Theorem elrnmpti 5958

Description: Membership in the range of a function. (Contributed by NM, 30-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
elrnmpti.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elrnmpti	⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem elrnmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrnmpti.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	rgenw 3063	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
3		rnmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	elrnmptg 5957	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3472   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-cnv 5683  df-dm 5685  df-rn 5686

This theorem is referenced by:  fliftel  7308  oarec  8564  unfilem1  9312  pwfilemOLD  9348  elrest  17377  psgneldm2  19413  psgnfitr  19426  iscyggen2  19790  iscyg3  19795  cycsubgcyg  19810  eldprd  19915  leordtval2  22936  iocpnfordt  22939  icomnfordt  22940  lecldbas  22943  tsmsxplem1  23877  minveclem2  25174  lhop2  25767  taylthlem2  26122  fsumvma  26952  dchrptlem2  27004  2sqlem1  27156  dchrisum0fno1  27250  minvecolem2  30395  swrdrn3  32386  nsgqusf1olem1  32798  nsgqusf1olem3  32800  rspectopn  33145  zarclsun  33148  zarcls  33152  gsumesum  33355  esumlub  33356  esumcst  33359  esumpcvgval  33374  esumgect  33386  esum2d  33389  sigapildsys  33458  sxbrsigalem2  33583  omssubaddlem  33596  omssubadd  33597  eulerpartgbij  33669  actfunsnf1o  33914  actfunsnrndisj  33915  reprsuc  33925  breprexplema  33940  bnj1366  34138  msubco  34820  msubvrs  34849  fin2so  36778  poimirlem17  36808  poimirlem20  36811  cntotbnd  36967  islsat  38164