Theorem ordtcld2 23141

Description: An upward ray [𝑃, +∞) is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordttopon.3	⊢ 𝑋 = dom 𝑅

Assertion

Ref	Expression
ordtcld2	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtcld2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4060	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥} ⊆ 𝑋
2		ordttopon.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
3	2	ordttopon 23136	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
5		toponuni 22857	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ (ordTop‘𝑅))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑋 = ∪ (ordTop‘𝑅))
7	1, 6	sseqtrid 4006	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥} ⊆ ∪ (ordTop‘𝑅))
8		notrab 4302	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑃𝑅𝑥}
9	6	difeq1d 4105	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥}) = (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥}))
10	8, 9	eqtr3id 2785	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑃𝑅𝑥} = (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥}))
11	2	ordtopn2 23138	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑃𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅))
12	10, 11	eqeltrrd 2836	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))
13		topontop 22856	. . 3 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
14		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∪ (ordTop‘𝑅) = ∪ (ordTop‘𝑅)
15	14	iscld 22970	. . 3 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ Top → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥} ⊆ ∪ (ordTop‘𝑅) ∧ (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
16	4, 13, 15	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥} ⊆ ∪ (ordTop‘𝑅) ∧ (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
17	7, 12, 16	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3420   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  ∪ cuni 4888   class class class wbr 5124  dom cdm 5659  ‘cfv 6536  ordTopcordt 17518  Topctop 22836  TopOnctopon 22853  Clsdccld 22959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7867  df-1o 8485  df-2o 8486  df-en 8965  df-fin 8968  df-fi 9428  df-topgen 17462  df-ordt 17520  df-top 22837  df-topon 22854  df-bases 22889  df-cld 22962

This theorem is referenced by:  ordtcld3  23142