Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatfixedN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsatfixedN 38183
Description: Show equality with the span of the sum of two vectors, one of which (𝑋) is fixed in advance. Compare lspfixed 20887. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatfixed.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsatfixed.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lsatfixed.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatfixed.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsatfixed.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatfixed.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatfixed.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatfixed.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lsatfixed.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lsatfixed.e (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
lsatfixed.f (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
lsatfixed.g (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lsatfixedN (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })𝑄 = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧, +   πœ‘,𝑧   𝑧,𝑄   𝑧,𝑉   𝑧,π‘Š   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)
Proof of Theorem lsatfixedN
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatfixed.q . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
2 lsatfixed.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 lsatfixed.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lsatfixed.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
5 lsatfixed.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Š)
6 lsatfixed.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6islsat 38165 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})))
82, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})))
91, 8mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝑄 = (π‘β€˜{𝑀}))
10 lsatfixed.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
1123ad2ant1 1132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
12 lsatfixed.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
13123ad2ant1 1132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
14 lsatfixed.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
15143ad2ant1 1132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
16 simp2 1136 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
17 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀}))
1817eqcomd 2737 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) = 𝑄)
19 lsatfixed.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
20193ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ 𝑄 β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
2118, 20eqnetrd 3007 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
223, 5, 4, 11, 16, 13, 21lspsnne1 20876 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
23 lsatfixed.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
24233ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ 𝑄 β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
2518, 24eqnetrd 3007 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
263, 5, 4, 11, 16, 15, 25lspsnne1 20876 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
27 lsatfixed.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
28273ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ 𝑄 βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2918, 28eqsstrd 4021 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
30 eqid 2731 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31 lveclmod 20862 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
322, 31syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
33323ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ π‘Š ∈ LMod)
343, 30, 4, 32, 12, 14lspprcl 20734 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
35343ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
3616eldifad 3961 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
373, 30, 4, 33, 35, 36lspsnel5 20751 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ (π‘β€˜{𝑀}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
3829, 37mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
393, 10, 5, 4, 11, 13, 15, 22, 26, 38lspfixed 20887 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })𝑀 ∈ (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}))
40 simpl1 1190 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ πœ‘)
4140, 2syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ π‘Š ∈ LVec)
42 simpl2 1191 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
4340, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4440, 12syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
4514snssd 4813 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† 𝑉)
463, 4lspssv 20739 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {π‘Œ} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† 𝑉)
4732, 45, 46syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† 𝑉)
4847ssdifssd 4143 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 }) βŠ† 𝑉)
49483ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 }) βŠ† 𝑉)
5049sselda 3983 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
513, 10lmodvacl 20630 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 + 𝑧) ∈ 𝑉)
5243, 44, 50, 51syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ (𝑋 + 𝑧) ∈ 𝑉)
533, 5, 4, 41, 42, 52lspsncmp 20875 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) βŠ† (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ (π‘β€˜{𝑀}) = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)})))
543, 30, 4lspsncl 20733 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑧) ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
5543, 52, 54syl2anc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
5642eldifad 3961 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
573, 30, 4, 43, 55, 56lspsnel5 20751 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ (𝑀 ∈ (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ (π‘β€˜{𝑀}) βŠ† (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)})))
58 simpl3 1192 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀}))
5958eqeq1d 2733 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ (𝑄 = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ (π‘β€˜{𝑀}) = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)})))
6053, 57, 593bitr4rd 311 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ (𝑄 = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)})))
6160rexbidva 3175 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })𝑄 = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })𝑀 ∈ (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)})))
6239, 61mpbird 256 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })𝑄 = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}))
6362rexlimdv3a 3158 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝑄 = (π‘β€˜{𝑀}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })𝑄 = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)})))
649, 63mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })𝑄 = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  0gc0g 17390  LModclmod 20615  LSubSpclss 20687  LSpanclspn 20727  LVecclvec 20858  LSAtomsclsa 38148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lvec 20859  df-lsatoms 38150
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  41033
  Copyright terms: Public domain W3C validator