Theorem islshpat 39877

Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum and an atom. TODO: can proof be shortened? Seems long for a simple variation of islshpsm 39840. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islshpat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
islshpat.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
islshpat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
islshpat	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))

Distinct variable groups:   ⊕ ,𝑞   𝑆,𝑞   𝑈,𝑞   𝑉,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑞)   𝐻(𝑞)

Proof of Theorem islshpat

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islshpat.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3		islshpat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		islshpat.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
5		islshpat.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6		islshpat.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islshpsm 39840	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
8		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
9		r19.42v 3196	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
10	8, 9	bitr4i 281	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
11		df-rex 3089	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
12		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑣 = (0g‘𝑊))
13	12	sneqd 4599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → {𝑣} = {(0g‘𝑊)})
14	13	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = ((LSpan‘𝑊)‘{(0g‘𝑊)}))
15	6	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
16		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
17	16, 2	lspsn0 21193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
18	15, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
19	14, 18	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = {(0g‘𝑊)})
20	19	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (𝑈 ⊕ {(0g‘𝑊)}))
21		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
22	3	lsssubg 21142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
23	15, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	16, 4	lsm01 19799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑈 ⊕ {(0g‘𝑊)}) = 𝑈)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ {(0g‘𝑊)}) = 𝑈)
26	20, 25	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑈)
27		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
28	26, 27	eqnetrd 3024	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉)
29	28	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → (𝑣 = (0g‘𝑊) → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉))
30	29	necon2d 2980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → ((𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉 → 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)))
31	30	pm4.71rd 572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → ((𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
32	31	pm5.32da 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
33	32	pm5.32da 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))))
34		eldifsn 4751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)))
35	34	anbi1i 636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
36		anass 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
37		an12 658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
38	37	anbi2i 635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
39	36, 38	bitri 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
40	35, 39	bitr2i 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
41	33, 40	bitrdi 290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
42	41	exbidv 1954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
43	11, 42	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
44		fvex 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∈ V
45	44	rexcom4b 3484	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
46		df-rex 3089	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
47	45, 46	bitr2i 279	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
48		ancom 466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
49	48	rexbii 3111	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
50	49	exbii 1881	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
51	47, 50	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
52	43, 51	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
53		r19.41v 3194	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
54		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ⊕ 𝑞) = (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
55	54	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉 ↔ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
56	55	anbi2d 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
57	56	pm5.32i 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
58	57	rexbii 3111	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
59	53, 58	bitr3i 280	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
60	59	exbii 1881	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
61	52, 60	bitr4di 292	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
62		islshpat.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
63	1, 2, 16, 62	islsat 39851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑞 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
64	6, 63	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
65	64	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
66	65	exbidv 1954	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
67	61, 66	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
68	10, 67	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))))
69		df-3an 1105	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))
70		r19.42v 3196	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))
71		df-rex 3089	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
72	70, 71	bitr3i 280	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
73	69, 72	bitr2i 279	. . 3 ⊢ (∃𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉))
74	68, 73	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))
75	7, 74	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑈 ⊕ 𝑞) = 𝑉)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3899  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  0_gc0g 17528  SubGrpcsubg 19244  LSSumclsm 19762  LModclmod 21045  LSubSpclss 21116  LSpanclspn 21156  LSAtomsclsa 39834  LSHypclsh 39835

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-lsm 19764  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-lsatoms 39836  df-lshyp 39837

This theorem is used by:  islshpcv  39913