Theorem ordtcld1 23112

Description: A downward ray (-∞, 𝑃] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordttopon.3	⊢ 𝑋 = dom 𝑅

Assertion

Ref	Expression
ordtcld1	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtcld1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4027	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ⊆ 𝑋
2		ordttopon.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
3	2	ordttopon 23108	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
5		toponuni 22829	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ (ordTop‘𝑅))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑋 = ∪ (ordTop‘𝑅))
7	1, 6	sseqtrid 3972	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ⊆ ∪ (ordTop‘𝑅))
8		notrab 4269	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃}
9	6	difeq1d 4072	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}) = (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}))
10	8, 9	eqtr3id 2780	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃} = (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}))
11	2	ordtopn1 23109	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃} ∈ (ordTop‘𝑅))
12	10, 11	eqeltrrd 2832	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))
13		topontop 22828	. . 3 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
14		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ∪ (ordTop‘𝑅) = ∪ (ordTop‘𝑅)
15	14	iscld 22942	. . 3 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ Top → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ⊆ ∪ (ordTop‘𝑅) ∧ (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
16	4, 13, 15	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ⊆ ∪ (ordTop‘𝑅) ∧ (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
17	7, 12, 16	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  ∪ cuni 4856   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  ‘cfv 6481  ordTopcordt 17403  Topctop 22808  TopOnctopon 22825  Clsdccld 22931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-om 7797  df-1o 8385  df-2o 8386  df-en 8870  df-fin 8873  df-fi 9295  df-topgen 17347  df-ordt 17405  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22861  df-cld 22934

This theorem is referenced by:  ordtcld3  23114