Theorem ordtcld1 23354

Description: A downward ray (-∞, 𝑃] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordttopon.3	⊢ 𝑋 = dom 𝑅

Assertion

Ref	Expression
ordtcld1	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtcld1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4034	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ⊆ 𝑋
2		ordttopon.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
3	2	ordttopon 23350	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
4	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
5		toponuni 23071	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ (ordTop‘𝑅))
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑋 = ∪ (ordTop‘𝑅))
7	1, 6	sseqtrid 3979	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ⊆ ∪ (ordTop‘𝑅))
8		notrab 4275	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃}
9	6	difeq1d 4080	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}) = (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}))
10	8, 9	eqtr3id 2812	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃} = (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}))
11	2	ordtopn1 23351	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃} ∈ (ordTop‘𝑅))
12	10, 11	eqeltrrd 2864	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))
13		topontop 23070	. . 3 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
14		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ∪ (ordTop‘𝑅) = ∪ (ordTop‘𝑅)
15	14	iscld 23184	. . 3 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ Top → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ⊆ ∪ (ordTop‘𝑅) ∧ (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
16	4, 13, 15	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ⊆ ∪ (ordTop‘𝑅) ∧ (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
17	7, 12, 16	mpbir2and 725	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5109  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  ordTopcordt 17548  Topctop 23050  TopOnctopon 23067  Clsdccld 23173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7859  df-1o 8449  df-2o 8450  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9367  df-topgen 17491  df-ordt 17550  df-top 23051  df-topon 23068  df-bases 23103  df-cld 23176

This theorem is referenced by:  ordtcld3  23356