MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcld 25156
Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by NM, 11-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
metcld.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
metcld ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓,𝐷   𝑓,𝐽,π‘₯   𝑆,𝑓,π‘₯   𝑓,𝑋,π‘₯

Proof of Theorem metcld
StepHypRef Expression
1 metcld.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21mopntop 24268 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
31mopnuni 24269 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
43sseq2d 4006 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑆 βŠ† 𝑋 ↔ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽))
54biimpa 476 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
6 eqid 2724 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
76iscld4 22891 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆))
82, 5, 7syl2an2r 682 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆))
9 19.23v 1937 . . . . 5 (βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
10 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
11 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
121, 10, 11metelcls 25155 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯)))
1312imbi1d 341 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
149, 13bitr4id 290 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
1514albidv 1915 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
16 dfss2 3960 . . 3 (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆 ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
1715, 16bitr4di 289 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆))
188, 17bitr4d 282 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  βˆ€wal 1531   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3940  βˆͺ cuni 4899   class class class wbr 5138  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  β„•cn 12209  βˆžMetcxmet 21213  MetOpencmopn 21218  Topctop 22717  Clsdccld 22842  clsccl 22844  β‡π‘‘clm 23052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-fz 13482  df-topgen 17388  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-top 22718  df-topon 22735  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-lm 23055  df-1stc 23265
This theorem is referenced by:  metcld2  25157
  Copyright terms: Public domain W3C validator