Theorem ordtcld1 23323

Description: A downward ray (-∞, 𝑃] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordttopon.3	⊢ 𝑋 = dom 𝑅

Assertion

Ref	Expression
ordtcld1	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtcld1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4042	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ⊆ 𝑋
2		ordttopon.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
3	2	ordttopon 23319	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
4	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
5		toponuni 23040	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ (ordTop‘𝑅))
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑋 = ∪ (ordTop‘𝑅))
7	1, 6	sseqtrid 3987	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ⊆ ∪ (ordTop‘𝑅))
8		notrab 4283	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃}
9	6	difeq1d 4088	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}) = (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}))
10	8, 9	eqtr3id 2818	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃} = (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}))
11	2	ordtopn1 23320	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃} ∈ (ordTop‘𝑅))
12	10, 11	eqeltrrd 2870	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))
13		topontop 23039	. . 3 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
14		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ∪ (ordTop‘𝑅) = ∪ (ordTop‘𝑅)
15	14	iscld 23153	. . 3 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ Top → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ⊆ ∪ (ordTop‘𝑅) ∧ (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
16	4, 13, 15	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ⊆ ∪ (ordTop‘𝑅) ∧ (∪ (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
17	7, 12, 16	mpbir2and 725	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ∪ cuni 4876   class class class wbr 5113  dom cdm 5662  ‘cfv 6537  ordTopcordt 17553  Topctop 23019  TopOnctopon 23036  Clsdccld 23142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7863  df-1o 8453  df-2o 8454  df-en 8944  df-fin 8947  df-fi 9371  df-topgen 17496  df-ordt 17555  df-top 23020  df-topon 23037  df-bases 23072  df-cld 23145

This theorem is referenced by:  ordtcld3  23325