𝑜 ∈ 𝐽 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)))
46	45	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑑 ∈ 𝐷 ↔ ∃𝑜 ∈ 𝐽 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)))
47		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜))
48	47	eleq2d 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑥 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)))
49		eldif 3960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑜))
50	49	baib 535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 → (𝑥 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝑜))
51	50	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (𝑥 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝑜))
52	48, 51	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝑜))
53	47	eleq2d 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (𝑦 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)))
54		eldif 3960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ↔ (𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜))
55	54	baib 535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝐽 → (𝑦 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜))
56	55	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (𝑦 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑜) ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜))
57	53, 56	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → (𝑦 ∈ 𝑑 ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜))
58	52, 57	bibi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → ((𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝑜 ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜)))
59		notbi 319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝑜 ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜))
60	58, 59	bitr4di 289	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑑 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑜)) → ((𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑) ↔ (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜)))
61	14, 46, 60	ralxfr2d 5409	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) → (∀𝑑 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑) ↔ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜)))
62	61	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) → (∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑)))
63	62	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) → ((∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (∀𝑑 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑) → 𝑥 = 𝑦)))
64	10, 63	raleqbidva 3331	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → (∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∀𝑑 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑) → 𝑥 = 𝑦)))
65	9, 64	raleqbidva 3331	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) → (∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∀𝑑 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑) → 𝑥 = 𝑦)))
66	6, 65	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∀𝑑 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑) → 𝑥 = 𝑦)))
67	4, 66	biadanid 822	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∀𝑑 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑) → 𝑥 = 𝑦))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3479   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  ∪ cuni 4906  ‘cfv 6560  Topctop 22900  Clsdccld 23025  Kol2ct0 23315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fv 6568  df-top 22901  df-cld 23028  df-t0 23322

This theorem is referenced by:  zart0  33879