Theorem lsatcmp 39723

Description: If two atoms are comparable, they are equal. (atsseq 32665 analog.) TODO: can lspsncmp 21219 shorten this? (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcmp.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcmp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcmp.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
lsatcmp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatcmp	⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lsatcmp

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcmp.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
2		lsatcmp.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 21206	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
7		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8		lsatcmp.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	islsat 39711	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
10	4, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
11	1, 10	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
12		eldifsn 4752	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)))
13		lsatcmp.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
14	7, 8, 4, 13	lsatn0 39719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ {(0g‘𝑊)})
15	14	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ≠ {(0g‘𝑊)})
16	2	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LVec)
17		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
18	17, 8, 4, 13	lsatlssel 39717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	18	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
20		simplrl 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
21		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
22	5, 7, 17, 6	lspsnat 21248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g‘𝑊)}))
23	16, 19, 20, 21, 22	syl31anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g‘𝑊)}))
24	23	ord 877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = {(0g‘𝑊)}))
25	24	necon1ad 2973	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 ≠ {(0g‘𝑊)} → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
26	15, 25	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
27	26	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
28		eqimss 3994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
29	27, 28	impbid1 228	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
30	29	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
31	12, 30	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
32		sseq2 3962	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
33		eqeq2 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 = 𝑈 ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
34	32, 33	bibi12d 348	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈) ↔ (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
35	34	biimprcd 253	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈)))
36	31, 35	syl6 36	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))))
37	36	rexlimdv 3162	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈)))
38	11, 37	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {csn 4588  ‘cfv 6536  Basecbs 17268  0_gc0g 17491  LModclmod 20960  LSubSpclss 21031  LSpanclspn 21071  LVecclvec 21202  LSAtomsclsa 39694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-drng 20814  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-lvec 21203  df-lsatoms 39696

This theorem is referenced by:  lsatcmp2  39724  lsatel  39725  lsatnem0  39765  dvh2dimatN  42160