Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islshpat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islshpat 38619
Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum and an atom. TODO: can proof be shortened? Seems long for a simple variation of islshpsm 38582. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islshpat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpat.p = (LSSum‘𝑊)
islshpat.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
islshpat.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
islshpat (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
Distinct variable groups:   ,𝑞   𝑆,𝑞   𝑈,𝑞   𝑉,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑞)   𝐻(𝑞)

Proof of Theorem islshpat
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islshpat.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2725 . . 3 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3 islshpat.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4 islshpat.p . . 3 = (LSSum‘𝑊)
5 islshpat.h . . 3 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6 islshpat.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
71, 2, 3, 4, 5, 6islshpsm 38582 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
8 df-3an 1086 . . . . 5 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
9 r19.42v 3180 . . . . 5 (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
108, 9bitr4i 277 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
11 df-rex 3060 . . . . . . . 8 (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
12 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑣 = (0g𝑊))
1312sneqd 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → {𝑣} = {(0g𝑊)})
1413fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = ((LSpan‘𝑊)‘{(0g𝑊)}))
156ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
16 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0g𝑊) = (0g𝑊)
1716, 2lspsn0 20904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
1914, 18eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = {(0g𝑊)})
2019oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (𝑈 {(0g𝑊)}))
21 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑈𝑆)
223lsssubg 20853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2315, 21, 22syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2416, 4lsm01 19638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑈 {(0g𝑊)}) = 𝑈)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 {(0g𝑊)}) = 𝑈)
2620, 25eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑈)
27 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑈𝑉)
2826, 27eqnetrd 2997 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉)
2928ex 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) → (𝑣 = (0g𝑊) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉))
3029necon2d 2952 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) → ((𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)))
3130pm4.71rd 561 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) → ((𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
3231pm5.32da 577 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
3332pm5.32da 577 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))))
34 eldifsn 4792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ↔ (𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)))
3534anbi1i 622 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
36 anass 467 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
37 an12 643 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
3837anbi2i 621 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
3936, 38bitri 274 . . . . . . . . . . 11 (((𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
4035, 39bitr2i 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
4133, 40bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
4241exbidv 1916 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑣(𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
4311, 42bitrid 282 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
44 fvex 6909 . . . . . . . . . 10 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∈ V
4544rexcom4b 3492 . . . . . . . . 9 (∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
46 df-rex 3060 . . . . . . . . 9 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
4745, 46bitr2i 275 . . . . . . . 8 (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
48 ancom 459 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
4948rexbii 3083 . . . . . . . . 9 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5049exbii 1842 . . . . . . . 8 (∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5147, 50bitri 274 . . . . . . 7 (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5243, 51bitrdi 286 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
53 r19.41v 3178 . . . . . . . 8 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
54 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 𝑞) = (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
5554eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑈 𝑞) = 𝑉 ↔ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
5655anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5756pm5.32i 573 . . . . . . . . 9 ((𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5857rexbii 3083 . . . . . . . 8 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5953, 58bitr3i 276 . . . . . . 7 ((∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
6059exbii 1842 . . . . . 6 (∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
6152, 60bitr4di 288 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
62 islshpat.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
631, 2, 16, 62islsat 38593 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (𝑞𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
646, 63syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑞𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
6564anbi1d 629 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
6665exbidv 1916 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
6761, 66bitr4d 281 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
6810, 67bitrid 282 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
69 df-3an 1086 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉))
70 r19.42v 3180 . . . . 5 (∃𝑞𝐴 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉))
71 df-rex 3060 . . . . 5 (∃𝑞𝐴 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
7270, 71bitr3i 276 . . . 4 (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
7369, 72bitr2i 275 . . 3 (∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉))
7468, 73bitrdi 286 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
757, 74bitrd 278 1 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2929  wrex 3059  cdif 3941  {csn 4630  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  0gc0g 17424  SubGrpcsubg 19083  LSSumclsm 19601  LModclmod 20755  LSubSpclss 20827  LSpanclspn 20867  LSAtomsclsa 38576  LSHypclsh 38577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19086  df-cntz 19280  df-lsm 19603  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-lsatoms 38578  df-lshyp 38579
This theorem is referenced by:  islshpcv  38655
  Copyright terms: Public domain W3C validator