MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtcld1 21509
Description: A downward ray (-∞, 𝑃] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3 𝑋 = dom 𝑅
Assertion
Ref Expression
ordtcld1 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtcld1
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3947 . . 3 {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ⊆ 𝑋
2 ordttopon.3 . . . . . 6 𝑋 = dom 𝑅
32ordttopon 21505 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
43adantr 473 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
5 toponuni 21226 . . . 4 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = (ordTop‘𝑅))
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → 𝑋 = (ordTop‘𝑅))
71, 6syl5sseq 3910 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ⊆ (ordTop‘𝑅))
8 notrab 4168 . . . 4 (𝑋 ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) = {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃}
96difeq1d 3989 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) = ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}))
108, 9syl5eqr 2829 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃} = ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}))
112ordtopn1 21506 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃} ∈ (ordTop‘𝑅))
1210, 11eqeltrrd 2868 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))
13 topontop 21225 . . 3 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
14 eqid 2779 . . . 4 (ordTop‘𝑅) = (ordTop‘𝑅)
1514iscld 21339 . . 3 ((ordTop‘𝑅) ∈ Top → ({𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ⊆ (ordTop‘𝑅) ∧ ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
164, 13, 153syl 18 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → ({𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ⊆ (ordTop‘𝑅) ∧ ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
177, 12, 16mpbir2and 700 1 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  {crab 3093  cdif 3827  wss 3830   cuni 4712   class class class wbr 4929  dom cdm 5407  cfv 6188  ordTopcordt 16628  Topctop 21205  TopOnctopon 21222  Clsdccld 21328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-fin 8310  df-fi 8670  df-topgen 16573  df-ordt 16630  df-top 21206  df-topon 21223  df-bases 21258  df-cld 21331
This theorem is referenced by:  ordtcld3  21511
  Copyright terms: Public domain W3C validator