Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  l1cvpat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem l1cvpat 37483
Description: A subspace covered by the set of all vectors, when summed with an atom not under it, equals the set of all vectors. (1cvrjat 37905 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
l1cvpat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
l1cvpat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
l1cvpat.p = (LSSum‘𝑊)
l1cvpat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
l1cvpat.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
l1cvpat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
l1cvpat.u (𝜑𝑈𝑆)
l1cvpat.q (𝜑𝑄𝐴)
l1cvpat.l (𝜑𝑈𝐶𝑉)
l1cvpat.m (𝜑 → ¬ 𝑄𝑈)
Assertion
Ref Expression
l1cvpat (𝜑 → (𝑈 𝑄) = 𝑉)

Proof of Theorem l1cvpat
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 l1cvpat.q . . 3 (𝜑𝑄𝐴)
2 l1cvpat.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 l1cvpat.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 eqid 2736 . . . . 5 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5 eqid 2736 . . . . 5 (0g𝑊) = (0g𝑊)
6 l1cvpat.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
73, 4, 5, 6islsat 37420 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
82, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
91, 8mpbid 231 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10 l1cvpat.m . 2 (𝜑 → ¬ 𝑄𝑈)
11 eldifi 4084 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) → 𝑣𝑉)
12 l1cvpat.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
13 lveclmod 20552 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
142, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
15143ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LMod)
16 l1cvpat.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑆)
17163ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑈𝑆)
18 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑣𝑉)
193, 12, 4, 15, 17, 18lspsnel5 20441 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑣𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
2019notbid 317 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑣𝑈 ↔ ¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
21 l1cvpat.p . . . . . . . . 9 = (LSSum‘𝑊)
22 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (LSHyp‘𝑊) = (LSHyp‘𝑊)
2323ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LVec)
24 l1cvpat.l . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐶𝑉)
25 l1cvpat.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
263, 12, 22, 25, 2islshpcv 37482 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 ∈ (LSHyp‘𝑊) ↔ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)))
2716, 24, 26mpbir2and 711 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ (LSHyp‘𝑊))
28273ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑈 ∈ (LSHyp‘𝑊))
293, 4, 21, 22, 23, 28, 18lshpnelb 37413 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑣𝑈 ↔ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
3029biimpd 228 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑣𝑈 → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
3120, 30sylbird 259 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈 → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
32 sseq1 3967 . . . . . . . . 9 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑄𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
3332notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄𝑈 ↔ ¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
34 oveq2 7361 . . . . . . . . 9 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 𝑄) = (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
3534eqeq1d 2738 . . . . . . . 8 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑈 𝑄) = 𝑉 ↔ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
3633, 35imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((¬ 𝑄𝑈 → (𝑈 𝑄) = 𝑉) ↔ (¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈 → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
37363ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → ((¬ 𝑄𝑈 → (𝑈 𝑄) = 𝑉) ↔ (¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈 → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
3831, 37mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑄𝑈 → (𝑈 𝑄) = 𝑉))
39383exp 1119 . . . 4 (𝜑 → (𝑣𝑉 → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄𝑈 → (𝑈 𝑄) = 𝑉))))
4011, 39syl5 34 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄𝑈 → (𝑈 𝑄) = 𝑉))))
4140rexlimdv 3148 . 2 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄𝑈 → (𝑈 𝑄) = 𝑉)))
429, 10, 41mp2d 49 1 (𝜑 → (𝑈 𝑄) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071  cdif 3905  wss 3908  {csn 4584   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7353  Basecbs 17075  0gc0g 17313  LSSumclsm 19407  LModclmod 20307  LSubSpclss 20377  LSpanclspn 20417  LVecclvec 20548  LSAtomsclsa 37403  LSHypclsh 37404  L clcv 37447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-tpos 8153  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-0g 17315  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-grp 18743  df-minusg 18744  df-sbg 18745  df-subg 18916  df-cntz 19088  df-lsm 19409  df-cmn 19555  df-abl 19556  df-mgp 19888  df-ur 19905  df-ring 19952  df-oppr 20034  df-dvdsr 20055  df-unit 20056  df-invr 20086  df-drng 20172  df-lmod 20309  df-lss 20378  df-lsp 20418  df-lvec 20549  df-lsatoms 37405  df-lshyp 37406  df-lcv 37448
This theorem is referenced by:  l1cvat  37484
  Copyright terms: Public domain W3C validator