Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcmp 37397
Description: If two atoms are comparable, they are equal. (atsseq 31118 analog.) TODO: can lspsncmp 20530 shorten this? (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcmp.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcmp.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcmp.t (𝜑𝑇𝐴)
lsatcmp.u (𝜑𝑈𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcmp (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lsatcmp
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcmp.u . . 3 (𝜑𝑈𝐴)
2 lsatcmp.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 20520 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6 eqid 2738 . . . . 5 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
7 eqid 2738 . . . . 5 (0g𝑊) = (0g𝑊)
8 lsatcmp.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
95, 6, 7, 8islsat 37385 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
104, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
111, 10mpbid 231 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
12 eldifsn 4746 . . . . 5 (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊)))
13 lsatcmp.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇𝐴)
147, 8, 4, 13lsatn0 37393 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ≠ {(0g𝑊)})
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ≠ {(0g𝑊)})
162ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LVec)
17 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
1817, 8, 4, 13lsatlssel 37391 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
20 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
21 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
225, 7, 17, 6lspsnat 20559 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g𝑊)}))
2316, 19, 20, 21, 22syl31anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g𝑊)}))
2423ord 863 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = {(0g𝑊)}))
2524necon1ad 2959 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 ≠ {(0g𝑊)} → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
2615, 25mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
2726ex 414 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
28 eqimss 3999 . . . . . . 7 (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
2927, 28impbid1 224 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
3029ex 414 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊)) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
3112, 30biimtrid 241 . . . 4 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
32 sseq2 3969 . . . . . 6 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
33 eqeq2 2750 . . . . . 6 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 = 𝑈𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
3432, 33bibi12d 346 . . . . 5 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇𝑈𝑇 = 𝑈) ↔ (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
3534biimprcd 250 . . . 4 ((𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈)))
3631, 35syl6 35 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))))
3736rexlimdv 3149 . 2 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈)))
3811, 37mpd 15 1 (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  wrex 3072  cdif 3906  wss 3909  {csn 4585  cfv 6494  Basecbs 17043  0gc0g 17281  LModclmod 20275  LSubSpclss 20345  LSpanclspn 20385  LVecclvec 20516  LSAtomsclsa 37368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-tpos 8150  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-0g 17283  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-oppr 20002  df-dvdsr 20023  df-unit 20024  df-invr 20054  df-drng 20140  df-lmod 20277  df-lss 20346  df-lsp 20386  df-lvec 20517  df-lsatoms 37370
This theorem is referenced by:  lsatcmp2  37398  lsatel  37399  lsatnem0  37439  dvh2dimatN  39835
  Copyright terms: Public domain W3C validator