Theorem islshpat 39451

Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum and an atom. TODO: can proof be shortened? Seems long for a simple variation of islshpsm 39414. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islshpat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
islshpat.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
islshpat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
islshpat	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))

Distinct variable groups:   ⊕ ,𝑞   𝑆,𝑞   𝑈,𝑞   𝑉,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑞)   𝐻(𝑞)

Proof of Theorem islshpat

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islshpat.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3		islshpat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		islshpat.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
5		islshpat.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6		islshpat.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islshpsm 39414	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
8		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
9		r19.42v 3167	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
10	8, 9	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
11		df-rex 3060	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
12		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑣 = (0g‘𝑊))
13	12	sneqd 4569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → {𝑣} = {(0g‘𝑊)})
14	13	fveq2d 6833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = ((LSpan‘𝑊)‘{(0g‘𝑊)}))
15	6	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
16		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
17	16, 2	lspsn0 20992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
19	14, 18	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = {(0g‘𝑊)})
20	19	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (𝑈 ⊕ {(0g‘𝑊)}))
21		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
22	3	lsssubg 20941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
23	15, 21, 22	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	16, 4	lsm01 19635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑈 ⊕ {(0g‘𝑊)}) = 𝑈)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ {(0g‘𝑊)}) = 𝑈)
26	20, 25	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑈)
27		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
28	26, 27	eqnetrd 2997	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉)
29	28	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → (𝑣 = (0g‘𝑊) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉))
30	29	necon2d 2953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → ((𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉 → 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)))
31	30	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → ((𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
32	31	pm5.32da 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
33	32	pm5.32da 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))))
34		eldifsn 4721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)))
35	34	anbi1i 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
36		anass 468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
37		an12 646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
38	37	anbi2i 624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
39	36, 38	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
40	35, 39	bitr2i 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
41	33, 40	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
42	41	exbidv 1923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
43	11, 42	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
44		fvex 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∈ V
45	44	rexcom4b 3459	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
46		df-rex 3060	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
47	45, 46	bitr2i 276	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
48		ancom 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
49	48	rexbii 3082	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
50	49	exbii 1850	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
51	47, 50	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
52	43, 51	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
53		r19.41v 3165	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
54		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ⊕ 𝑞) = (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
55	54	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉 ↔ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
56	55	anbi2d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
57	56	pm5.32i 574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
58	57	rexbii 3082	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
59	53, 58	bitr3i 277	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
60	59	exbii 1850	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
61	52, 60	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
62		islshpat.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
63	1, 2, 16, 62	islsat 39425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑞 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
64	6, 63	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
65	64	anbi1d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
66	65	exbidv 1923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
67	61, 66	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
68	10, 67	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
69		df-3an 1089	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))
70		r19.42v 3167	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))
71		df-rex 3060	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
72	70, 71	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
73	69, 72	bitr2i 276	. . 3 ⊢ (∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))
74	68, 73	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
75	7, 74	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  ∃wrex 3059   ∖ cdif 3882  {csn 4557  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Basecbs 17168  0_gc0g 17391  SubGrpcsubg 19085  LSSumclsm 19598  LModclmod 20844  LSubSpclss 20915  LSpanclspn 20955  LSAtomsclsa 39408  LSHypclsh 39409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-cntz 19281  df-lsm 19600  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-lsatoms 39410  df-lshyp 39411

This theorem is referenced by:  islshpcv  39487