Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  l1cvpat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem l1cvpat 37519
Description: A subspace covered by the set of all vectors, when summed with an atom not under it, equals the set of all vectors. (1cvrjat 37941 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
l1cvpat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
l1cvpat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
l1cvpat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
l1cvpat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
l1cvpat.c 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
l1cvpat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
l1cvpat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
l1cvpat.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
l1cvpat.l (πœ‘ β†’ π‘ˆπΆπ‘‰)
l1cvpat.m (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
l1cvpat (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = 𝑉)

Proof of Theorem l1cvpat
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 l1cvpat.q . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
2 l1cvpat.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 l1cvpat.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 eqid 2737 . . . . 5 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
5 eqid 2737 . . . . 5 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
6 l1cvpat.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6islsat 37456 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
82, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
91, 8mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
10 l1cvpat.m . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
11 eldifi 4087 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
12 l1cvpat.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
13 lveclmod 20570 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
142, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
15143ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 l1cvpat.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
17163ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
18 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
193, 12, 4, 15, 17, 18lspsnel5 20459 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (𝑣 ∈ π‘ˆ ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) βŠ† π‘ˆ))
2019notbid 318 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (Β¬ 𝑣 ∈ π‘ˆ ↔ Β¬ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) βŠ† π‘ˆ))
21 l1cvpat.p . . . . . . . . 9 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
22 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (LSHypβ€˜π‘Š) = (LSHypβ€˜π‘Š)
2323ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
24 l1cvpat.l . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆπΆπ‘‰)
25 l1cvpat.c . . . . . . . . . . . 12 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
263, 12, 22, 25, 2islshpcv 37518 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆπΆπ‘‰)))
2716, 24, 26mpbir2and 712 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
28273ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ π‘ˆ ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
293, 4, 21, 22, 23, 28, 18lshpnelb 37449 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (Β¬ 𝑣 ∈ π‘ˆ ↔ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
3029biimpd 228 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (Β¬ 𝑣 ∈ π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
3120, 30sylbird 260 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (Β¬ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
32 sseq1 3970 . . . . . . . . 9 (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (𝑄 βŠ† π‘ˆ ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) βŠ† π‘ˆ))
3332notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ↔ Β¬ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) βŠ† π‘ˆ))
34 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
3534eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑄) = 𝑉 ↔ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
3633, 35imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ ((Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = 𝑉) ↔ (Β¬ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
37363ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ ((Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = 𝑉) ↔ (Β¬ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
3831, 37mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = 𝑉))
39383exp 1120 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = 𝑉))))
4011, 39syl5 34 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = 𝑉))))
4140rexlimdv 3151 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = 𝑉)))
429, 10, 41mp2d 49 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  {csn 4587   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  0gc0g 17322  LSSumclsm 19417  LModclmod 20325  LSubSpclss 20395  LSpanclspn 20435  LVecclvec 20566  LSAtomsclsa 37439  LSHypclsh 37440   β‹–L clcv 37483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-submnd 18603  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-subg 18926  df-cntz 19098  df-lsm 19419  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-drng 20188  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lsp 20436  df-lvec 20567  df-lsatoms 37441  df-lshyp 37442  df-lcv 37484
This theorem is referenced by:  l1cvat  37520
  Copyright terms: Public domain W3C validator