Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islshpat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islshpat 37508
Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum and an atom. TODO: can proof be shortened? Seems long for a simple variation of islshpsm 37471. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islshpat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
islshpat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
islshpat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
islshpat.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
islshpat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
islshpat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
islshpat (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
Distinct variable groups:   βŠ• ,π‘ž   𝑆,π‘ž   π‘ˆ,π‘ž   𝑉,π‘ž   π‘Š,π‘ž   πœ‘,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘ž)   𝐻(π‘ž)

Proof of Theorem islshpat
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islshpat.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 eqid 2737 . . 3 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 islshpat.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
4 islshpat.p . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
5 islshpat.h . . 3 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
6 islshpat.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
71, 2, 3, 4, 5, 6islshpsm 37471 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
8 df-3an 1090 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
9 r19.42v 3188 . . . . 5 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
108, 9bitr4i 278 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
11 df-rex 3075 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
12 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š))
1312sneqd 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ {𝑣} = {(0gβ€˜π‘Š)})
1413fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}))
156ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
1716, 2lspsn0 20485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
1914, 18eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
2019oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (π‘ˆ βŠ• {(0gβ€˜π‘Š)}))
21 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
223lsssubg 20434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2315, 21, 22syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2416, 4lsm01 19460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ (π‘ˆ βŠ• {(0gβ€˜π‘Š)}) = π‘ˆ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆ βŠ• {(0gβ€˜π‘Š)}) = π‘ˆ)
2620, 25eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = π‘ˆ)
27 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
2826, 27eqnetrd 3012 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β‰  𝑉)
2928ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) β†’ (𝑣 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β‰  𝑉))
3029necon2d 2967 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) β†’ ((π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉 β†’ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)))
3130pm4.71rd 564 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) β†’ ((π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
3231pm5.32da 580 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
3332pm5.32da 580 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))))
34 eldifsn 4752 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)))
3534anbi1i 625 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
36 anass 470 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
37 an12 644 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
3837anbi2i 624 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
3936, 38bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
4035, 39bitr2i 276 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
4133, 40bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
4241exbidv 1925 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
4311, 42bitrid 283 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
44 fvex 6860 . . . . . . . . . 10 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∈ V
4544rexcom4b 3477 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
46 df-rex 3075 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
4745, 46bitr2i 276 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
48 ancom 462 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
4948rexbii 3098 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5049exbii 1851 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5147, 50bitri 275 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5243, 51bitrdi 287 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
53 r19.41v 3186 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
54 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
5554eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ ((π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉 ↔ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
5655anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5756pm5.32i 576 . . . . . . . . 9 ((π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5857rexbii 3098 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5953, 58bitr3i 277 . . . . . . 7 ((βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
6059exbii 1851 . . . . . 6 (βˆƒπ‘ž(βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
6152, 60bitr4di 289 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
62 islshpat.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
631, 2, 16, 62islsat 37482 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
646, 63syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
6564anbi1d 631 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
6665exbidv 1925 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘ž(βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
6761, 66bitr4d 282 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
6810, 67bitrid 283 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
69 df-3an 1090 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))
70 r19.42v 3188 . . . . 5 (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))
71 df-rex 3075 . . . . 5 (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
7270, 71bitr3i 277 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
7369, 72bitr2i 276 . . 3 (βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))
7468, 73bitrdi 287 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
757, 74bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   βˆ– cdif 3912  {csn 4591  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  0gc0g 17328  SubGrpcsubg 18929  LSSumclsm 19423  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LSpanclspn 20448  LSAtomsclsa 37465  LSHypclsh 37466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lsatoms 37467  df-lshyp 37468
This theorem is referenced by:  islshpcv  37544
  Copyright terms: Public domain W3C validator