Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islshpat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islshpat 38529
Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum and an atom. TODO: can proof be shortened? Seems long for a simple variation of islshpsm 38492. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islshpat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
islshpat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
islshpat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
islshpat.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
islshpat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
islshpat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
islshpat (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
Distinct variable groups:   βŠ• ,π‘ž   𝑆,π‘ž   π‘ˆ,π‘ž   𝑉,π‘ž   π‘Š,π‘ž   πœ‘,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘ž)   𝐻(π‘ž)
Proof of Theorem islshpat
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islshpat.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 eqid 2728 . . 3 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 islshpat.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
4 islshpat.p . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
5 islshpat.h . . 3 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
6 islshpat.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
71, 2, 3, 4, 5, 6islshpsm 38492 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
8 df-3an 1086 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
9 r19.42v 3188 . . . . 5 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
108, 9bitr4i 277 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
11 df-rex 3068 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
12 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š))
1312sneqd 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ {𝑣} = {(0gβ€˜π‘Š)})
1413fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}))
156ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
1716, 2lspsn0 20906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
1914, 18eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
2019oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (π‘ˆ βŠ• {(0gβ€˜π‘Š)}))
21 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
223lsssubg 20855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2315, 21, 22syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2416, 4lsm01 19640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ (π‘ˆ βŠ• {(0gβ€˜π‘Š)}) = π‘ˆ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆ βŠ• {(0gβ€˜π‘Š)}) = π‘ˆ)
2620, 25eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = π‘ˆ)
27 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
2826, 27eqnetrd 3005 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β‰  𝑉)
2928ex 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) β†’ (𝑣 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β‰  𝑉))
3029necon2d 2960 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) β†’ ((π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉 β†’ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)))
3130pm4.71rd 561 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) β†’ ((π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
3231pm5.32da 577 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
3332pm5.32da 577 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))))
34 eldifsn 4795 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)))
3534anbi1i 622 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
36 anass 467 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
37 an12 643 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
3837anbi2i 621 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
3936, 38bitri 274 . . . . . . . . . . 11 (((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
4035, 39bitr2i 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
4133, 40bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
4241exbidv 1916 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
4311, 42bitrid 282 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
44 fvex 6915 . . . . . . . . . 10 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∈ V
4544rexcom4b 3503 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
46 df-rex 3068 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
4745, 46bitr2i 275 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
48 ancom 459 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
4948rexbii 3091 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5049exbii 1842 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5147, 50bitri 274 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5243, 51bitrdi 286 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
53 r19.41v 3186 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
54 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
5554eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ ((π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉 ↔ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
5655anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5756pm5.32i 573 . . . . . . . . 9 ((π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5857rexbii 3091 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5953, 58bitr3i 276 . . . . . . 7 ((βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
6059exbii 1842 . . . . . 6 (βˆƒπ‘ž(βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
6152, 60bitr4di 288 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
62 islshpat.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
631, 2, 16, 62islsat 38503 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
646, 63syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
6564anbi1d 629 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
6665exbidv 1916 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘ž(βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
6761, 66bitr4d 281 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
6810, 67bitrid 282 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
69 df-3an 1086 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))
70 r19.42v 3188 . . . . 5 (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))
71 df-rex 3068 . . . . 5 (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
7270, 71bitr3i 276 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
7369, 72bitr2i 275 . . 3 (βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))
7468, 73bitrdi 286 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
757, 74bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   βˆ– cdif 3946  {csn 4632  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  0gc0g 17430  SubGrpcsubg 19089  LSSumclsm 19603  LModclmod 20757  LSubSpclss 20829  LSpanclspn 20869  LSAtomsclsa 38486  LSHypclsh 38487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-cntz 19282  df-lsm 19605  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-lsatoms 38488  df-lshyp 38489
This theorem is referenced by:  islshpcv  38565
  Copyright terms: Public domain W3C validator