Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtcld2 21898
 Description: An upward ray [𝑃, +∞) is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3 𝑋 = dom 𝑅
Assertion
Ref Expression
ordtcld2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtcld2
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3984 . . 3 {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ⊆ 𝑋
2 ordttopon.3 . . . . . 6 𝑋 = dom 𝑅
32ordttopon 21893 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
43adantr 484 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
5 toponuni 21614 . . . 4 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = (ordTop‘𝑅))
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → 𝑋 = (ordTop‘𝑅))
71, 6sseqtrid 3944 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ⊆ (ordTop‘𝑅))
8 notrab 4214 . . . 4 (𝑋 ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}) = {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑃𝑅𝑥}
96difeq1d 4027 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}) = ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}))
108, 9syl5eqr 2807 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑃𝑅𝑥} = ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}))
112ordtopn2 21895 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑃𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅))
1210, 11eqeltrrd 2853 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))
13 topontop 21613 . . 3 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
14 eqid 2758 . . . 4 (ordTop‘𝑅) = (ordTop‘𝑅)
1514iscld 21727 . . 3 ((ordTop‘𝑅) ∈ Top → ({𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ⊆ (ordTop‘𝑅) ∧ ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
164, 13, 153syl 18 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → ({𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ⊆ (ordTop‘𝑅) ∧ ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
177, 12, 16mpbir2and 712 1 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074   ∖ cdif 3855   ⊆ wss 3858  ∪ cuni 4798   class class class wbr 5032  dom cdm 5524  ‘cfv 6335  ordTopcordt 16830  Topctop 21593  TopOnctopon 21610  Clsdccld 21716 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-om 7580  df-1o 8112  df-er 8299  df-en 8528  df-fin 8531  df-fi 8908  df-topgen 16775  df-ordt 16832  df-top 21594  df-topon 21611  df-bases 21646  df-cld 21719 This theorem is referenced by:  ordtcld3  21899
 Copyright terms: Public domain W3C validator