Theorem elrnmpti 5940

Description: Membership in the range of a function. (Contributed by NM, 30-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
elrnmpti.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elrnmpti	⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem elrnmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrnmpti.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	rgenw 3082	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
3		rnmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	elrnmptg 5939	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3456   ↦ cmpt 5183  ran crn 5650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-cnv 5657  df-dm 5659  df-rn 5660

This theorem is referenced by:  fliftel  7295  oarec  8533  unfilem1  9251  elrest  17458  psgneldm2  19546  psgnfitr  19559  iscyggen2  19923  iscyg3  19928  cycsubgcyg  19943  eldprd  20048  leordtval2  23274  iocpnfordt  23277  icomnfordt  23278  lecldbas  23281  tsmsxplem1  24215  minveclem2  25490  lhop2  26079  taylthlem2  26439  fsumvma  27279  dchrptlem2  27331  2sqlem1  27483  dchrisum0fno1  27577  minvecolem2  31080  swrdrn3  33135  domnprodeq0  33462  nsgqusf1olem1  33601  nsgqusf1olem3  33603  rspectopn  34166  zarclsun  34169  zarcls  34173  gsumesum  34358  esumlub  34359  esumcst  34362  esumpcvgval  34377  esumgect  34389  esum2d  34392  sigapildsys  34461  sxbrsigalem2  34585  omssubaddlem  34598  omssubadd  34599  eulerpartgbij  34671  actfunsnf1o  34900  actfunsnrndisj  34901  reprsuc  34911  breprexplema  34926  bnj1366  35126  msubco  35886  msubvrs  35915  mh-inf3sn  36907  fin2so  38111  poimirlem17  38141  poimirlem20  38144  cntotbnd  38300  islsat  39620