Theorem islshpat 39819

Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum and an atom. TODO: can proof be shortened? Seems long for a simple variation of islshpsm 39782. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islshpat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
islshpat.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
islshpat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
islshpat	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))

Distinct variable groups:   ⊕ ,𝑞   𝑆,𝑞   𝑈,𝑞   𝑉,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑞)   𝐻(𝑞)

Proof of Theorem islshpat

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islshpat.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3		islshpat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		islshpat.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
5		islshpat.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6		islshpat.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islshpsm 39782	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
8		df-3an 1104	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
9		r19.42v 3196	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
10	8, 9	bitr4i 281	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
11		df-rex 3089	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
12		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑣 = (0g‘𝑊))
13	12	sneqd 4600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → {𝑣} = {(0g‘𝑊)})
14	13	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = ((LSpan‘𝑊)‘{(0g‘𝑊)}))
15	6	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
16		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
17	16, 2	lspsn0 21140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
18	15, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
19	14, 18	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = {(0g‘𝑊)})
20	19	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (𝑈 ⊕ {(0g‘𝑊)}))
21		simplrl 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
22	3	lsssubg 21089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
23	15, 21, 22	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	16, 4	lsm01 19747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑈 ⊕ {(0g‘𝑊)}) = 𝑈)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ {(0g‘𝑊)}) = 𝑈)
26	20, 25	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑈)
27		simplrr 789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
28	26, 27	eqnetrd 3024	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉)
29	28	ex 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → (𝑣 = (0g‘𝑊) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉))
30	29	necon2d 2980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → ((𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉 → 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)))
31	30	pm4.71rd 571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → ((𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
32	31	pm5.32da 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
33	32	pm5.32da 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))))
34		eldifsn 4752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)))
35	34	anbi1i 635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
36		anass 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
37		an12 657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
38	37	anbi2i 634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
39	36, 38	bitri 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
40	35, 39	bitr2i 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
41	33, 40	bitrdi 290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
42	41	exbidv 1950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
43	11, 42	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
44		fvex 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∈ V
45	44	rexcom4b 3485	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
46		df-rex 3089	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
47	45, 46	bitr2i 279	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
48		ancom 465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
49	48	rexbii 3111	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
50	49	exbii 1877	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
51	47, 50	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
52	43, 51	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
53		r19.41v 3194	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
54		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ⊕ 𝑞) = (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
55	54	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉 ↔ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
56	55	anbi2d 641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
57	56	pm5.32i 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
58	57	rexbii 3111	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
59	53, 58	bitr3i 280	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
60	59	exbii 1877	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
61	52, 60	bitr4di 292	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
62		islshpat.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
63	1, 2, 16, 62	islsat 39793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑞 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
64	6, 63	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
65	64	anbi1d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
66	65	exbidv 1950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
67	61, 66	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
68	10, 67	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
69		df-3an 1104	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))
70		r19.42v 3196	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))
71		df-rex 3089	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
72	70, 71	bitr3i 280	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
73	69, 72	bitr2i 279	. . 3 ⊢ (∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))
74	68, 73	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
75	7, 74	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3901  {csn 4588  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  0_gc0g 17498  SubGrpcsubg 19192  LSSumclsm 19710  LModclmod 20992  LSubSpclss 21063  LSpanclspn 21103  LSAtomsclsa 39776  LSHypclsh 39777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-subg 19195  df-cntz 19393  df-lsm 19712  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-lsatoms 39778  df-lshyp 39779

This theorem is used by:  islshpcv  39855