MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscld4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscld4 22569
Description: A subset is closed iff it contains its own closure. (Contributed by NM, 31-Jan-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
iscld4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆))

Proof of Theorem iscld4
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
21iscld3 22568 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
3 eqss 3998 . . 3 (((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆 ↔ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
41sscls 22560 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
54biantrud 533 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆 ↔ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))))
63, 5bitr4id 290 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆 ↔ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆))
72, 6bitrd 279 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3949   cuni 4909  cfv 6544  Topctop 22395  Clsdccld 22520  clsccl 22522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-top 22396  df-cld 22523  df-cls 22525
This theorem is referenced by:  cncls2  22777  conncompcld  22938  1stckgen  23058  metcld  24823  metsscmetcld  24832
  Copyright terms: Public domain W3C validator