Theorem elrnmpti 5929

Description: Membership in the range of a function. (Contributed by NM, 30-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
elrnmpti.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elrnmpti	⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem elrnmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrnmpti.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	rgenw 3049	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
3		rnmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	elrnmptg 5928	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5191  ran crn 5642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-cnv 5649  df-dm 5651  df-rn 5652

This theorem is referenced by:  fliftel  7287  oarec  8529  unfilem1  9261  elrest  17397  psgneldm2  19441  psgnfitr  19454  iscyggen2  19818  iscyg3  19823  cycsubgcyg  19838  eldprd  19943  leordtval2  23106  iocpnfordt  23109  icomnfordt  23110  lecldbas  23113  tsmsxplem1  24047  minveclem2  25333  lhop2  25927  taylthlem2  26289  taylthlem2OLD  26290  fsumvma  27131  dchrptlem2  27183  2sqlem1  27335  dchrisum0fno1  27429  minvecolem2  30811  swrdrn3  32884  nsgqusf1olem1  33391  nsgqusf1olem3  33393  rspectopn  33864  zarclsun  33867  zarcls  33871  gsumesum  34056  esumlub  34057  esumcst  34060  esumpcvgval  34075  esumgect  34087  esum2d  34090  sigapildsys  34159  sxbrsigalem2  34284  omssubaddlem  34297  omssubadd  34298  eulerpartgbij  34370  actfunsnf1o  34602  actfunsnrndisj  34603  reprsuc  34613  breprexplema  34628  bnj1366  34826  msubco  35525  msubvrs  35554  fin2so  37608  poimirlem17  37638  poimirlem20  37641  cntotbnd  37797  islsat  38991