Theorem lsatn0 39814

Description: A 1-dim subspace (atom) of a left module or left vector space is nonzero. (atne0 32734 analog.) (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatn0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatn0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatn0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsatn0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatn0	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })

Proof of Theorem lsatn0

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatn0.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
2		lsatn0.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		lsatn0.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6		lsatn0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	islsat 39806	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
8	2, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
9	1, 8	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10		eldifsn 4758	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ))
11	3, 5, 4	lspsneq0 21170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = { 0 } ↔ 𝑣 = 0 ))
12	2, 11	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = { 0 } ↔ 𝑣 = 0 ))
13	12	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = { 0 } → 𝑣 = 0 ))
14	13	necon3d 2982	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑣 ≠ 0 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
15	14	expimpd 459	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
16	10, 15	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
17		neeq1 3023	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
18	17	biimprcd 253	. . . 4 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 } → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑈 ≠ { 0 }))
19	16, 18	syl6 36	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑈 ≠ { 0 })))
20	19	rexlimdv 3167	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑈 ≠ { 0 }))
21	9, 20	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092   ∖ cdif 3905  {csn 4594  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  0_gc0g 17517  LModclmod 21018  LSpanclspn 21129  LSAtomsclsa 39789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-lsatoms 39791

This theorem is used by:  lsatspn0  39815  lsatssn0  39817  lsatcmp  39818  lsatcv0  39846  dochsat  42198  dochsatshp  42266  dochshpsat  42269  dochexmidlem1  42275