Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatn0 37490
Description: A 1-dim subspace (atom) of a left module or left vector space is nonzero. (atne0 31329 analog.) (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatn0.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatn0.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatn0.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lsatn0.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatn0 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })

Proof of Theorem lsatn0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatn0.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
2 lsatn0.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
4 eqid 2737 . . . . 5 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
5 lsatn0.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Š)
6 lsatn0.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6islsat 37482 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
82, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
91, 8mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
10 eldifsn 4752 . . . . 5 (𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ↔ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  0 ))
113, 5, 4lspsneq0 20489 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) = { 0 } ↔ 𝑣 = 0 ))
122, 11sylan 581 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) = { 0 } ↔ 𝑣 = 0 ))
1312biimpd 228 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) = { 0 } β†’ 𝑣 = 0 ))
1413necon3d 2965 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑣 β‰  0 β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β‰  { 0 }))
1514expimpd 455 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  0 ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β‰  { 0 }))
1610, 15biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β‰  { 0 }))
17 neeq1 3007 . . . . 5 (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (π‘ˆ β‰  { 0 } ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β‰  { 0 }))
1817biimprcd 250 . . . 4 (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β‰  { 0 } β†’ (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 }))
1916, 18syl6 35 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) β†’ (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })))
2019rexlimdv 3151 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 }))
219, 20mpd 15 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   βˆ– cdif 3912  {csn 4591  β€˜cfv 6501  Basecbs 17090  0gc0g 17328  LModclmod 20338  LSpanclspn 20448  LSAtomsclsa 37465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-mgp 19904  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lsatoms 37467
This theorem is referenced by:  lsatspn0  37491  lsatssn0  37493  lsatcmp  37494  lsatcv0  37522  dochsat  39875  dochsatshp  39943  dochshpsat  39946  dochexmidlem1  39952
  Copyright terms: Public domain W3C validator