Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatfixedN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsatfixedN 37867
Description: Show equality with the span of the sum of two vectors, one of which (𝑋) is fixed in advance. Compare lspfixed 20733. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatfixed.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsatfixed.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lsatfixed.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatfixed.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsatfixed.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatfixed.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatfixed.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatfixed.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lsatfixed.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lsatfixed.e (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
lsatfixed.f (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
lsatfixed.g (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lsatfixedN (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })𝑄 = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧, +   πœ‘,𝑧   𝑧,𝑄   𝑧,𝑉   𝑧,π‘Š   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)
Proof of Theorem lsatfixedN
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatfixed.q . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
2 lsatfixed.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 lsatfixed.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lsatfixed.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
5 lsatfixed.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Š)
6 lsatfixed.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6islsat 37849 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})))
82, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})))
91, 8mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝑄 = (π‘β€˜{𝑀}))
10 lsatfixed.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
1123ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
12 lsatfixed.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
13123ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
14 lsatfixed.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
15143ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
16 simp2 1137 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
17 simp3 1138 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀}))
1817eqcomd 2738 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) = 𝑄)
19 lsatfixed.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
20193ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ 𝑄 β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
2118, 20eqnetrd 3008 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
223, 5, 4, 11, 16, 13, 21lspsnne1 20722 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
23 lsatfixed.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
24233ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ 𝑄 β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
2518, 24eqnetrd 3008 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
263, 5, 4, 11, 16, 15, 25lspsnne1 20722 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
27 lsatfixed.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
28273ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ 𝑄 βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2918, 28eqsstrd 4019 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
30 eqid 2732 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31 lveclmod 20709 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
322, 31syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
33323ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ π‘Š ∈ LMod)
343, 30, 4, 32, 12, 14lspprcl 20581 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
35343ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
3616eldifad 3959 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
373, 30, 4, 33, 35, 36lspsnel5 20598 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ (π‘β€˜{𝑀}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
3829, 37mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
393, 10, 5, 4, 11, 13, 15, 22, 26, 38lspfixed 20733 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })𝑀 ∈ (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}))
40 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ πœ‘)
4140, 2syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ π‘Š ∈ LVec)
42 simpl2 1192 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
4340, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4440, 12syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
4514snssd 4811 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† 𝑉)
463, 4lspssv 20586 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {π‘Œ} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† 𝑉)
4732, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† 𝑉)
4847ssdifssd 4141 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 }) βŠ† 𝑉)
49483ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 }) βŠ† 𝑉)
5049sselda 3981 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
513, 10lmodvacl 20478 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 + 𝑧) ∈ 𝑉)
5243, 44, 50, 51syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ (𝑋 + 𝑧) ∈ 𝑉)
533, 5, 4, 41, 42, 52lspsncmp 20721 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) βŠ† (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ (π‘β€˜{𝑀}) = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)})))
543, 30, 4lspsncl 20580 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑧) ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
5543, 52, 54syl2anc 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
5642eldifad 3959 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
573, 30, 4, 43, 55, 56lspsnel5 20598 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ (𝑀 ∈ (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ (π‘β€˜{𝑀}) βŠ† (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)})))
58 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀}))
5958eqeq1d 2734 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ (𝑄 = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ (π‘β€˜{𝑀}) = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)})))
6053, 57, 593bitr4rd 311 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })) β†’ (𝑄 = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)})))
6160rexbidva 3176 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })𝑄 = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })𝑀 ∈ (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)})))
6239, 61mpbird 256 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑄 = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })𝑄 = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}))
6362rexlimdv3a 3159 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝑄 = (π‘β€˜{𝑀}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })𝑄 = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)})))
649, 63mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βˆ– { 0 })𝑄 = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑧)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  0gc0g 17381  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574  LVecclvec 20705  LSAtomsclsa 37832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lsatoms 37834
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  40717
  Copyright terms: Public domain W3C validator