Theorem elrnmpti 5951

Description: Membership in the range of a function. (Contributed by NM, 30-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
elrnmpti.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elrnmpti	⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem elrnmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrnmpti.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	rgenw 3082	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
3		rnmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	elrnmptg 5950	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5191  ran crn 5661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-cnv 5668  df-dm 5670  df-rn 5671

This theorem is used by:  fliftel  7307  oarec  8545  unfilem1  9263  elrest  17486  psgneldm2  19580  psgnfitr  19593  iscyggen2  19957  iscyg3  19962  cycsubgcyg  19977  eldprd  20082  leordtval2  23380  iocpnfordt  23383  icomnfordt  23384  lecldbas  23387  tsmsxplem1  24321  minveclem2  25596  lhop2  26185  taylthlem2  26548  fsumvma  27388  dchrptlem2  27440  2sqlem1  27592  dchrisum0fno1  27686  minvecolem2  31238  swrdrn3  33284  domnprodeq0  33608  nsgqusf1olem1  33731  nsgqusf1olem3  33733  rspectopn  34266  zarclsun  34269  zarcls  34273  gsumesum  34458  esumlub  34459  esumcst  34462  esumpcvgval  34477  esumgect  34489  esum2d  34492  sigapildsys  34561  sxbrsigalem2  34685  omssubaddlem  34698  omssubadd  34699  eulerpartgbij  34771  actfunsnf1o  35000  actfunsnrndisj  35001  reprsuc  35011  breprexplema  35026  bnj1366  35226  msubco  36031  msubvrs  36060  mh-inf3sn  37081  fin2so  38286  poimirlem17  38316  poimirlem20  38319  cntotbnd  38475  islsat  39793