Theorem islshpat 39646

Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum and an atom. TODO: can proof be shortened? Seems long for a simple variation of islshpsm 39609. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islshpat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
islshpat.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
islshpat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
islshpat	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))

Distinct variable groups:   ⊕ ,𝑞   𝑆,𝑞   𝑈,𝑞   𝑉,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑞)   𝐻(𝑞)

Proof of Theorem islshpat

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islshpat.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2764	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3		islshpat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		islshpat.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
5		islshpat.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6		islshpat.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islshpsm 39609	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
8		df-3an 1101	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
9		r19.42v 3196	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
10	8, 9	bitr4i 280	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
11		df-rex 3089	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
12		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑣 = (0g‘𝑊))
13	12	sneqd 4596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → {𝑣} = {(0g‘𝑊)})
14	13	fveq2d 6873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = ((LSpan‘𝑊)‘{(0g‘𝑊)}))
15	6	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
16		eqid 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
17	16, 2	lspsn0 21077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
19	14, 18	eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = {(0g‘𝑊)})
20	19	oveq2d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (𝑈 ⊕ {(0g‘𝑊)}))
21		simplrl 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
22	3	lsssubg 21026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
23	15, 21, 22	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	16, 4	lsm01 19713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑈 ⊕ {(0g‘𝑊)}) = 𝑈)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ {(0g‘𝑊)}) = 𝑈)
26	20, 25	eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑈)
27		simplrr 787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
28	26, 27	eqnetrd 3026	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉)
29	28	ex 416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → (𝑣 = (0g‘𝑊) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉))
30	29	necon2d 2982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → ((𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉 → 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)))
31	30	pm4.71rd 570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → ((𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
32	31	pm5.32da 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
33	32	pm5.32da 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))))
34		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)))
35	34	anbi1i 633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
36		anass 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
37		an12 655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
38	37	anbi2i 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
39	36, 38	bitri 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
40	35, 39	bitr2i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
41	33, 40	bitrdi 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
42	41	exbidv 1943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
43	11, 42	bitrid 285	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
44		fvex 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∈ V
45	44	rexcom4b 3487	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
46		df-rex 3089	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
47	45, 46	bitr2i 278	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
48		ancom 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
49	48	rexbii 3111	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
50	49	exbii 1870	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
51	47, 50	bitri 277	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
52	43, 51	bitrdi 289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
53		r19.41v 3194	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
54		oveq2 7406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ⊕ 𝑞) = (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
55	54	eqeq1d 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉 ↔ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
56	55	anbi2d 639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
57	56	pm5.32i 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
58	57	rexbii 3111	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
59	53, 58	bitr3i 279	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
60	59	exbii 1870	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
61	52, 60	bitr4di 291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
62		islshpat.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
63	1, 2, 16, 62	islsat 39620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑞 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
64	6, 63	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
65	64	anbi1d 640	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
66	65	exbidv 1943	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
67	61, 66	bitr4d 284	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
68	10, 67	bitrid 285	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
69		df-3an 1101	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))
70		r19.42v 3196	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))
71		df-rex 3089	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
72	70, 71	bitr3i 279	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
73	69, 72	bitr2i 278	. . 3 ⊢ (∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))
74	68, 73	bitrdi 289	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
75	7, 74	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562  ∃wex 1801   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3903  {csn 4584  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  0_gc0g 17470  SubGrpcsubg 19164  LSSumclsm 19676  LModclmod 20929  LSubSpclss 21000  LSpanclspn 21040  LSAtomsclsa 39603  LSHypclsh 39604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-subg 19167  df-cntz 19359  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-lmod 20931  df-lss 21001  df-lsp 21041  df-lsatoms 39605  df-lshyp 39606

This theorem is referenced by:  islshpcv  39682