Theorem ordtcld2 21800

Description: An upward ray [𝑃, +∞) is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordttopon.3	⊢ 𝑋 = dom 𝑅

Assertion

Ref	Expression
ordtcld2	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtcld2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4055	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥} ⊆ 𝑋
2		ordttopon.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
3	2	ordttopon 21795	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
4	3	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
5		toponuni 21516	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ (ordTop‘𝑅))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑋 = ∪ (ordTop‘𝑅))
7	1, 6	sseqtrid 4018	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥} ⊆ ∪ (ordTop‘𝑅))
8		notrab 4279	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑃𝑅𝑥}
9	6	difeq1d 4097	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥}) = (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥}))
10	8, 9	syl5eqr 2870	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑃𝑅𝑥} = (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥}))
11	2	ordtopn2 21797	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑃𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅))
12	10, 11	eqeltrrd 2914	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))
13		topontop 21515	. . 3 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
14		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ∪ (ordTop‘𝑅) = ∪ (ordTop‘𝑅)
15	14	iscld 21629	. . 3 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ Top → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥} ⊆ ∪ (ordTop‘𝑅) ∧ (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
16	4, 13, 15	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥} ⊆ ∪ (ordTop‘𝑅) ∧ (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
17	7, 12, 16	mpbir2and 711	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142   ∖ cdif 3932   ⊆ wss 3935  ∪ cuni 4831   class class class wbr 5058  dom cdm 5549  ‘cfv 6349  ordTopcordt 16766  Topctop 21495  TopOnctopon 21512  Clsdccld 21618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-fin 8507  df-fi 8869  df-topgen 16711  df-ordt 16768  df-top 21496  df-topon 21513  df-bases 21548  df-cld 21621

This theorem is referenced by:  ordtcld3  21801