MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcld 24693
Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by NM, 11-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
metcld.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
metcld ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓,𝐷   𝑓,𝐽,π‘₯   𝑆,𝑓,π‘₯   𝑓,𝑋,π‘₯

Proof of Theorem metcld
StepHypRef Expression
1 metcld.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21mopntop 23816 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
31mopnuni 23817 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
43sseq2d 3980 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑆 βŠ† 𝑋 ↔ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽))
54biimpa 478 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
6 eqid 2733 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
76iscld4 22439 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆))
82, 5, 7syl2an2r 684 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆))
9 19.23v 1946 . . . . 5 (βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
10 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
11 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
121, 10, 11metelcls 24692 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯)))
1312imbi1d 342 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
149, 13bitr4id 290 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
1514albidv 1924 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
16 dfss2 3934 . . 3 (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆 ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
1715, 16bitr4di 289 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆))
188, 17bitr4d 282 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  β„•cn 12161  βˆžMetcxmet 20804  MetOpencmopn 20809  Topctop 22265  Clsdccld 22390  clsccl 22392  β‡π‘‘clm 22600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-fz 13434  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-lm 22603  df-1stc 22813
This theorem is referenced by:  metcld2  24694
  Copyright terms: Public domain W3C validator