MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtcld2 23057
Description: An upward ray [𝑃, +∞) is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3 𝑋 = dom 𝑅
Assertion
Ref Expression
ordtcld2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋

Proof of Theorem ordtcld2
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4072 . . 3 {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅π‘₯} βŠ† 𝑋
2 ordttopon.3 . . . . . 6 𝑋 = dom 𝑅
32ordttopon 23052 . . . . 5 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
43adantr 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5 toponuni 22771 . . . 4 ((ordTopβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ (ordTopβ€˜π‘…))
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 = βˆͺ (ordTopβ€˜π‘…))
71, 6sseqtrid 4029 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅π‘₯} βŠ† βˆͺ (ordTopβ€˜π‘…))
8 notrab 4306 . . . 4 (𝑋 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅π‘₯}) = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑃𝑅π‘₯}
96difeq1d 4116 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑋 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅π‘₯}) = (βˆͺ (ordTopβ€˜π‘…) βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅π‘₯}))
108, 9eqtr3id 2780 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑃𝑅π‘₯} = (βˆͺ (ordTopβ€˜π‘…) βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅π‘₯}))
112ordtopn2 23054 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑃𝑅π‘₯} ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
1210, 11eqeltrrd 2828 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (βˆͺ (ordTopβ€˜π‘…) βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅π‘₯}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
13 topontop 22770 . . 3 ((ordTopβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ Top)
14 eqid 2726 . . . 4 βˆͺ (ordTopβ€˜π‘…) = βˆͺ (ordTopβ€˜π‘…)
1514iscld 22886 . . 3 ((ordTopβ€˜π‘…) ∈ Top β†’ ({π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…)) ↔ ({π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅π‘₯} βŠ† βˆͺ (ordTopβ€˜π‘…) ∧ (βˆͺ (ordTopβ€˜π‘…) βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅π‘₯}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))))
164, 13, 153syl 18 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ({π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…)) ↔ ({π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅π‘₯} βŠ† βˆͺ (ordTopβ€˜π‘…) ∧ (βˆͺ (ordTopβ€˜π‘…) βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅π‘₯}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))))
177, 12, 16mpbir2and 710 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝑃𝑅π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  β€˜cfv 6537  ordTopcordt 17454  Topctop 22750  TopOnctopon 22767  Clsdccld 22875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7853  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-topgen 17398  df-ordt 17456  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cld 22878
This theorem is referenced by:  ordtcld3  23058
  Copyright terms: Public domain W3C validator