Theorem elrnmpti 5985

Description: Membership in the range of a function. (Contributed by NM, 30-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
elrnmpti.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elrnmpti	⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem elrnmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrnmpti.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	rgenw 3071	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
3		rnmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	elrnmptg 5984	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711

This theorem is referenced by:  fliftel  7345  oarec  8618  unfilem1  9371  pwfilemOLD  9416  elrest  17487  psgneldm2  19546  psgnfitr  19559  iscyggen2  19923  iscyg3  19928  cycsubgcyg  19943  eldprd  20048  leordtval2  23241  iocpnfordt  23244  icomnfordt  23245  lecldbas  23248  tsmsxplem1  24182  minveclem2  25479  lhop2  26074  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  fsumvma  27275  dchrptlem2  27327  2sqlem1  27479  dchrisum0fno1  27573  minvecolem2  30907  swrdrn3  32922  nsgqusf1olem1  33406  nsgqusf1olem3  33408  rspectopn  33813  zarclsun  33816  zarcls  33820  gsumesum  34023  esumlub  34024  esumcst  34027  esumpcvgval  34042  esumgect  34054  esum2d  34057  sigapildsys  34126  sxbrsigalem2  34251  omssubaddlem  34264  omssubadd  34265  eulerpartgbij  34337  actfunsnf1o  34581  actfunsnrndisj  34582  reprsuc  34592  breprexplema  34607  bnj1366  34805  msubco  35499  msubvrs  35528  fin2so  37567  poimirlem17  37597  poimirlem20  37600  cntotbnd  37756  islsat  38947