Theorem elrnmpti 5901

Description: Membership in the range of a function. (Contributed by NM, 30-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
elrnmpti.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elrnmpti	⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem elrnmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrnmpti.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	rgenw 3051	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
3		rnmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	elrnmptg 5900	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5170  ran crn 5615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-cnv 5622  df-dm 5624  df-rn 5625

This theorem is referenced by:  fliftel  7243  oarec  8477  unfilem1  9189  elrest  17331  psgneldm2  19416  psgnfitr  19429  iscyggen2  19793  iscyg3  19798  cycsubgcyg  19813  eldprd  19918  leordtval2  23127  iocpnfordt  23130  icomnfordt  23131  lecldbas  23134  tsmsxplem1  24068  minveclem2  25353  lhop2  25947  taylthlem2  26309  taylthlem2OLD  26310  fsumvma  27151  dchrptlem2  27203  2sqlem1  27355  dchrisum0fno1  27449  minvecolem2  30855  swrdrn3  32936  nsgqusf1olem1  33378  nsgqusf1olem3  33380  rspectopn  33880  zarclsun  33883  zarcls  33887  gsumesum  34072  esumlub  34073  esumcst  34076  esumpcvgval  34091  esumgect  34103  esum2d  34106  sigapildsys  34175  sxbrsigalem2  34299  omssubaddlem  34312  omssubadd  34313  eulerpartgbij  34385  actfunsnf1o  34617  actfunsnrndisj  34618  reprsuc  34628  breprexplema  34643  bnj1366  34841  msubco  35575  msubvrs  35604  fin2so  37646  poimirlem17  37676  poimirlem20  37679  cntotbnd  37835  islsat  39089