Theorem lsatcmp 39591

Description: If two atoms are comparable, they are equal. (atsseq 32496 analog.) TODO: can lspsncmp 21166 shorten this? (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcmp.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcmp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcmp.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
lsatcmp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatcmp	⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lsatcmp

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcmp.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
2		lsatcmp.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 21153	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
7		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8		lsatcmp.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	islsat 39579	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
11	1, 10	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
12		eldifsn 4745	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)))
13		lsatcmp.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
14	7, 8, 4, 13	lsatn0 39587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ {(0g‘𝑊)})
15	14	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ≠ {(0g‘𝑊)})
16	2	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LVec)
17		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
18	17, 8, 4, 13	lsatlssel 39585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	18	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
20		simplrl 786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
21		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
22	5, 7, 17, 6	lspsnat 21195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g‘𝑊)}))
23	16, 19, 20, 21, 22	syl31anc 1391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g‘𝑊)}))
24	23	ord 875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = {(0g‘𝑊)}))
25	24	necon1ad 2973	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 ≠ {(0g‘𝑊)} → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
26	15, 25	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
27	26	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
28		eqimss 3994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
29	27, 28	impbid1 227	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
30	29	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
31	12, 30	biimtrid 244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
32		sseq2 3962	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
33		eqeq2 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 = 𝑈 ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
34	32, 33	bibi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈) ↔ (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
35	34	biimprcd 252	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈)))
36	31, 35	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))))
37	36	rexlimdv 3160	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈)))
38	11, 37	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {csn 4581  ‘cfv 6517  Basecbs 17228  0_gc0g 17451  LModclmod 20907  LSubSpclss 20978  LSpanclspn 21018  LVecclvec 21149  LSAtomsclsa 39562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-drng 20760  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-lvec 21150  df-lsatoms 39564

This theorem is referenced by:  lsatcmp2  39592  lsatel  39593  lsatnem0  39633  dvh2dimatN  42028