Theorem l1cvpat 39555

Description: A subspace covered by the set of all vectors, when summed with an atom not under it, equals the set of all vectors. (1cvrjat 39976 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
l1cvpat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
l1cvpat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
l1cvpat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
l1cvpat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
l1cvpat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
l1cvpat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
l1cvpat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
l1cvpat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
l1cvpat.l	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶𝑉)
l1cvpat.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
l1cvpat	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉)

Proof of Theorem l1cvpat

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		l1cvpat.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
2		l1cvpat.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		l1cvpat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
6		l1cvpat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	islsat 39492	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
8	2, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
9	1, 8	mpbid 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10		l1cvpat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
11		eldifi 4062	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑣 ∈ 𝑉)
12		l1cvpat.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
13		lveclmod 21097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
14	2, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
15	14	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LMod)
16		l1cvpat.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
17	16	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑈 ∈ 𝑆)
18		simp2 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑣 ∈ 𝑉)
19	3, 12, 4, 15, 17, 18	ellspsn5b 20986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑣 ∈ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
20	19	notbid 319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑣 ∈ 𝑈 ↔ ¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
21		l1cvpat.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
22		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSHyp‘𝑊) = (LSHyp‘𝑊)
23	2	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LVec)
24		l1cvpat.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶𝑉)
25		l1cvpat.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
26	3, 12, 22, 25, 2	islshpcv 39554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (LSHyp‘𝑊) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))
27	16, 24, 26	mpbir2and 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSHyp‘𝑊))
28	27	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑈 ∈ (LSHyp‘𝑊))
29	3, 4, 21, 22, 23, 28, 18	lshpnelb 39485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑣 ∈ 𝑈 ↔ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
30	29	biimpd 230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑣 ∈ 𝑈 → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
31	20, 30	sylbird 261	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
32		sseq1 3940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
33	32	notbid 319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ ¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
34		oveq2 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ⊕ 𝑄) = (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
35	34	eqeq1d 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉 ↔ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
36	33, 35	imbi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉) ↔ (¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
37	36	3ad2ant3 1141	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → ((¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉) ↔ (¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
38	31, 37	mpbird 258	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉))
39	38	3exp 1125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉))))
40	11, 39	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉))))
41	40	rexlimdv 3138	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉)))
42	9, 10, 41	mp2d 49	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4556   class class class wbr 5073  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Basecbs 17171  0_gc0g 17394  LSSumclsm 19601  LModclmod 20851  LSubSpclss 20922  LSpanclspn 20962  LVecclvec 21093  LSAtomsclsa 39475  LSHypclsh 39476   ⋖_L clcv 39519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-0g 17396  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18744  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-subg 19091  df-cntz 19284  df-lsm 19603  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20114  df-rng 20126  df-ur 20155  df-ring 20208  df-oppr 20309  df-dvdsr 20329  df-unit 20330  df-invr 20360  df-drng 20704  df-lmod 20853  df-lss 20923  df-lsp 20963  df-lvec 21094  df-lsatoms 39477  df-lshyp 39478  df-lcv 39520

This theorem is referenced by:  l1cvat  39556