MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1stckgen Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 1stckgen 23050
Description: A first-countable space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
1stckgen (𝐽 ∈ 1stΟ‰ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘˜Gen)
Proof of Theorem 1stckgen
Dummy variables π‘˜ 𝑓 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stctop 22939 . 2 (𝐽 ∈ 1stΟ‰ β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 difss 4131 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐽
3 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
431stcelcls 22957 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)))
52, 4mpan2 690 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ 1stΟ‰ β†’ (𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)))
65adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)))
71adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
87adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
9 toptopon2 22412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
108, 9sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
11 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)
12 lmcl 22793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽)
1310, 11, 12syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽)
14 nnuz 12862 . . . . . . . . . . . . 13 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
15 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑓 ∈ V
1615rnex 7900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran 𝑓 ∈ V
17 vsnex 5429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑦} ∈ V
1816, 17unex 7730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∈ V
19 resttop 22656 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ Top)
208, 18, 19sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ Top)
21 toptopon2 22412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ Top ↔ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))))
2220, 21sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))))
23 1zzd 12590 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 1 ∈ β„€)
24 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) = (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))
2518a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∈ V)
26 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑦} βŠ† (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})
27 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ V
2827snss 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ↔ {𝑦} βŠ† (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))
2926, 28mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ∈ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))
31 ffn 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β†’ 𝑓 Fn β„•)
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑓 Fn β„•)
33 dffn3 6728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 Fn β„• ↔ 𝑓:β„•βŸΆran 𝑓)
3432, 33sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆran 𝑓)
35 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran 𝑓 βŠ† (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})
36 fss 6732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑓 ∧ ran 𝑓 βŠ† (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))
3734, 35, 36sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))
3824, 14, 25, 8, 30, 23, 37lmss 22794 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦 ↔ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})))𝑦))
3911, 38mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})))𝑦)
4037ffvelcdmda 7084 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))
41 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯))
4241ffvelcdmda 7084 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯))
4342eldifbd 3961 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ Β¬ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ π‘₯)
4440, 43eldifd 3959 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) βˆ– π‘₯))
45 difin 4261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) βˆ– ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∩ π‘₯)) = ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) βˆ– π‘₯)
46 frn 6722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β†’ ran 𝑓 βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯))
4746ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ ran 𝑓 βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯))
4847difss2d 4134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝐽)
4913snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ {𝑦} βŠ† βˆͺ 𝐽)
5048, 49unssd 4186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) βŠ† βˆͺ 𝐽)
513restuni 22658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})))
528, 50, 51syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})))
5352difeq1d 4121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) βˆ– ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∩ π‘₯)) = (βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) βˆ– ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∩ π‘₯)))
5445, 53eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) βˆ– π‘₯) = (βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) βˆ– ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∩ π‘₯)))
55 incom 4201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∩ π‘₯) = (π‘₯ ∩ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))
56 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
57 fss 6732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑓:β„•βŸΆβˆͺ 𝐽)
5841, 2, 57sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆβˆͺ 𝐽)
5910, 58, 111stckgenlem 23049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ Comp)
60 kgeni 23033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ Comp) β†’ (π‘₯ ∩ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})))
6156, 59, 60syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ (π‘₯ ∩ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})))
6255, 61eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∩ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})))
63 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))
6463opncld 22529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ Top ∧ ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∩ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))) β†’ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) βˆ– ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∩ π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))))
6520, 62, 64syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) βˆ– ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∩ π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))))
6654, 65eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))))
6714, 22, 23, 39, 44, 66lmcld 22799 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) βˆ– π‘₯))
6867eldifbd 3961 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ π‘₯)
6913, 68eldifd 3959 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯))
7069ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ ((𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)))
7170exlimdv 1937 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)))
726, 71sylbid 239 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)))
7372ssrdv 3988 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯))
743iscld4 22561 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)))
757, 2, 74sylancl 587 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)))
7673, 75mpbird 257 . . . . 5 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½))
77 elssuni 4941 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
7877adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
793kgenuni 23035 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
807, 79syl 17 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
8178, 80sseqtrrd 4023 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽)
823isopn2 22528 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
837, 81, 82syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
8476, 83mpbird 257 . . . 4 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
8584ex 414 . . 3 (𝐽 ∈ 1stΟ‰ β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽))
8685ssrdv 3988 . 2 (𝐽 ∈ 1stΟ‰ β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽)
87 iskgen2 23044 . 2 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽))
881, 86, 87sylanbrc 584 1 (𝐽 ∈ 1stΟ‰ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘˜Gen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  ran crn 5677   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  1c1 11108  β„•cn 12209   β†Ύt crest 17363  Topctop 22387  TopOnctopon 22404  Clsdccld 22512  clsccl 22514  β‡π‘‘clm 22722  Compccmp 22882  1stΟ‰c1stc 22933  π‘˜Genckgen 23029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-rest 17365  df-topgen 17386  df-top 22388  df-topon 22405  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-lm 22725  df-cmp 22883  df-1stc 22935  df-kgen 23030
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator