MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrnmpti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrnmpti 5844
Description: Membership in the range of a function. (Contributed by NM, 30-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rnmpt.1 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
elrnmpti.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
elrnmpti (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐶 = 𝐵)
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem elrnmpti
StepHypRef Expression
1 elrnmpti.2 . . 3 𝐵 ∈ V
21rgenw 3074 . 2 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V
3 rnmpt.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
43elrnmptg 5843 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐶 = 𝐵))
52, 4ax-mp 5 1 (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐶 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209   = wceq 1543  wcel 2111  wral 3062  wrex 3063  Vcvv 3421  cmpt 5150  ran crn 5567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pr 5337
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ral 3067  df-rex 3068  df-rab 3071  df-v 3423  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4253  df-if 4455  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-cnv 5574  df-dm 5576  df-rn 5577
This theorem is referenced by:  fliftel  7137  oarec  8311  unfilem1  8960  pwfilemOLD  8995  elrest  16957  psgneldm2  18921  psgnfitr  18934  iscyggen2  19290  iscyg3  19295  cycsubgcyg  19311  eldprd  19416  leordtval2  22133  iocpnfordt  22136  icomnfordt  22137  lecldbas  22140  tsmsxplem1  23074  minveclem2  24347  lhop2  24936  taylthlem2  25290  fsumvma  26118  dchrptlem2  26170  2sqlem1  26322  dchrisum0fno1  26416  minvecolem2  28980  swrdrn3  30971  nsgqusf1olem1  31336  nsgqusf1olem3  31338  rspectopn  31555  zarclsun  31558  zarcls  31562  gsumesum  31763  esumlub  31764  esumcst  31767  esumpcvgval  31782  esumgect  31794  esum2d  31797  sigapildsys  31866  sxbrsigalem2  31989  omssubaddlem  32002  omssubadd  32003  eulerpartgbij  32075  actfunsnf1o  32320  actfunsnrndisj  32321  reprsuc  32331  breprexplema  32346  bnj1366  32545  msubco  33229  msubvrs  33258  fin2so  35528  poimirlem17  35558  poimirlem20  35561  cntotbnd  35718  islsat  36769
  Copyright terms: Public domain W3C validator