Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatfixedN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatfixedN 39010
Description: Show equality with the span of the sum of two vectors, one of which (𝑋) is fixed in advance. Compare lspfixed 21130. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatfixed.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatfixed.p + = (+g𝑊)
lsatfixed.o 0 = (0g𝑊)
lsatfixed.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatfixed.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatfixed.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatfixed.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatfixed.x (𝜑𝑋𝑉)
lsatfixed.y (𝜑𝑌𝑉)
lsatfixed.e (𝜑𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑋}))
lsatfixed.f (𝜑𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lsatfixed.g (𝜑𝑄 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lsatfixedN (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧, +   𝜑,𝑧   𝑧,𝑄   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem lsatfixedN
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatfixed.q . . 3 (𝜑𝑄𝐴)
2 lsatfixed.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lsatfixed.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lsatfixed.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5 lsatfixed.o . . . . 5 0 = (0g𝑊)
6 lsatfixed.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
73, 4, 5, 6islsat 38992 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{𝑤})))
82, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{𝑤})))
91, 8mpbid 232 . 2 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{𝑤}))
10 lsatfixed.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
1123ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑊 ∈ LVec)
12 lsatfixed.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
13123ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑋𝑉)
14 lsatfixed.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
15143ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑌𝑉)
16 simp2 1138 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
17 simp3 1139 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑄 = (𝑁‘{𝑤}))
1817eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) = 𝑄)
19 lsatfixed.e . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑋}))
20193ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑋}))
2118, 20eqnetrd 3008 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
223, 5, 4, 11, 16, 13, 21lspsnne1 21119 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
23 lsatfixed.f . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑌}))
24233ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2518, 24eqnetrd 3008 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
263, 5, 4, 11, 16, 15, 25lspsnne1 21119 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
27 lsatfixed.g . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
28273ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑄 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2918, 28eqsstrd 4018 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
30 eqid 2737 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
31 lveclmod 21105 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
322, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
33323ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑊 ∈ LMod)
343, 30, 4, 32, 12, 14lspprcl 20976 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
35343ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
3616eldifad 3963 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑤𝑉)
373, 30, 4, 33, 35, 36ellspsn5b 20993 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
3829, 37mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
393, 10, 5, 4, 11, 13, 15, 22, 26, 38lspfixed 21130 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑤 ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}))
40 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝜑)
4140, 2syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
42 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4340, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
4440, 12syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑋𝑉)
4514snssd 4809 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
463, 4lspssv 20981 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
4732, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
4847ssdifssd 4147 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
49483ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
5049sselda 3983 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑧𝑉)
513, 10lmodvacl 20873 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑧𝑉) → (𝑋 + 𝑧) ∈ 𝑉)
5243, 44, 50, 51syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑋 + 𝑧) ∈ 𝑉)
533, 5, 4, 41, 42, 52lspsncmp 21118 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
543, 30, 4lspsncl 20975 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑧) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5543, 52, 54syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5642eldifad 3963 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑤𝑉)
573, 30, 4, 43, 55, 56ellspsn5b 20993 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑤 ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
58 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑄 = (𝑁‘{𝑤}))
5958eqeq1d 2739 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
6053, 57, 593bitr4rd 312 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
6160rexbidva 3177 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑤 ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
6239, 61mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}))
6362rexlimdv3a 3159 . 2 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{𝑤}) → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
649, 63mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101  LSAtomsclsa 38975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  41860
  Copyright terms: Public domain W3C validator