Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcmp 38985
Description: If two atoms are comparable, they are equal. (atsseq 32376 analog.) TODO: can lspsncmp 21136 shorten this? (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcmp.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcmp.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcmp.t (𝜑𝑇𝐴)
lsatcmp.u (𝜑𝑈𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcmp (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lsatcmp
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcmp.u . . 3 (𝜑𝑈𝐴)
2 lsatcmp.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 21123 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6 eqid 2735 . . . . 5 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
7 eqid 2735 . . . . 5 (0g𝑊) = (0g𝑊)
8 lsatcmp.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
95, 6, 7, 8islsat 38973 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
104, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
111, 10mpbid 232 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
12 eldifsn 4791 . . . . 5 (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊)))
13 lsatcmp.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇𝐴)
147, 8, 4, 13lsatn0 38981 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ≠ {(0g𝑊)})
1514ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ≠ {(0g𝑊)})
162ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LVec)
17 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
1817, 8, 4, 13lsatlssel 38979 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1918ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
20 simplrl 777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
21 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
225, 7, 17, 6lspsnat 21165 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g𝑊)}))
2316, 19, 20, 21, 22syl31anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g𝑊)}))
2423ord 864 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = {(0g𝑊)}))
2524necon1ad 2955 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 ≠ {(0g𝑊)} → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
2615, 25mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
2726ex 412 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
28 eqimss 4054 . . . . . . 7 (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
2927, 28impbid1 225 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
3029ex 412 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊)) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
3112, 30biimtrid 242 . . . 4 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
32 sseq2 4022 . . . . . 6 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
33 eqeq2 2747 . . . . . 6 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 = 𝑈𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
3432, 33bibi12d 345 . . . . 5 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇𝑈𝑇 = 𝑈) ↔ (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
3534biimprcd 250 . . . 4 ((𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈)))
3631, 35syl6 35 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))))
3736rexlimdv 3151 . 2 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈)))
3811, 37mpd 15 1 (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631  cfv 6563  Basecbs 17245  0gc0g 17486  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119  LSAtomsclsa 38956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958
This theorem is referenced by:  lsatcmp2  38986  lsatel  38987  lsatnem0  39027  dvh2dimatN  41423
  Copyright terms: Public domain W3C validator