Theorem sscls 22950

Description: A subset of a topology's underlying set is included in its closure. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
sscls	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem sscls

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4933	. 2 ⊢ 𝑆 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥}
2		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	clsval 22931	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = ∩ {𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥})
4	1, 3	sseqtrrid 3993	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408   ⊆ wss 3917  ∪ cuni 4874  ∩ cint 4913  ‘cfv 6514  Topctop 22787  Clsdccld 22910  clsccl 22912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-top 22788  df-cld 22913  df-cls 22915

This theorem is referenced by:  iscld4  22959  elcls  22967  ntrcls0  22970  clslp  23042  restcls  23075  cncls2i  23164  nrmsep  23251  lpcls  23258  regsep2  23270  hauscmplem  23300  hauscmp  23301  clsconn  23324  conncompcld  23328  hausllycmp  23388  txcls  23498  ptclsg  23509  regr1lem  23633  kqreglem1  23635  kqreglem2  23636  kqnrmlem1  23637  kqnrmlem2  23638  fclscmpi  23923  flfcntr  23937  cnextfres  23963  clssubg  24003  tsmsid  24034  cnllycmp  24862  clsocv  25157  relcmpcmet  25225  bcthlem2  25232  bcthlem4  25234  limcnlp  25786  opnbnd  36320  opnregcld  36325  cldregopn  36326  heibor1lem  37810  heiborlem8  37819  sepdisj  48917  iscnrm3rlem4  48935