Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatn0 38380
Description: A 1-dim subspace (atom) of a left module or left vector space is nonzero. (atne0 32103 analog.) (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatn0.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatn0.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatn0.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lsatn0.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatn0 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })

Proof of Theorem lsatn0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatn0.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
2 lsatn0.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
4 eqid 2726 . . . . 5 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
5 lsatn0.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Š)
6 lsatn0.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6islsat 38372 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
82, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
91, 8mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
10 eldifsn 4785 . . . . 5 (𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ↔ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  0 ))
113, 5, 4lspsneq0 20857 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) = { 0 } ↔ 𝑣 = 0 ))
122, 11sylan 579 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) = { 0 } ↔ 𝑣 = 0 ))
1312biimpd 228 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) = { 0 } β†’ 𝑣 = 0 ))
1413necon3d 2955 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑣 β‰  0 β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β‰  { 0 }))
1514expimpd 453 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  0 ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β‰  { 0 }))
1610, 15biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β‰  { 0 }))
17 neeq1 2997 . . . . 5 (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (π‘ˆ β‰  { 0 } ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β‰  { 0 }))
1817biimprcd 249 . . . 4 (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β‰  { 0 } β†’ (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 }))
1916, 18syl6 35 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) β†’ (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })))
2019rexlimdv 3147 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 }))
219, 20mpd 15 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940  {csn 4623  β€˜cfv 6536  Basecbs 17151  0gc0g 17392  LModclmod 20704  LSpanclspn 20816  LSAtomsclsa 38355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lsatoms 38357
This theorem is referenced by:  lsatspn0  38381  lsatssn0  38383  lsatcmp  38384  lsatcv0  38412  dochsat  40765  dochsatshp  40833  dochshpsat  40836  dochexmidlem1  40842
  Copyright terms: Public domain W3C validator