Theorem elrnmpti 5926

Description: Membership in the range of a function. (Contributed by NM, 30-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
elrnmpti.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elrnmpti	⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem elrnmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrnmpti.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	rgenw 3048	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
3		rnmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	elrnmptg 5925	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ↦ cmpt 5188  ran crn 5639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649

This theorem is referenced by:  fliftel  7284  oarec  8526  unfilem1  9254  elrest  17390  psgneldm2  19434  psgnfitr  19447  iscyggen2  19811  iscyg3  19816  cycsubgcyg  19831  eldprd  19936  leordtval2  23099  iocpnfordt  23102  icomnfordt  23103  lecldbas  23106  tsmsxplem1  24040  minveclem2  25326  lhop2  25920  taylthlem2  26282  taylthlem2OLD  26283  fsumvma  27124  dchrptlem2  27176  2sqlem1  27328  dchrisum0fno1  27422  minvecolem2  30804  swrdrn3  32877  nsgqusf1olem1  33384  nsgqusf1olem3  33386  rspectopn  33857  zarclsun  33860  zarcls  33864  gsumesum  34049  esumlub  34050  esumcst  34053  esumpcvgval  34068  esumgect  34080  esum2d  34083  sigapildsys  34152  sxbrsigalem2  34277  omssubaddlem  34290  omssubadd  34291  eulerpartgbij  34363  actfunsnf1o  34595  actfunsnrndisj  34596  reprsuc  34606  breprexplema  34621  bnj1366  34819  msubco  35518  msubvrs  35547  fin2so  37601  poimirlem17  37631  poimirlem20  37634  cntotbnd  37790  islsat  38984