MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcld 25227
Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by NM, 11-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
metcld.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
metcld ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓,𝐷   𝑓,𝐽,π‘₯   𝑆,𝑓,π‘₯   𝑓,𝑋,π‘₯

Proof of Theorem metcld
StepHypRef Expression
1 metcld.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21mopntop 24339 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
31mopnuni 24340 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
43sseq2d 4010 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑆 βŠ† 𝑋 ↔ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽))
54biimpa 476 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
6 eqid 2727 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
76iscld4 22962 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆))
82, 5, 7syl2an2r 684 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆))
9 19.23v 1938 . . . . 5 (βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
10 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
11 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
121, 10, 11metelcls 25226 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯)))
1312imbi1d 341 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
149, 13bitr4id 290 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
1514albidv 1916 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
16 dfss2 3964 . . 3 (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆 ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
1715, 16bitr4di 289 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆))
188, 17bitr4d 282 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  βˆ€wal 1532   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3944  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5142  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  β„•cn 12236  βˆžMetcxmet 21257  MetOpencmopn 21262  Topctop 22788  Clsdccld 22913  clsccl 22915  β‡π‘‘clm 23123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cc 10452  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-card 9956  df-acn 9959  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-fz 13511  df-topgen 17418  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-top 22789  df-topon 22806  df-bases 22842  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918  df-lm 23126  df-1stc 23336
This theorem is referenced by:  metcld2  25228
  Copyright terms: Public domain W3C validator