Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatn0 36295
Description: A 1-dim subspace (atom) of a left module or left vector space is nonzero. (atne0 30128 analog.) (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatn0.o 0 = (0g𝑊)
lsatn0.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatn0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsatn0.u (𝜑𝑈𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatn0 (𝜑𝑈 ≠ { 0 })

Proof of Theorem lsatn0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatn0.u . . 3 (𝜑𝑈𝐴)
2 lsatn0.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
3 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4 eqid 2798 . . . . 5 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5 lsatn0.o . . . . 5 0 = (0g𝑊)
6 lsatn0.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
73, 4, 5, 6islsat 36287 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
82, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
91, 8mpbid 235 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10 eldifsn 4680 . . . . 5 (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣0 ))
113, 5, 4lspsneq0 19777 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = { 0 } ↔ 𝑣 = 0 ))
122, 11sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = { 0 } ↔ 𝑣 = 0 ))
1312biimpd 232 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = { 0 } → 𝑣 = 0 ))
1413necon3d 3008 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑣0 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
1514expimpd 457 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
1610, 15syl5bi 245 . . . 4 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
17 neeq1 3049 . . . . 5 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
1817biimprcd 253 . . . 4 (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 } → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑈 ≠ { 0 }))
1916, 18syl6 35 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑈 ≠ { 0 })))
2019rexlimdv 3242 . 2 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑈 ≠ { 0 }))
219, 20mpd 15 1 (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987  wrex 3107  cdif 3878  {csn 4525  cfv 6324  Basecbs 16475  0gc0g 16705  LModclmod 19627  LSpanclspn 19736  LSAtomsclsa 36270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-mgp 19233  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lsatoms 36272
This theorem is referenced by:  lsatspn0  36296  lsatssn0  36298  lsatcmp  36299  lsatcv0  36327  dochsat  38679  dochsatshp  38747  dochshpsat  38750  dochexmidlem1  38756
  Copyright terms: Public domain W3C validator