Theorem sscls 23085

Description: A subset of a topology's underlying set is included in its closure. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
sscls	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem sscls

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4990	. 2 ⊢ 𝑆 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥}
2		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	clsval 23066	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = ∩ {𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥})
4	1, 3	sseqtrrid 4062	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931  ∩ cint 4970  ‘cfv 6573  Topctop 22920  Clsdccld 23045  clsccl 23047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-top 22921  df-cld 23048  df-cls 23050

This theorem is referenced by:  iscld4  23094  elcls  23102  ntrcls0  23105  clslp  23177  restcls  23210  cncls2i  23299  nrmsep  23386  lpcls  23393  regsep2  23405  hauscmplem  23435  hauscmp  23436  clsconn  23459  conncompcld  23463  hausllycmp  23523  txcls  23633  ptclsg  23644  regr1lem  23768  kqreglem1  23770  kqreglem2  23771  kqnrmlem1  23772  kqnrmlem2  23773  fclscmpi  24058  flfcntr  24072  cnextfres  24098  clssubg  24138  tsmsid  24169  cnllycmp  25007  clsocv  25303  relcmpcmet  25371  bcthlem2  25378  bcthlem4  25380  limcnlp  25933  opnbnd  36291  opnregcld  36296  cldregopn  36297  heibor1lem  37769  heiborlem8  37778  sepdisj  48604  iscnrm3rlem4  48623