Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islshpat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islshpat 37479
Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum and an atom. TODO: can proof be shortened? Seems long for a simple variation of islshpsm 37442. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islshpat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpat.p = (LSSum‘𝑊)
islshpat.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
islshpat.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
islshpat (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
Distinct variable groups:   ,𝑞   𝑆,𝑞   𝑈,𝑞   𝑉,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑞)   𝐻(𝑞)

Proof of Theorem islshpat
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islshpat.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2736 . . 3 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3 islshpat.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4 islshpat.p . . 3 = (LSSum‘𝑊)
5 islshpat.h . . 3 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6 islshpat.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
71, 2, 3, 4, 5, 6islshpsm 37442 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
8 df-3an 1089 . . . . 5 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
9 r19.42v 3187 . . . . 5 (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
108, 9bitr4i 277 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
11 df-rex 3074 . . . . . . . 8 (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
12 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑣 = (0g𝑊))
1312sneqd 4598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → {𝑣} = {(0g𝑊)})
1413fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = ((LSpan‘𝑊)‘{(0g𝑊)}))
156ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
16 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0g𝑊) = (0g𝑊)
1716, 2lspsn0 20469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
1914, 18eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = {(0g𝑊)})
2019oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (𝑈 {(0g𝑊)}))
21 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑈𝑆)
223lsssubg 20418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2315, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2416, 4lsm01 19453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑈 {(0g𝑊)}) = 𝑈)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 {(0g𝑊)}) = 𝑈)
2620, 25eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑈)
27 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑈𝑉)
2826, 27eqnetrd 3011 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉)
2928ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) → (𝑣 = (0g𝑊) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉))
3029necon2d 2966 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) → ((𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)))
3130pm4.71rd 563 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) → ((𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
3231pm5.32da 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
3332pm5.32da 579 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))))
34 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ↔ (𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)))
3534anbi1i 624 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
36 anass 469 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
37 an12 643 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
3837anbi2i 623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
3936, 38bitri 274 . . . . . . . . . . 11 (((𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
4035, 39bitr2i 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
4133, 40bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
4241exbidv 1924 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑣(𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
4311, 42bitrid 282 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
44 fvex 6855 . . . . . . . . . 10 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∈ V
4544rexcom4b 3474 . . . . . . . . 9 (∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
46 df-rex 3074 . . . . . . . . 9 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
4745, 46bitr2i 275 . . . . . . . 8 (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
48 ancom 461 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
4948rexbii 3097 . . . . . . . . 9 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5049exbii 1850 . . . . . . . 8 (∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5147, 50bitri 274 . . . . . . 7 (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5243, 51bitrdi 286 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
53 r19.41v 3185 . . . . . . . 8 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
54 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 𝑞) = (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
5554eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑈 𝑞) = 𝑉 ↔ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
5655anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5756pm5.32i 575 . . . . . . . . 9 ((𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5857rexbii 3097 . . . . . . . 8 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5953, 58bitr3i 276 . . . . . . 7 ((∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
6059exbii 1850 . . . . . 6 (∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
6152, 60bitr4di 288 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
62 islshpat.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
631, 2, 16, 62islsat 37453 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (𝑞𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
646, 63syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑞𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
6564anbi1d 630 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
6665exbidv 1924 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
6761, 66bitr4d 281 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
6810, 67bitrid 282 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
69 df-3an 1089 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉))
70 r19.42v 3187 . . . . 5 (∃𝑞𝐴 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉))
71 df-rex 3074 . . . . 5 (∃𝑞𝐴 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
7270, 71bitr3i 276 . . . 4 (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
7369, 72bitr2i 275 . . 3 (∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉))
7468, 73bitrdi 286 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
757, 74bitrd 278 1 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  cdif 3907  {csn 4586  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  0gc0g 17321  SubGrpcsubg 18922  LSSumclsm 19416  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432  LSAtomsclsa 37436  LSHypclsh 37437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lsatoms 37438  df-lshyp 37439
This theorem is referenced by:  islshpcv  37515
  Copyright terms: Public domain W3C validator