Theorem elrnmpti 5858

Description: Membership in the range of a function. (Contributed by NM, 30-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
elrnmpti.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elrnmpti	⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem elrnmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrnmpti.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	rgenw 3075	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
3		rnmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	elrnmptg 5857	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-cnv 5588  df-dm 5590  df-rn 5591

This theorem is referenced by:  fliftel  7160  oarec  8355  unfilem1  9008  pwfilemOLD  9043  elrest  17055  psgneldm2  19027  psgnfitr  19040  iscyggen2  19396  iscyg3  19401  cycsubgcyg  19417  eldprd  19522  leordtval2  22271  iocpnfordt  22274  icomnfordt  22275  lecldbas  22278  tsmsxplem1  23212  minveclem2  24495  lhop2  25084  taylthlem2  25438  fsumvma  26266  dchrptlem2  26318  2sqlem1  26470  dchrisum0fno1  26564  minvecolem2  29138  swrdrn3  31129  nsgqusf1olem1  31500  nsgqusf1olem3  31502  rspectopn  31719  zarclsun  31722  zarcls  31726  gsumesum  31927  esumlub  31928  esumcst  31931  esumpcvgval  31946  esumgect  31958  esum2d  31961  sigapildsys  32030  sxbrsigalem2  32153  omssubaddlem  32166  omssubadd  32167  eulerpartgbij  32239  actfunsnf1o  32484  actfunsnrndisj  32485  reprsuc  32495  breprexplema  32510  bnj1366  32709  msubco  33393  msubvrs  33422  fin2so  35691  poimirlem17  35721  poimirlem20  35724  cntotbnd  35881  islsat  36932