Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcmp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsatcmp 37921
Description: If two atoms are comparable, they are equal. (atsseq 31631 analog.) TODO: can lspsncmp 20729 shorten this? (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcmp.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcmp.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcmp.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
lsatcmp.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcmp (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ))
Proof of Theorem lsatcmp
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcmp.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
2 lsatcmp.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 lveclmod 20717 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
6 eqid 2733 . . . . 5 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
7 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
8 lsatcmp.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
95, 6, 7, 8islsat 37909 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
104, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
111, 10mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
12 eldifsn 4791 . . . . 5 (𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ↔ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)))
13 lsatcmp.t . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
147, 8, 4, 13lsatn0 37917 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  {(0gβ€˜π‘Š)})
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ 𝑇 β‰  {(0gβ€˜π‘Š)})
162ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
17 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
1817, 8, 4, 13lsatlssel 37915 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
20 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
21 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
225, 7, 17, 6lspsnat 20758 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0gβ€˜π‘Š)}))
2316, 19, 20, 21, 22syl31anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0gβ€˜π‘Š)}))
2423ord 863 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (Β¬ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ 𝑇 = {(0gβ€˜π‘Š)}))
2524necon1ad 2958 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (𝑇 β‰  {(0gβ€˜π‘Š)} β†’ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
2615, 25mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
2726ex 414 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
28 eqimss 4041 . . . . . . 7 (𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
2927, 28impbid1 224 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
3029ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))))
3112, 30biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ (𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))))
32 sseq2 4009 . . . . . 6 (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
33 eqeq2 2745 . . . . . 6 (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (𝑇 = π‘ˆ ↔ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
3432, 33bibi12d 346 . . . . 5 (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ ((𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ) ↔ (𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))))
3534biimprcd 249 . . . 4 ((𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ)))
3631, 35syl6 35 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ))))
3736rexlimdv 3154 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ)))
3811, 37mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  0gc0g 17385  LModclmod 20471  LSubSpclss 20542  LSpanclspn 20582  LVecclvec 20713  LSAtomsclsa 37892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714  df-lsatoms 37894
This theorem is referenced by:  lsatcmp2  37922  lsatel  37923  lsatnem0  37963  dvh2dimatN  40359
  Copyright terms: Public domain W3C validator