Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatfixedN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatfixedN 36635
Description: Show equality with the span of the sum of two vectors, one of which (𝑋) is fixed in advance. Compare lspfixed 20012. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatfixed.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatfixed.p + = (+g𝑊)
lsatfixed.o 0 = (0g𝑊)
lsatfixed.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatfixed.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatfixed.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatfixed.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatfixed.x (𝜑𝑋𝑉)
lsatfixed.y (𝜑𝑌𝑉)
lsatfixed.e (𝜑𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑋}))
lsatfixed.f (𝜑𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lsatfixed.g (𝜑𝑄 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lsatfixedN (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧, +   𝜑,𝑧   𝑧,𝑄   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem lsatfixedN
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatfixed.q . . 3 (𝜑𝑄𝐴)
2 lsatfixed.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lsatfixed.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lsatfixed.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5 lsatfixed.o . . . . 5 0 = (0g𝑊)
6 lsatfixed.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
73, 4, 5, 6islsat 36617 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{𝑤})))
82, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{𝑤})))
91, 8mpbid 235 . 2 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{𝑤}))
10 lsatfixed.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
1123ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑊 ∈ LVec)
12 lsatfixed.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
13123ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑋𝑉)
14 lsatfixed.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
15143ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑌𝑉)
16 simp2 1138 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
17 simp3 1139 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑄 = (𝑁‘{𝑤}))
1817eqcomd 2744 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) = 𝑄)
19 lsatfixed.e . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑋}))
20193ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑋}))
2118, 20eqnetrd 3001 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
223, 5, 4, 11, 16, 13, 21lspsnne1 20001 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
23 lsatfixed.f . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑌}))
24233ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑄 ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2518, 24eqnetrd 3001 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
263, 5, 4, 11, 16, 15, 25lspsnne1 20001 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
27 lsatfixed.g . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
28273ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑄 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2918, 28eqsstrd 3913 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
30 eqid 2738 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
31 lveclmod 19990 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
322, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
33323ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑊 ∈ LMod)
343, 30, 4, 32, 12, 14lspprcl 19862 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
35343ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
3616eldifad 3853 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑤𝑉)
373, 30, 4, 33, 35, 36lspsnel5 19879 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
3829, 37mpbird 260 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
393, 10, 5, 4, 11, 13, 15, 22, 26, 38lspfixed 20012 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑤 ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}))
40 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝜑)
4140, 2syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
42 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4340, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
4440, 12syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑋𝑉)
4514snssd 4694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
463, 4lspssv 19867 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
4732, 45, 46syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
4847ssdifssd 4031 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
49483ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
5049sselda 3875 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑧𝑉)
513, 10lmodvacl 19760 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑧𝑉) → (𝑋 + 𝑧) ∈ 𝑉)
5243, 44, 50, 51syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑋 + 𝑧) ∈ 𝑉)
533, 5, 4, 41, 42, 52lspsncmp 20000 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
543, 30, 4lspsncl 19861 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑧) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5543, 52, 54syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5642eldifad 3853 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑤𝑉)
573, 30, 4, 43, 55, 56lspsnel5 19879 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑤 ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
58 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → 𝑄 = (𝑁‘{𝑤}))
5958eqeq1d 2740 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
6053, 57, 593bitr4rd 315 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })) → (𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
6160rexbidva 3205 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → (∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑤 ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
6239, 61mpbird 260 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝑄 = (𝑁‘{𝑤})) → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}))
6362rexlimdv3a 3195 . 2 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{𝑤}) → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)})))
649, 63mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ∖ { 0 })𝑄 = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑧)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wrex 3054  cdif 3838  wss 3841  {csn 4513  {cpr 4515  cfv 6333  (class class class)co 7164  Basecbs 16579  +gcplusg 16661  0gc0g 16809  LModclmod 19746  LSubSpclss 19815  LSpanclspn 19855  LVecclvec 19986  LSAtomsclsa 36600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-tpos 7914  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-0g 16811  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-subg 18387  df-cntz 18558  df-lsm 18872  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507  df-invr 19537  df-drng 19616  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-lsp 19856  df-lvec 19987  df-lsatoms 36602
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  39484
  Copyright terms: Public domain W3C validator