Theorem lsatn0 39561

Description: A 1-dim subspace (atom) of a left module or left vector space is nonzero. (atne0 32483 analog.) (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatn0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatn0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatn0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsatn0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatn0	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })

Proof of Theorem lsatn0

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatn0.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
2		lsatn0.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		lsatn0.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6		lsatn0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	islsat 39553	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
8	2, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
9	1, 8	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10		eldifsn 4736	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ))
11	3, 5, 4	lspsneq0 21048	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = { 0 } ↔ 𝑣 = 0 ))
12	2, 11	sylan 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = { 0 } ↔ 𝑣 = 0 ))
13	12	biimpd 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = { 0 } → 𝑣 = 0 ))
14	13	necon3d 2968	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑣 ≠ 0 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
15	14	expimpd 456	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
16	10, 15	biimtrid 244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
17		neeq1 3009	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
18	17	biimprcd 252	. . . 4 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 } → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑈 ≠ { 0 }))
19	16, 18	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑈 ≠ { 0 })))
20	19	rexlimdv 3151	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑈 ≠ { 0 }))
21	9, 20	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  ∃wrex 3076   ∖ cdif 3892  {csn 4572  ‘cfv 6506  Basecbs 17217  0_gc0g 17440  LModclmod 20896  LSpanclspn 21007  LSAtomsclsa 39536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-plusg 17271  df-0g 17442  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20898  df-lss 20968  df-lsp 21008  df-lsatoms 39538

This theorem is referenced by:  lsatspn0  39562  lsatssn0  39564  lsatcmp  39565  lsatcv0  39593  dochsat  41945  dochsatshp  42013  dochshpsat  42016  dochexmidlem1  42022