Theorem elrnmpti 5921

Description: Membership in the range of a function. (Contributed by NM, 30-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
elrnmpti.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elrnmpti	⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem elrnmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrnmpti.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	rgenw 3056	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
3		rnmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	elrnmptg 5920	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ↦ cmpt 5181  ran crn 5635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-pr 5381

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-cnv 5642  df-dm 5644  df-rn 5645

This theorem is referenced by:  fliftel  7267  oarec  8501  unfilem1  9219  elrest  17361  psgneldm2  19450  psgnfitr  19463  iscyggen2  19827  iscyg3  19832  cycsubgcyg  19847  eldprd  19952  leordtval2  23173  iocpnfordt  23176  icomnfordt  23177  lecldbas  23180  tsmsxplem1  24114  minveclem2  25399  lhop2  25993  taylthlem2  26355  taylthlem2OLD  26356  fsumvma  27197  dchrptlem2  27249  2sqlem1  27401  dchrisum0fno1  27495  minvecolem2  30969  swrdrn3  33054  domnprodeq0  33376  nsgqusf1olem1  33512  nsgqusf1olem3  33514  rspectopn  34051  zarclsun  34054  zarcls  34058  gsumesum  34243  esumlub  34244  esumcst  34247  esumpcvgval  34262  esumgect  34274  esum2d  34277  sigapildsys  34346  sxbrsigalem2  34470  omssubaddlem  34483  omssubadd  34484  eulerpartgbij  34556  actfunsnf1o  34788  actfunsnrndisj  34789  reprsuc  34799  breprexplema  34814  bnj1366  35011  msubco  35753  msubvrs  35782  fin2so  37887  poimirlem17  37917  poimirlem20  37920  cntotbnd  38076  islsat  39396