MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtcld1 23150
Description: A downward ray (-∞, 𝑃] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3 𝑋 = dom 𝑅
Assertion
Ref Expression
ordtcld1 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtcld1
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4073 . . 3 {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ⊆ 𝑋
2 ordttopon.3 . . . . . 6 𝑋 = dom 𝑅
32ordttopon 23146 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
43adantr 479 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
5 toponuni 22865 . . . 4 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = (ordTop‘𝑅))
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → 𝑋 = (ordTop‘𝑅))
71, 6sseqtrid 4029 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ⊆ (ordTop‘𝑅))
8 notrab 4311 . . . 4 (𝑋 ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) = {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃}
96difeq1d 4117 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) = ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}))
108, 9eqtr3id 2779 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃} = ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}))
112ordtopn1 23147 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃} ∈ (ordTop‘𝑅))
1210, 11eqeltrrd 2826 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))
13 topontop 22864 . . 3 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
14 eqid 2725 . . . 4 (ordTop‘𝑅) = (ordTop‘𝑅)
1514iscld 22980 . . 3 ((ordTop‘𝑅) ∈ Top → ({𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ⊆ (ordTop‘𝑅) ∧ ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
164, 13, 153syl 18 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → ({𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ⊆ (ordTop‘𝑅) ∧ ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
177, 12, 16mpbir2and 711 1 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3418  cdif 3941  wss 3944   cuni 4909   class class class wbr 5149  dom cdm 5678  cfv 6549  ordTopcordt 17489  Topctop 22844  TopOnctopon 22861  Clsdccld 22969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-om 7872  df-1o 8487  df-2o 8488  df-en 8965  df-fin 8968  df-fi 9441  df-topgen 17433  df-ordt 17491  df-top 22845  df-topon 22862  df-bases 22898  df-cld 22972
This theorem is referenced by:  ordtcld3  23152
  Copyright terms: Public domain W3C validator