Theorem lsatcmp 37465

Description: If two atoms are comparable, they are equal. (atsseq 31289 analog.) TODO: can lspsncmp 20577 shorten this? (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcmp.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcmp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcmp.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
lsatcmp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatcmp	⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lsatcmp

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcmp.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
2		lsatcmp.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 20567	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8		lsatcmp.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	islsat 37453	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
11	1, 10	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
12		eldifsn 4747	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)))
13		lsatcmp.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
14	7, 8, 4, 13	lsatn0 37461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ {(0g‘𝑊)})
15	14	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ≠ {(0g‘𝑊)})
16	2	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LVec)
17		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
18	17, 8, 4, 13	lsatlssel 37459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	18	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
20		simplrl 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
21		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
22	5, 7, 17, 6	lspsnat 20606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g‘𝑊)}))
23	16, 19, 20, 21, 22	syl31anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g‘𝑊)}))
24	23	ord 862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = {(0g‘𝑊)}))
25	24	necon1ad 2960	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 ≠ {(0g‘𝑊)} → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
26	15, 25	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
27	26	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
28		eqimss 4000	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
29	27, 28	impbid1 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
30	29	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
31	12, 30	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
32		sseq2 3970	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
33		eqeq2 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 = 𝑈 ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
34	32, 33	bibi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈) ↔ (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
35	34	biimprcd 249	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈)))
36	31, 35	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))))
37	36	rexlimdv 3150	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈)))
38	11, 37	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  {csn 4586  ‘cfv 6496  Basecbs 17083  0_gc0g 17321  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432  LVecclvec 20563  LSAtomsclsa 37436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564  df-lsatoms 37438

This theorem is referenced by:  lsatcmp2  37466  lsatel  37467  lsatnem0  37507  dvh2dimatN  39903