Theorem islshpat 38973

Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum and an atom. TODO: can proof be shortened? Seems long for a simple variation of islshpsm 38936. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islshpat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
islshpat.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
islshpat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
islshpat	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))

Distinct variable groups:   ⊕ ,𝑞   𝑆,𝑞   𝑈,𝑞   𝑉,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑞)   𝐻(𝑞)

Proof of Theorem islshpat

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islshpat.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3		islshpat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		islshpat.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
5		islshpat.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6		islshpat.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islshpsm 38936	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
8		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
9		r19.42v 3197	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
10	8, 9	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
11		df-rex 3077	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
12		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑣 = (0g‘𝑊))
13	12	sneqd 4660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → {𝑣} = {(0g‘𝑊)})
14	13	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = ((LSpan‘𝑊)‘{(0g‘𝑊)}))
15	6	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
16		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
17	16, 2	lspsn0 21029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
19	14, 18	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = {(0g‘𝑊)})
20	19	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (𝑈 ⊕ {(0g‘𝑊)}))
21		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
22	3	lsssubg 20978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
23	15, 21, 22	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	16, 4	lsm01 19713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑈 ⊕ {(0g‘𝑊)}) = 𝑈)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ {(0g‘𝑊)}) = 𝑈)
26	20, 25	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑈)
27		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
28	26, 27	eqnetrd 3014	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉)
29	28	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → (𝑣 = (0g‘𝑊) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉))
30	29	necon2d 2969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → ((𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉 → 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)))
31	30	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → ((𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
32	31	pm5.32da 578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
33	32	pm5.32da 578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))))
34		eldifsn 4811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)))
35	34	anbi1i 623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
36		anass 468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
37		an12 644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
38	37	anbi2i 622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
39	36, 38	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
40	35, 39	bitr2i 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
41	33, 40	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
42	41	exbidv 1920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
43	11, 42	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
44		fvex 6933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∈ V
45	44	rexcom4b 3521	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
46		df-rex 3077	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
47	45, 46	bitr2i 276	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
48		ancom 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
49	48	rexbii 3100	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
50	49	exbii 1846	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
51	47, 50	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
52	43, 51	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
53		r19.41v 3195	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
54		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ⊕ 𝑞) = (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
55	54	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉 ↔ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
56	55	anbi2d 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
57	56	pm5.32i 574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
58	57	rexbii 3100	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
59	53, 58	bitr3i 277	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
60	59	exbii 1846	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
61	52, 60	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
62		islshpat.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
63	1, 2, 16, 62	islsat 38947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑞 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
64	6, 63	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
65	64	anbi1d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
66	65	exbidv 1920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
67	61, 66	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
68	10, 67	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
69		df-3an 1089	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))
70		r19.42v 3197	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))
71		df-rex 3077	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
72	70, 71	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
73	69, 72	bitr2i 276	. . 3 ⊢ (∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))
74	68, 73	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
75	7, 74	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   ∖ cdif 3973  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  SubGrpcsubg 19160  LSSumclsm 19676  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  LSpanclspn 20992  LSAtomsclsa 38930  LSHypclsh 38931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lsatoms 38932  df-lshyp 38933

This theorem is referenced by:  islshpcv  39009