Theorem elrnmpti 5942

Description: Membership in the range of a function. (Contributed by NM, 30-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
elrnmpti.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elrnmpti	⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem elrnmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrnmpti.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	rgenw 3055	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
3		rnmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	elrnmptg 5941	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ↦ cmpt 5201  ran crn 5655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-cnv 5662  df-dm 5664  df-rn 5665

This theorem is referenced by:  fliftel  7302  oarec  8574  unfilem1  9315  elrest  17441  psgneldm2  19485  psgnfitr  19498  iscyggen2  19862  iscyg3  19867  cycsubgcyg  19882  eldprd  19987  leordtval2  23150  iocpnfordt  23153  icomnfordt  23154  lecldbas  23157  tsmsxplem1  24091  minveclem2  25378  lhop2  25972  taylthlem2  26334  taylthlem2OLD  26335  fsumvma  27176  dchrptlem2  27228  2sqlem1  27380  dchrisum0fno1  27474  minvecolem2  30856  swrdrn3  32931  nsgqusf1olem1  33428  nsgqusf1olem3  33430  rspectopn  33898  zarclsun  33901  zarcls  33905  gsumesum  34090  esumlub  34091  esumcst  34094  esumpcvgval  34109  esumgect  34121  esum2d  34124  sigapildsys  34193  sxbrsigalem2  34318  omssubaddlem  34331  omssubadd  34332  eulerpartgbij  34404  actfunsnf1o  34636  actfunsnrndisj  34637  reprsuc  34647  breprexplema  34662  bnj1366  34860  msubco  35553  msubvrs  35582  fin2so  37631  poimirlem17  37661  poimirlem20  37664  cntotbnd  37820  islsat  39009