Theorem l1cvpat 39930

Description: A subspace covered by the set of all vectors, when summed with an atom not under it, equals the set of all vectors. (1cvrjat 40351 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
l1cvpat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
l1cvpat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
l1cvpat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
l1cvpat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
l1cvpat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
l1cvpat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
l1cvpat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
l1cvpat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
l1cvpat.l	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶𝑉)
l1cvpat.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
l1cvpat	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉)

Proof of Theorem l1cvpat

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		l1cvpat.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
2		l1cvpat.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		l1cvpat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
6		l1cvpat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	islsat 39867	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
8	2, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
9	1, 8	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10		l1cvpat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
11		eldifi 4078	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑣 ∈ 𝑉)
12		l1cvpat.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
13		lveclmod 21293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
14	2, 13	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
15	14	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LMod)
16		l1cvpat.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
17	16	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑈 ∈ 𝑆)
18		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑣 ∈ 𝑉)
19	3, 12, 4, 15, 17, 18	ellspsn5b 21182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑣 ∈ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
20	19	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑣 ∈ 𝑈 ↔ ¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
21		l1cvpat.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
22		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSHyp‘𝑊) = (LSHyp‘𝑊)
23	2	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LVec)
24		l1cvpat.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶𝑉)
25		l1cvpat.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
26	3, 12, 22, 25, 2	islshpcv 39929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (LSHyp‘𝑊) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))
27	16, 24, 26	mpbir2and 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSHyp‘𝑊))
28	27	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑈 ∈ (LSHyp‘𝑊))
29	3, 4, 21, 22, 23, 28, 18	lshpnelb 39860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑣 ∈ 𝑈 ↔ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
30	29	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑣 ∈ 𝑈 → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
31	20, 30	sylbird 263	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
32		sseq1 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
33	32	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ ¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
34		oveq2 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ⊕ 𝑄) = (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
35	34	eqeq1d 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉 ↔ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
36	33, 35	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉) ↔ (¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
37	36	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → ((¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉) ↔ (¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
38	31, 37	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉))
39	38	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉))))
40	11, 39	syl5 35	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉))))
41	40	rexlimdv 3161	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉)))
42	9, 10, 41	mp2d 50	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  0_gc0g 17527  LSSumclsm 19764  LModclmod 21047  LSubSpclss 21118  LSpanclspn 21158  LVecclvec 21289  LSAtomsclsa 39850  LSHypclsh 39851   ⋖_L clcv 39894

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-subg 19249  df-cntz 19447  df-lsm 19766  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532  df-drng 20895  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-lsp 21159  df-lvec 21290  df-lsatoms 39852  df-lshyp 39853  df-lcv 39895

This theorem is used by:  l1cvat  39931