Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcmp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsatcmp 38176
Description: If two atoms are comparable, they are equal. (atsseq 31855 analog.) TODO: can lspsncmp 20874 shorten this? (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcmp.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcmp.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcmp.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
lsatcmp.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcmp (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ))
Proof of Theorem lsatcmp
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcmp.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
2 lsatcmp.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 lveclmod 20861 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
6 eqid 2732 . . . . 5 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
7 eqid 2732 . . . . 5 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
8 lsatcmp.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
95, 6, 7, 8islsat 38164 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
104, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
111, 10mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
12 eldifsn 4790 . . . . 5 (𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ↔ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)))
13 lsatcmp.t . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
147, 8, 4, 13lsatn0 38172 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  {(0gβ€˜π‘Š)})
1514ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ 𝑇 β‰  {(0gβ€˜π‘Š)})
162ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
17 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
1817, 8, 4, 13lsatlssel 38170 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
20 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
21 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
225, 7, 17, 6lspsnat 20903 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0gβ€˜π‘Š)}))
2316, 19, 20, 21, 22syl31anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ∨ 𝑇 = {(0gβ€˜π‘Š)}))
2423ord 862 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (Β¬ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ 𝑇 = {(0gβ€˜π‘Š)}))
2524necon1ad 2957 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (𝑇 β‰  {(0gβ€˜π‘Š)} β†’ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
2615, 25mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
2726ex 413 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
28 eqimss 4040 . . . . . . 7 (𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
2927, 28impbid1 224 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
3029ex 413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))))
3112, 30biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ (𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))))
32 sseq2 4008 . . . . . 6 (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
33 eqeq2 2744 . . . . . 6 (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (𝑇 = π‘ˆ ↔ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
3432, 33bibi12d 345 . . . . 5 (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ ((𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ) ↔ (𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))))
3534biimprcd 249 . . . 4 ((𝑇 βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) ↔ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ)))
3631, 35syl6 35 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ))))
3736rexlimdv 3153 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ)))
3811, 37mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β€˜cfv 6543  Basecbs 17148  0gc0g 17389  LModclmod 20614  LSubSpclss 20686  LSpanclspn 20726  LVecclvec 20857  LSAtomsclsa 38147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lsatoms 38149
This theorem is referenced by:  lsatcmp2  38177  lsatel  38178  lsatnem0  38218  dvh2dimatN  40614
  Copyright terms: Public domain W3C validator