Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islshpat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islshpat 36306
Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum and an atom. TODO: can proof be shortened? Seems long for a simple variation of islshpsm 36269. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islshpat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpat.p = (LSSum‘𝑊)
islshpat.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
islshpat.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
islshpat (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
Distinct variable groups:   ,𝑞   𝑆,𝑞   𝑈,𝑞   𝑉,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑞)   𝐻(𝑞)

Proof of Theorem islshpat
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islshpat.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2801 . . 3 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3 islshpat.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4 islshpat.p . . 3 = (LSSum‘𝑊)
5 islshpat.h . . 3 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6 islshpat.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
71, 2, 3, 4, 5, 6islshpsm 36269 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
8 df-3an 1086 . . . . 5 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
9 r19.42v 3306 . . . . 5 (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
108, 9bitr4i 281 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
11 df-rex 3115 . . . . . . . 8 (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
12 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑣 = (0g𝑊))
1312sneqd 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → {𝑣} = {(0g𝑊)})
1413fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = ((LSpan‘𝑊)‘{(0g𝑊)}))
156ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
16 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0g𝑊) = (0g𝑊)
1716, 2lspsn0 19776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
1914, 18eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = {(0g𝑊)})
2019oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (𝑈 {(0g𝑊)}))
21 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑈𝑆)
223lsssubg 19725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2315, 21, 22syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2416, 4lsm01 18792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑈 {(0g𝑊)}) = 𝑈)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 {(0g𝑊)}) = 𝑈)
2620, 25eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑈)
27 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑈𝑉)
2826, 27eqnetrd 3057 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉)
2928ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) → (𝑣 = (0g𝑊) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉))
3029necon2d 3013 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) → ((𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)))
3130pm4.71rd 566 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) → ((𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
3231pm5.32da 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
3332pm5.32da 582 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))))
34 eldifsn 4683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ↔ (𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)))
3534anbi1i 626 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
36 anass 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
37 an12 644 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
3837anbi2i 625 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
3936, 38bitri 278 . . . . . . . . . . 11 (((𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
4035, 39bitr2i 279 . . . . . . . . . 10 ((𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
4133, 40syl6bb 290 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
4241exbidv 1922 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑣(𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
4311, 42syl5bb 286 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
44 fvex 6662 . . . . . . . . . 10 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∈ V
4544rexcom4b 3474 . . . . . . . . 9 (∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
46 df-rex 3115 . . . . . . . . 9 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
4745, 46bitr2i 279 . . . . . . . 8 (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
48 ancom 464 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
4948rexbii 3213 . . . . . . . . 9 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5049exbii 1849 . . . . . . . 8 (∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5147, 50bitri 278 . . . . . . 7 (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5243, 51syl6bb 290 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
53 r19.41v 3303 . . . . . . . 8 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
54 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 𝑞) = (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
5554eqeq1d 2803 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑈 𝑞) = 𝑉 ↔ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
5655anbi2d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5756pm5.32i 578 . . . . . . . . 9 ((𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5857rexbii 3213 . . . . . . . 8 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5953, 58bitr3i 280 . . . . . . 7 ((∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
6059exbii 1849 . . . . . 6 (∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
6152, 60syl6bbr 292 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
62 islshpat.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
631, 2, 16, 62islsat 36280 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (𝑞𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
646, 63syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑞𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
6564anbi1d 632 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
6665exbidv 1922 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
6761, 66bitr4d 285 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
6810, 67syl5bb 286 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
69 df-3an 1086 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉))
70 r19.42v 3306 . . . . 5 (∃𝑞𝐴 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉))
71 df-rex 3115 . . . . 5 (∃𝑞𝐴 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
7270, 71bitr3i 280 . . . 4 (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
7369, 72bitr2i 279 . . 3 (∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉))
7468, 73syl6bb 290 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
757, 74bitrd 282 1 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2112  wne 2990  wrex 3110  cdif 3881  {csn 4528  cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  0gc0g 16708  SubGrpcsubg 18268  LSSumclsm 18754  LModclmod 19630  LSubSpclss 19699  LSpanclspn 19739  LSAtomsclsa 36263  LSHypclsh 36264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-lsm 18756  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-lsatoms 36265  df-lshyp 36266
This theorem is referenced by:  islshpcv  36342
  Copyright terms: Public domain W3C validator