MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1stckgen Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 1stckgen 23278
Description: A first-countable space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
1stckgen (𝐽 ∈ 1stΟ‰ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘˜Gen)
Proof of Theorem 1stckgen
Dummy variables π‘˜ 𝑓 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stctop 23167 . 2 (𝐽 ∈ 1stΟ‰ β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 difss 4130 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐽
3 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
431stcelcls 23185 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)))
52, 4mpan2 687 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ 1stΟ‰ β†’ (𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)))
65adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)))
71adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
87adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
9 toptopon2 22640 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
108, 9sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
11 simprr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)
12 lmcl 23021 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽)
1310, 11, 12syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽)
14 nnuz 12869 . . . . . . . . . . . . 13 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
15 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑓 ∈ V
1615rnex 7905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran 𝑓 ∈ V
17 vsnex 5428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑦} ∈ V
1816, 17unex 7735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∈ V
19 resttop 22884 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ Top)
208, 18, 19sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ Top)
21 toptopon2 22640 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ Top ↔ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))))
2220, 21sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))))
23 1zzd 12597 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 1 ∈ β„€)
24 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) = (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))
2518a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∈ V)
26 ssun2 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑦} βŠ† (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})
27 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ V
2827snss 4788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ↔ {𝑦} βŠ† (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))
2926, 28mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ∈ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))
31 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β†’ 𝑓 Fn β„•)
3231ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑓 Fn β„•)
33 dffn3 6729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 Fn β„• ↔ 𝑓:β„•βŸΆran 𝑓)
3432, 33sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆran 𝑓)
35 ssun1 4171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran 𝑓 βŠ† (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})
36 fss 6733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑓 ∧ ran 𝑓 βŠ† (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))
3734, 35, 36sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))
3824, 14, 25, 8, 30, 23, 37lmss 23022 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦 ↔ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})))𝑦))
3911, 38mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})))𝑦)
4037ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))
41 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯))
4241ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯))
4342eldifbd 3960 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ Β¬ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ π‘₯)
4440, 43eldifd 3958 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) βˆ– π‘₯))
45 difin 4260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) βˆ– ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∩ π‘₯)) = ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) βˆ– π‘₯)
46 frn 6723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β†’ ran 𝑓 βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯))
4746ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ ran 𝑓 βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯))
4847difss2d 4133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝐽)
4913snssd 4811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ {𝑦} βŠ† βˆͺ 𝐽)
5048, 49unssd 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) βŠ† βˆͺ 𝐽)
513restuni 22886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})))
528, 50, 51syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})))
5352difeq1d 4120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) βˆ– ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∩ π‘₯)) = (βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) βˆ– ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∩ π‘₯)))
5445, 53eqtr3id 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) βˆ– π‘₯) = (βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) βˆ– ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∩ π‘₯)))
55 incom 4200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∩ π‘₯) = (π‘₯ ∩ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))
56 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
57 fss 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑓:β„•βŸΆβˆͺ 𝐽)
5841, 2, 57sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆβˆͺ 𝐽)
5910, 58, 111stckgenlem 23277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ Comp)
60 kgeni 23261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ Comp) β†’ (π‘₯ ∩ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})))
6156, 59, 60syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ (π‘₯ ∩ (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})))
6255, 61eqeltrid 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∩ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})))
63 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))
6463opncld 22757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) ∈ Top ∧ ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∩ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))) β†’ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) βˆ– ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∩ π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))))
6520, 62, 64syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦})) βˆ– ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) ∩ π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))))
6654, 65eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt (ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}))))
6714, 22, 23, 39, 44, 66lmcld 23027 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ ((ran 𝑓 βˆͺ {𝑦}) βˆ– π‘₯))
6867eldifbd 3960 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ π‘₯)
6913, 68eldifd 3958 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯))
7069ex 411 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ ((𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)))
7170exlimdv 1934 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆ(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)))
726, 71sylbid 239 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)))
7372ssrdv 3987 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯))
743iscld4 22789 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)))
757, 2, 74sylancl 584 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)))
7673, 75mpbird 256 . . . . 5 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½))
77 elssuni 4940 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
7877adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
793kgenuni 23263 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
807, 79syl 17 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
8178, 80sseqtrrd 4022 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽)
823isopn2 22756 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
837, 81, 82syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
8476, 83mpbird 256 . . . 4 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
8584ex 411 . . 3 (𝐽 ∈ 1stΟ‰ β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽))
8685ssrdv 3987 . 2 (𝐽 ∈ 1stΟ‰ β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽)
87 iskgen2 23272 . 2 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽))
881, 86, 87sylanbrc 581 1 (𝐽 ∈ 1stΟ‰ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘˜Gen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  ran crn 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  1c1 11113  β„•cn 12216   β†Ύt crest 17370  Topctop 22615  TopOnctopon 22632  Clsdccld 22740  clsccl 22742  β‡π‘‘clm 22950  Compccmp 23110  1stΟ‰c1stc 23161  π‘˜Genckgen 23257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-lm 22953  df-cmp 23111  df-1stc 23163  df-kgen 23258
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator