Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcmp 39004
Description: If two atoms are comparable, they are equal. (atsseq 32366 analog.) TODO: can lspsncmp 21118 shorten this? (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcmp.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcmp.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcmp.t (𝜑𝑇𝐴)
lsatcmp.u (𝜑𝑈𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcmp (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lsatcmp
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcmp.u . . 3 (𝜑𝑈𝐴)
2 lsatcmp.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 21105 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6 eqid 2737 . . . . 5 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
7 eqid 2737 . . . . 5 (0g𝑊) = (0g𝑊)
8 lsatcmp.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
95, 6, 7, 8islsat 38992 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
104, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
111, 10mpbid 232 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
12 eldifsn 4786 . . . . 5 (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊)))
13 lsatcmp.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇𝐴)
147, 8, 4, 13lsatn0 39000 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ≠ {(0g𝑊)})
1514ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ≠ {(0g𝑊)})
162ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LVec)
17 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
1817, 8, 4, 13lsatlssel 38998 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1918ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
20 simplrl 777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
21 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
225, 7, 17, 6lspsnat 21147 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g𝑊)}))
2316, 19, 20, 21, 22syl31anc 1375 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0g𝑊)}))
2423ord 865 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = {(0g𝑊)}))
2524necon1ad 2957 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑇 ≠ {(0g𝑊)} → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
2615, 25mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) ∧ 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
2726ex 412 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
28 eqimss 4042 . . . . . . 7 (𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
2927, 28impbid1 225 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊))) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
3029ex 412 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (0g𝑊)) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
3112, 30biimtrid 242 . . . 4 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) → (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
32 sseq2 4010 . . . . . 6 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
33 eqeq2 2749 . . . . . 6 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 = 𝑈𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
3432, 33bibi12d 345 . . . . 5 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇𝑈𝑇 = 𝑈) ↔ (𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
3534biimprcd 250 . . . 4 ((𝑇 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈)))
3631, 35syl6 35 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))))
3736rexlimdv 3153 . 2 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈)))
3811, 37mpd 15 1 (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626  cfv 6561  Basecbs 17247  0gc0g 17484  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101  LSAtomsclsa 38975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977
This theorem is referenced by:  lsatcmp2  39005  lsatel  39006  lsatnem0  39046  dvh2dimatN  41442
  Copyright terms: Public domain W3C validator