Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islshpat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islshpat 34826
Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum and an atom. TODO: can proof be shortened? Seems long for a simple variation of islshpsm 34789. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islshpat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpat.p = (LSSum‘𝑊)
islshpat.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
islshpat.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
islshpat (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
Distinct variable groups:   ,𝑞   𝑆,𝑞   𝑈,𝑞   𝑉,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑞)   𝐻(𝑞)

Proof of Theorem islshpat
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islshpat.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2771 . . 3 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3 islshpat.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4 islshpat.p . . 3 = (LSSum‘𝑊)
5 islshpat.h . . 3 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6 islshpat.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
71, 2, 3, 4, 5, 6islshpsm 34789 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
8 df-3an 1073 . . . . 5 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
9 r19.42v 3240 . . . . 5 (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
108, 9bitr4i 267 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
11 df-rex 3067 . . . . . . . 8 (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
12 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑣 = (0g𝑊))
1312sneqd 4328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → {𝑣} = {(0g𝑊)})
1413fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = ((LSpan‘𝑊)‘{(0g𝑊)}))
156ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
16 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0g𝑊) = (0g𝑊)
1716, 2lspsn0 19221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
1914, 18eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = {(0g𝑊)})
2019oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (𝑈 {(0g𝑊)}))
21 simplrl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑈𝑆)
223lsssubg 19170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2315, 21, 22syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2416, 4lsm01 18291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑈 {(0g𝑊)}) = 𝑈)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 {(0g𝑊)}) = 𝑈)
2620, 25eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑈)
27 simplrr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑈𝑉)
2826, 27eqnetrd 3010 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉)
2928ex 397 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) → (𝑣 = (0g𝑊) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉))
3029necon2d 2966 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) → ((𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)))
3130pm4.71rd 552 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) → ((𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
3231pm5.32da 568 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
3332pm5.32da 568 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))))
34 eldifsn 4453 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ↔ (𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)))
3534anbi1i 610 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
36 anass 459 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
37 an12 624 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
3837anbi2i 609 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
3936, 38bitri 264 . . . . . . . . . . 11 (((𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
4035, 39bitr2i 265 . . . . . . . . . 10 ((𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
4133, 40syl6bb 276 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
4241exbidv 2002 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑣(𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
4311, 42syl5bb 272 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
44 fvex 6342 . . . . . . . . . 10 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∈ V
4544rexcom4b 3379 . . . . . . . . 9 (∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
46 df-rex 3067 . . . . . . . . 9 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
4745, 46bitr2i 265 . . . . . . . 8 (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
48 ancom 452 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
4948rexbii 3189 . . . . . . . . 9 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5049exbii 1924 . . . . . . . 8 (∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5147, 50bitri 264 . . . . . . 7 (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5243, 51syl6bb 276 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
53 r19.41v 3237 . . . . . . . 8 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
54 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 𝑞) = (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
5554eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑈 𝑞) = 𝑉 ↔ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
5655anbi2d 614 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5756pm5.32i 564 . . . . . . . . 9 ((𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5857rexbii 3189 . . . . . . . 8 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5953, 58bitr3i 266 . . . . . . 7 ((∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
6059exbii 1924 . . . . . 6 (∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
6152, 60syl6bbr 278 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
62 islshpat.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
631, 2, 16, 62islsat 34800 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (𝑞𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
646, 63syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑞𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
6564anbi1d 615 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
6665exbidv 2002 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
6761, 66bitr4d 271 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
6810, 67syl5bb 272 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
69 df-3an 1073 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉))
70 r19.42v 3240 . . . . 5 (∃𝑞𝐴 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉))
71 df-rex 3067 . . . . 5 (∃𝑞𝐴 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
7270, 71bitr3i 266 . . . 4 (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
7369, 72bitr2i 265 . . 3 (∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉))
7468, 73syl6bb 276 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
757, 74bitrd 268 1 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  cdif 3720  {csn 4316  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  0gc0g 16308  SubGrpcsubg 17796  LSSumclsm 18256  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184  LSAtomsclsa 34783  LSHypclsh 34784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lsatoms 34785  df-lshyp 34786
This theorem is referenced by:  islshpcv  34862
  Copyright terms: Public domain W3C validator