Theorem elrnmpti 5953

Description: Membership in the range of a function. (Contributed by NM, 30-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
elrnmpti.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elrnmpti	⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem elrnmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrnmpti.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	rgenw 3089	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
3		rnmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	elrnmptg 5952	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  Vcvv 3461   ↦ cmpt 5194  ran crn 5663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-cnv 5670  df-dm 5672  df-rn 5673

This theorem is referenced by:  fliftel  7308  oarec  8547  unfilem1  9265  elrest  17480  psgneldm2  19574  psgnfitr  19587  iscyggen2  19951  iscyg3  19956  cycsubgcyg  19971  eldprd  20076  leordtval2  23338  iocpnfordt  23341  icomnfordt  23342  lecldbas  23345  tsmsxplem1  24279  minveclem2  25554  lhop2  26143  taylthlem2  26503  fsumvma  27343  dchrptlem2  27395  2sqlem1  27547  dchrisum0fno1  27641  minvecolem2  31168  swrdrn3  33216  domnprodeq0  33540  nsgqusf1olem1  33666  nsgqusf1olem3  33668  rspectopn  34202  zarclsun  34205  zarcls  34209  gsumesum  34394  esumlub  34395  esumcst  34398  esumpcvgval  34413  esumgect  34425  esum2d  34428  sigapildsys  34497  sxbrsigalem2  34621  omssubaddlem  34634  omssubadd  34635  eulerpartgbij  34707  actfunsnf1o  34936  actfunsnrndisj  34937  reprsuc  34947  breprexplema  34962  bnj1366  35162  msubco  35956  msubvrs  35985  mh-inf3sn  36976  fin2so  38181  poimirlem17  38211  poimirlem20  38214  cntotbnd  38370  islsat  39690