Theorem lsatfixedN 39269

Description: Show equality with the span of the sum of two vectors, one of which (𝑋) is fixed in advance. Compare lspfixed 21083. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatfixed.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatfixed.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lsatfixed.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatfixed.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatfixed.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatfixed.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatfixed.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatfixed.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lsatfixed.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lsatfixed.e	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑋}))
lsatfixed.f	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lsatfixed.g	⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lsatfixedN	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧, +   𝜑,𝑧   𝑧,𝑄   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem lsatfixedN

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatfixed.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
2		lsatfixed.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lsatfixed.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lsatfixed.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lsatfixed.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6		lsatfixed.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	islsat 39251	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{𝑤})))
8	2, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{𝑤})))
9	1, 8	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{𝑤}))
10		lsatfixed.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
11	2	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑊 ∈ LVec)
12		lsatfixed.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13	12	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		lsatfixed.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
17		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑄 = (𝑁‘{𝑤}))
18	17	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) = 𝑄)
19		lsatfixed.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑋}))
20	19	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑋}))
21	18, 20	eqnetrd 2999	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
22	3, 5, 4, 11, 16, 13, 21	lspsnne1 21072	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
23		lsatfixed.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑌}))
24	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑌}))
25	18, 24	eqnetrd 2999	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
26	3, 5, 4, 11, 16, 15, 25	lspsnne1 21072	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
27		lsatfixed.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
28	27	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑄 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
29	18, 28	eqsstrd 3968	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
30		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
31		lveclmod 21058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
32	2, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
33	32	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑊 ∈ LMod)
34	3, 30, 4, 32, 12, 14	lspprcl 20929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
35	34	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
36	16	eldifad 3913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑤 ∈ 𝑉)
37	3, 30, 4, 33, 35, 36	ellspsn5b 20946	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
38	29, 37	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
39	3, 10, 5, 4, 11, 13, 15, 22, 26, 38	lspfixed 21083	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑤 ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}))
40		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝜑)
41	40, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
42		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
43	40, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
44	40, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ 𝑉)
45	14	snssd 4765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
46	3, 4	lspssv 20934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
47	32, 45, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
48	47	ssdifssd 4099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
49	48	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
50	49	sselda 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑧 ∈ 𝑉)
51	3, 10	lmodvacl 20826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑧) ∈ 𝑉)
52	43, 44, 50, 51	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑋 + 𝑧) ∈ 𝑉)
53	3, 5, 4, 41, 42, 52	lspsncmp 21071	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
54	3, 30, 4	lspsncl 20928	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑧) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
55	43, 52, 54	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
56	42	eldifad 3913	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑤 ∈ 𝑉)
57	3, 30, 4, 43, 55, 56	ellspsn5b 20946	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑤 ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
58		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑄 = (𝑁‘{𝑤}))
59	58	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
60	53, 57, 59	3bitr4rd 312	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
61	60	rexbidva 3158	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑤 ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
62	39, 61	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}))
63	62	rexlimdv3a 3141	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{𝑤}) → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
64	9, 63	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  {csn 4580  {cpr 4582  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  0_gc0g 17359  LModclmod 20811  LSubSpclss 20882  LSpanclspn 20922  LVecclvec 21054  LSAtomsclsa 39234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cntz 19246  df-lsm 19565  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lvec 21055  df-lsatoms 39236

This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  42118