Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtcld2 21800
 Description: An upward ray [𝑃, +∞) is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3 𝑋 = dom 𝑅
Assertion
Ref Expression
ordtcld2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtcld2
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4056 . . 3 {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ⊆ 𝑋
2 ordttopon.3 . . . . . 6 𝑋 = dom 𝑅
32ordttopon 21795 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
43adantr 483 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
5 toponuni 21516 . . . 4 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = (ordTop‘𝑅))
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → 𝑋 = (ordTop‘𝑅))
71, 6sseqtrid 4019 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ⊆ (ordTop‘𝑅))
8 notrab 4280 . . . 4 (𝑋 ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}) = {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑃𝑅𝑥}
96difeq1d 4098 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}) = ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}))
108, 9syl5eqr 2870 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑃𝑅𝑥} = ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}))
112ordtopn2 21797 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑃𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅))
1210, 11eqeltrrd 2914 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))
13 topontop 21515 . . 3 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
14 eqid 2821 . . . 4 (ordTop‘𝑅) = (ordTop‘𝑅)
1514iscld 21629 . . 3 ((ordTop‘𝑅) ∈ Top → ({𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ⊆ (ordTop‘𝑅) ∧ ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
164, 13, 153syl 18 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → ({𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ⊆ (ordTop‘𝑅) ∧ ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
177, 12, 16mpbir2and 711 1 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  ∪ cuni 4832   class class class wbr 5059  dom cdm 5550  ‘cfv 6350  ordTopcordt 16766  Topctop 21495  TopOnctopon 21512  Clsdccld 21618 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-fin 8507  df-fi 8869  df-topgen 16711  df-ordt 16768  df-top 21496  df-topon 21513  df-bases 21548  df-cld 21621 This theorem is referenced by:  ordtcld3  21801
 Copyright terms: Public domain W3C validator