Theorem lsatcmp 39463

Description: If two atoms are comparable, they are equal. (atsseq 32433 analog.) TODO: can lspsncmp 21106 shorten this? (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcmp.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcmp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcmp.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
lsatcmp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatcmp	⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lsatcmp

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcmp.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
2		lsatcmp.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 21093	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8		lsatcmp.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	islsat 39451	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
11	1, 10	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
12		eldifsn 4730	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)))
13		lsatcmp.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
14	7, 8, 4, 13	lsatn0 39459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ {(0g‘𝑊)})
15	14	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ≠ {(0g‘𝑊)})
16	2	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LVec)
17		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
18	17, 8, 4, 13	lsatlssel 39457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	18	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
20		simplrl 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
21		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
22	5, 7, 17, 6	lspsnat 21135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g‘𝑊)}))
23	16, 19, 20, 21, 22	syl31anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g‘𝑊)}))
24	23	ord 865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = {(0g‘𝑊)}))
25	24	necon1ad 2950	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 ≠ {(0g‘𝑊)} → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
26	15, 25	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
27	26	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
28		eqimss 3981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
29	27, 28	impbid1 225	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
30	29	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
31	12, 30	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
32		sseq2 3949	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
33		eqeq2 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 = 𝑈 ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
34	32, 33	bibi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈) ↔ (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
35	34	biimprcd 250	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈)))
36	31, 35	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))))
37	36	rexlimdv 3137	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈)))
38	11, 37	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  LModclmod 20846  LSubSpclss 20917  LSpanclspn 20957  LVecclvec 21089  LSAtomsclsa 39434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-drng 20699  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-lvec 21090  df-lsatoms 39436

This theorem is referenced by:  lsatcmp2  39464  lsatel  39465  lsatnem0  39505  dvh2dimatN  41900