Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatfixedN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatfixedN 36014
 Description: Show equality with the span of the sum of two vectors, one of which (𝑋) is fixed in advance. Compare lspfixed 19822. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatfixed.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatfixed.p + = (+g𝑊)
lsatfixed.o 0 = (0g𝑊)
lsatfixed.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatfixed.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatfixed.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatfixed.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatfixed.x (𝜑𝑋𝑉)
lsatfixed.y (𝜑𝑌𝑉)
lsatfixed.e (𝜑𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑋}))
lsatfixed.f (𝜑𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lsatfixed.g (𝜑𝑄 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lsatfixedN (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧, +   𝜑,𝑧   𝑧,𝑄   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem lsatfixedN
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatfixed.q . . 3 (𝜑𝑄𝐴)
2 lsatfixed.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lsatfixed.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lsatfixed.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5 lsatfixed.o . . . . 5 0 = (0g𝑊)
6 lsatfixed.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
73, 4, 5, 6islsat 35996 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{𝑤})))
82, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{𝑤})))
91, 8mpbid 233 . 2 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{𝑤}))
10 lsatfixed.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
1123ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑊 ∈ LVec)
12 lsatfixed.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
13123ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑋𝑉)
14 lsatfixed.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
15143ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑌𝑉)
16 simp2 1131 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
17 simp3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑄 = (𝑁‘{𝑤}))
1817eqcomd 2831 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) = 𝑄)
19 lsatfixed.e . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑋}))
20193ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑋}))
2118, 20eqnetrd 3087 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
223, 5, 4, 11, 16, 13, 21lspsnne1 19811 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
23 lsatfixed.f . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑌}))
24233ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2518, 24eqnetrd 3087 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
263, 5, 4, 11, 16, 15, 25lspsnne1 19811 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
27 lsatfixed.g . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
28273ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑄 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2918, 28eqsstrd 4008 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
30 eqid 2825 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
31 lveclmod 19800 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
322, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
33323ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑊 ∈ LMod)
343, 30, 4, 32, 12, 14lspprcl 19672 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
35343ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
3616eldifad 3951 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑤𝑉)
373, 30, 4, 33, 35, 36lspsnel5 19689 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
3829, 37mpbird 258 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
393, 10, 5, 4, 11, 13, 15, 22, 26, 38lspfixed 19822 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑤 ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}))
40 simpl1 1185 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝜑)
4140, 2syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
42 simpl2 1186 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4340, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
4440, 12syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑋𝑉)
4514snssd 4740 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
463, 4lspssv 19677 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
4732, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
4847ssdifssd 4122 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
49483ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
5049sselda 3970 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑧𝑉)
513, 10lmodvacl 19570 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑧𝑉) → (𝑋 + 𝑧) ∈ 𝑉)
5243, 44, 50, 51syl3anc 1365 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑋 + 𝑧) ∈ 𝑉)
533, 5, 4, 41, 42, 52lspsncmp 19810 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
543, 30, 4lspsncl 19671 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑧) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5543, 52, 54syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5642eldifad 3951 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑤𝑉)
573, 30, 4, 43, 55, 56lspsnel5 19689 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑤 ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
58 simpl3 1187 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑄 = (𝑁‘{𝑤}))
5958eqeq1d 2827 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
6053, 57, 593bitr4rd 313 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
6160rexbidva 3300 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑤 ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
6239, 61mpbird 258 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}))
6362rexlimdv3a 3290 . 2 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{𝑤}) → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
649, 63mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3020  ∃wrex 3143   ∖ cdif 3936   ⊆ wss 3939  {csn 4563  {cpr 4565  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705  LModclmod 19556  LSubSpclss 19625  LSpanclspn 19665  LVecclvec 19796  LSAtomsclsa 35979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-subg 18208  df-cntz 18379  df-lsm 18683  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-oppr 19295  df-dvdsr 19313  df-unit 19314  df-invr 19344  df-drng 19426  df-lmod 19558  df-lss 19626  df-lsp 19666  df-lvec 19797  df-lsatoms 35981 This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  38863
 Copyright terms: Public domain W3C validator