Theorem elrnmpti 5869

Description: Membership in the range of a function. (Contributed by NM, 30-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
elrnmpti.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elrnmpti	⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem elrnmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrnmpti.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	rgenw 3076	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
3		rnmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	elrnmptg 5868	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-cnv 5597  df-dm 5599  df-rn 5600

This theorem is referenced by:  fliftel  7180  oarec  8393  unfilem1  9078  pwfilemOLD  9113  elrest  17138  psgneldm2  19112  psgnfitr  19125  iscyggen2  19481  iscyg3  19486  cycsubgcyg  19502  eldprd  19607  leordtval2  22363  iocpnfordt  22366  icomnfordt  22367  lecldbas  22370  tsmsxplem1  23304  minveclem2  24590  lhop2  25179  taylthlem2  25533  fsumvma  26361  dchrptlem2  26413  2sqlem1  26565  dchrisum0fno1  26659  minvecolem2  29237  swrdrn3  31227  nsgqusf1olem1  31598  nsgqusf1olem3  31600  rspectopn  31817  zarclsun  31820  zarcls  31824  gsumesum  32027  esumlub  32028  esumcst  32031  esumpcvgval  32046  esumgect  32058  esum2d  32061  sigapildsys  32130  sxbrsigalem2  32253  omssubaddlem  32266  omssubadd  32267  eulerpartgbij  32339  actfunsnf1o  32584  actfunsnrndisj  32585  reprsuc  32595  breprexplema  32610  bnj1366  32809  msubco  33493  msubvrs  33522  fin2so  35764  poimirlem17  35794  poimirlem20  35797  cntotbnd  35954  islsat  37005