Theorem lsatn0 37317

Description: A 1-dim subspace (atom) of a left module or left vector space is nonzero. (atne0 30996 analog.) (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatn0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatn0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatn0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsatn0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatn0	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })

Proof of Theorem lsatn0

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatn0.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
2		lsatn0.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		lsatn0.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6		lsatn0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	islsat 37309	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
8	2, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
9	1, 8	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10		eldifsn 4735	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ))
11	3, 5, 4	lspsneq0 20381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = { 0 } ↔ 𝑣 = 0 ))
12	2, 11	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = { 0 } ↔ 𝑣 = 0 ))
13	12	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = { 0 } → 𝑣 = 0 ))
14	13	necon3d 2961	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑣 ≠ 0 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
15	14	expimpd 454	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
16	10, 15	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
17		neeq1 3003	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
18	17	biimprcd 249	. . . 4 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 } → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑈 ≠ { 0 }))
19	16, 18	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑈 ≠ { 0 })))
20	19	rexlimdv 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑈 ≠ { 0 }))
21	9, 20	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3895  {csn 4574  ‘cfv 6480  Basecbs 17010  0_gc0g 17248  LModclmod 20230  LSpanclspn 20340  LSAtomsclsa 37292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-2 12138  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-plusg 17073  df-0g 17250  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-grp 18677  df-mgp 19817  df-ring 19881  df-lmod 20232  df-lss 20301  df-lsp 20341  df-lsatoms 37294

This theorem is referenced by:  lsatspn0  37318  lsatssn0  37320  lsatcmp  37321  lsatcv0  37349  dochsat  39702  dochsatshp  39770  dochshpsat  39773  dochexmidlem1  39779