Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islshpat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islshpat 37875
Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum and an atom. TODO: can proof be shortened? Seems long for a simple variation of islshpsm 37838. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islshpat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
islshpat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
islshpat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
islshpat.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
islshpat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
islshpat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
islshpat (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
Distinct variable groups:   βŠ• ,π‘ž   𝑆,π‘ž   π‘ˆ,π‘ž   𝑉,π‘ž   π‘Š,π‘ž   πœ‘,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘ž)   𝐻(π‘ž)
Proof of Theorem islshpat
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islshpat.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 eqid 2732 . . 3 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 islshpat.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
4 islshpat.p . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
5 islshpat.h . . 3 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
6 islshpat.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
71, 2, 3, 4, 5, 6islshpsm 37838 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
8 df-3an 1089 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
9 r19.42v 3190 . . . . 5 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
108, 9bitr4i 277 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
11 df-rex 3071 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
12 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š))
1312sneqd 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ {𝑣} = {(0gβ€˜π‘Š)})
1413fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}))
156ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
1716, 2lspsn0 20611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
1914, 18eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
2019oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (π‘ˆ βŠ• {(0gβ€˜π‘Š)}))
21 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
223lsssubg 20560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2315, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2416, 4lsm01 19533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ (π‘ˆ βŠ• {(0gβ€˜π‘Š)}) = π‘ˆ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆ βŠ• {(0gβ€˜π‘Š)}) = π‘ˆ)
2620, 25eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = π‘ˆ)
27 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
2826, 27eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β‰  𝑉)
2928ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) β†’ (𝑣 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β‰  𝑉))
3029necon2d 2963 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) β†’ ((π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉 β†’ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)))
3130pm4.71rd 563 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) β†’ ((π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
3231pm5.32da 579 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
3332pm5.32da 579 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))))
34 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)))
3534anbi1i 624 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
36 anass 469 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
37 an12 643 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
3837anbi2i 623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
3936, 38bitri 274 . . . . . . . . . . 11 (((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
4035, 39bitr2i 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
4133, 40bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
4241exbidv 1924 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
4311, 42bitrid 282 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
44 fvex 6901 . . . . . . . . . 10 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∈ V
4544rexcom4b 3503 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
46 df-rex 3071 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
4745, 46bitr2i 275 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
48 ancom 461 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
4948rexbii 3094 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5049exbii 1850 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5147, 50bitri 274 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5243, 51bitrdi 286 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
53 r19.41v 3188 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
54 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
5554eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ ((π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉 ↔ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
5655anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5756pm5.32i 575 . . . . . . . . 9 ((π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5857rexbii 3094 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5953, 58bitr3i 276 . . . . . . 7 ((βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
6059exbii 1850 . . . . . 6 (βˆƒπ‘ž(βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
6152, 60bitr4di 288 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
62 islshpat.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
631, 2, 16, 62islsat 37849 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
646, 63syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
6564anbi1d 630 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
6665exbidv 1924 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘ž(βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
6761, 66bitr4d 281 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
6810, 67bitrid 282 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
69 df-3an 1089 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))
70 r19.42v 3190 . . . . 5 (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))
71 df-rex 3071 . . . . 5 (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
7270, 71bitr3i 276 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
7369, 72bitr2i 275 . . 3 (βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))
7468, 73bitrdi 286 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
757, 74bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3944  {csn 4627  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  0gc0g 17381  SubGrpcsubg 18994  LSSumclsm 19496  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574  LSAtomsclsa 37832  LSHypclsh 37833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lsatoms 37834  df-lshyp 37835
This theorem is referenced by:  islshpcv  37911
  Copyright terms: Public domain W3C validator