Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcmp 35620
Description: If two atoms are comparable, they are equal. (atsseq 29803 analog.) TODO: can lspsncmp 19566 shorten this? (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcmp.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcmp.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcmp.t (𝜑𝑇𝐴)
lsatcmp.u (𝜑𝑈𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcmp (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lsatcmp
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcmp.u . . 3 (𝜑𝑈𝐴)
2 lsatcmp.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 19556 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 eqid 2793 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6 eqid 2793 . . . . 5 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
7 eqid 2793 . . . . 5 (0g𝑊) = (0g𝑊)
8 lsatcmp.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
95, 6, 7, 8islsat 35608 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
104, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
111, 10mpbid 233 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
12 eldifsn 4620 . . . . 5 (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊)))
13 lsatcmp.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇𝐴)
147, 8, 4, 13lsatn0 35616 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ≠ {(0g𝑊)})
1514ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ≠ {(0g𝑊)})
162ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LVec)
17 eqid 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
1817, 8, 4, 13lsatlssel 35614 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1918ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
20 simplrl 773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
21 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
225, 7, 17, 6lspsnat 19595 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g𝑊)}))
2316, 19, 20, 21, 22syl31anc 1364 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g𝑊)}))
2423ord 859 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = {(0g𝑊)}))
2524necon1ad 2999 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 ≠ {(0g𝑊)} → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
2615, 25mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
2726ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
28 eqimss 3939 . . . . . . 7 (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
2927, 28impbid1 226 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
3029ex 413 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊)) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
3112, 30syl5bi 243 . . . 4 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
32 sseq2 3909 . . . . . 6 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
33 eqeq2 2804 . . . . . 6 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 = 𝑈𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
3432, 33bibi12d 347 . . . . 5 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇𝑈𝑇 = 𝑈) ↔ (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
3534biimprcd 251 . . . 4 ((𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈)))
3631, 35syl6 35 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))))
3736rexlimdv 3243 . 2 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈)))
3811, 37mpd 15 1 (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842   = wceq 1520  wcel 2079  wne 2982  wrex 3104  cdif 3851  wss 3854  {csn 4466  cfv 6217  Basecbs 16300  0gc0g 16530  LModclmod 19312  LSubSpclss 19381  LSpanclspn 19421  LVecclvec 19552  LSAtomsclsa 35591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-tpos 7734  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-0g 16532  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-grp 17852  df-minusg 17853  df-sbg 17854  df-cmn 18623  df-abl 18624  df-mgp 18918  df-ur 18930  df-ring 18977  df-oppr 19051  df-dvdsr 19069  df-unit 19070  df-invr 19100  df-drng 19182  df-lmod 19314  df-lss 19382  df-lsp 19422  df-lvec 19553  df-lsatoms 35593
This theorem is referenced by:  lsatcmp2  35621  lsatel  35622  lsatnem0  35662  dvh2dimatN  38057
  Copyright terms: Public domain W3C validator