Theorem lsatcmp 39259

Description: If two atoms are comparable, they are equal. (atsseq 32422 analog.) TODO: can lspsncmp 21071 shorten this? (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcmp.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcmp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcmp.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
lsatcmp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatcmp	⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lsatcmp

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcmp.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
2		lsatcmp.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 21058	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8		lsatcmp.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	islsat 39247	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
11	1, 10	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
12		eldifsn 4742	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)))
13		lsatcmp.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
14	7, 8, 4, 13	lsatn0 39255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ {(0g‘𝑊)})
15	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ≠ {(0g‘𝑊)})
16	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LVec)
17		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
18	17, 8, 4, 13	lsatlssel 39253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
20		simplrl 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
21		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
22	5, 7, 17, 6	lspsnat 21100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g‘𝑊)}))
23	16, 19, 20, 21, 22	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g‘𝑊)}))
24	23	ord 864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = {(0g‘𝑊)}))
25	24	necon1ad 2949	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 ≠ {(0g‘𝑊)} → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
26	15, 25	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
27	26	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
28		eqimss 3992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
29	27, 28	impbid1 225	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
30	29	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
31	12, 30	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
32		sseq2 3960	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
33		eqeq2 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 = 𝑈 ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
34	32, 33	bibi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈) ↔ (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
35	34	biimprcd 250	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈)))
36	31, 35	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))))
37	36	rexlimdv 3135	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈)))
38	11, 37	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  {csn 4580  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  LModclmod 20811  LSubSpclss 20882  LSpanclspn 20922  LVecclvec 21054  LSAtomsclsa 39230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lvec 21055  df-lsatoms 39232

This theorem is referenced by:  lsatcmp2  39260  lsatel  39261  lsatnem0  39301  dvh2dimatN  41696