Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islshpat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islshpat 38400
Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum and an atom. TODO: can proof be shortened? Seems long for a simple variation of islshpsm 38363. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islshpat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
islshpat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
islshpat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
islshpat.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
islshpat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
islshpat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
islshpat (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
Distinct variable groups:   βŠ• ,π‘ž   𝑆,π‘ž   π‘ˆ,π‘ž   𝑉,π‘ž   π‘Š,π‘ž   πœ‘,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘ž)   𝐻(π‘ž)
Proof of Theorem islshpat
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islshpat.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 eqid 2726 . . 3 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 islshpat.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
4 islshpat.p . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
5 islshpat.h . . 3 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
6 islshpat.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
71, 2, 3, 4, 5, 6islshpsm 38363 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
8 df-3an 1086 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
9 r19.42v 3184 . . . . 5 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
108, 9bitr4i 278 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
11 df-rex 3065 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
12 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š))
1312sneqd 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ {𝑣} = {(0gβ€˜π‘Š)})
1413fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}))
156ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
1716, 2lspsn0 20855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
1914, 18eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
2019oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (π‘ˆ βŠ• {(0gβ€˜π‘Š)}))
21 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
223lsssubg 20804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2315, 21, 22syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2416, 4lsm01 19591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ (π‘ˆ βŠ• {(0gβ€˜π‘Š)}) = π‘ˆ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆ βŠ• {(0gβ€˜π‘Š)}) = π‘ˆ)
2620, 25eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = π‘ˆ)
27 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
2826, 27eqnetrd 3002 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β‰  𝑉)
2928ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) β†’ (𝑣 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β‰  𝑉))
3029necon2d 2957 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) β†’ ((π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉 β†’ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)))
3130pm4.71rd 562 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) β†’ ((π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
3231pm5.32da 578 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
3332pm5.32da 578 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))))
34 eldifsn 4785 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)))
3534anbi1i 623 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
36 anass 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
37 an12 642 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
3837anbi2i 622 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
3936, 38bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
4035, 39bitr2i 276 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
4133, 40bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
4241exbidv 1916 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
4311, 42bitrid 283 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
44 fvex 6898 . . . . . . . . . 10 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∈ V
4544rexcom4b 3498 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
46 df-rex 3065 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
4745, 46bitr2i 276 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
48 ancom 460 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
4948rexbii 3088 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5049exbii 1842 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ∧ π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5147, 50bitri 275 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5243, 51bitrdi 287 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))))
53 r19.41v 3182 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
54 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
5554eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ ((π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉 ↔ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
5655anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5756pm5.32i 574 . . . . . . . . 9 ((π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ (π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5857rexbii 3088 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
5953, 58bitr3i 277 . . . . . . 7 ((βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
6059exbii 1842 . . . . . 6 (βˆƒπ‘ž(βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘žβˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})(π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
6152, 60bitr4di 289 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
62 islshpat.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
631, 2, 16, 62islsat 38374 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
646, 63syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
6564anbi1d 629 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
6665exbidv 1916 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘ž(βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
6761, 66bitr4d 282 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
6810, 67bitrid 283 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))))
69 df-3an 1086 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))
70 r19.42v 3184 . . . . 5 (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))
71 df-rex 3065 . . . . 5 (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
7270, 71bitr3i 277 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
7369, 72bitr2i 276 . . 3 (βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)) ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉))
7468, 73bitrdi 287 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
757, 74bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ˆ βŠ• π‘ž) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940  {csn 4623  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  0gc0g 17394  SubGrpcsubg 19047  LSSumclsm 19554  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LSAtomsclsa 38357  LSHypclsh 38358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lsatoms 38359  df-lshyp 38360
This theorem is referenced by:  islshpcv  38436
  Copyright terms: Public domain W3C validator