Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatn0 38475
Description: A 1-dim subspace (atom) of a left module or left vector space is nonzero. (atne0 32173 analog.) (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatn0.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatn0.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatn0.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lsatn0.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatn0 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })

Proof of Theorem lsatn0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatn0.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
2 lsatn0.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 eqid 2727 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
4 eqid 2727 . . . . 5 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
5 lsatn0.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Š)
6 lsatn0.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6islsat 38467 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
82, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
91, 8mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
10 eldifsn 4793 . . . . 5 (𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ↔ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  0 ))
113, 5, 4lspsneq0 20901 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) = { 0 } ↔ 𝑣 = 0 ))
122, 11sylan 578 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) = { 0 } ↔ 𝑣 = 0 ))
1312biimpd 228 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) = { 0 } β†’ 𝑣 = 0 ))
1413necon3d 2957 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑣 β‰  0 β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β‰  { 0 }))
1514expimpd 452 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  0 ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β‰  { 0 }))
1610, 15biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β‰  { 0 }))
17 neeq1 2999 . . . . 5 (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (π‘ˆ β‰  { 0 } ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β‰  { 0 }))
1817biimprcd 249 . . . 4 (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β‰  { 0 } β†’ (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 }))
1916, 18syl6 35 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) β†’ (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })))
2019rexlimdv 3149 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 }))
219, 20mpd 15 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  βˆƒwrex 3066   βˆ– cdif 3944  {csn 4630  β€˜cfv 6551  Basecbs 17185  0gc0g 17426  LModclmod 20748  LSpanclspn 20860  LSAtomsclsa 38450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-lsatoms 38452
This theorem is referenced by:  lsatspn0  38476  lsatssn0  38478  lsatcmp  38479  lsatcv0  38507  dochsat  40860  dochsatshp  40928  dochshpsat  40931  dochexmidlem1  40937
  Copyright terms: Public domain W3C validator