Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  l1cvpat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem l1cvpat 38558
Description: A subspace covered by the set of all vectors, when summed with an atom not under it, equals the set of all vectors. (1cvrjat 38980 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
l1cvpat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
l1cvpat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
l1cvpat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
l1cvpat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
l1cvpat.c 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
l1cvpat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
l1cvpat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
l1cvpat.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
l1cvpat.l (πœ‘ β†’ π‘ˆπΆπ‘‰)
l1cvpat.m (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
l1cvpat (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = 𝑉)

Proof of Theorem l1cvpat
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 l1cvpat.q . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
2 l1cvpat.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 l1cvpat.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 eqid 2728 . . . . 5 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
5 eqid 2728 . . . . 5 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
6 l1cvpat.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6islsat 38495 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
82, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
91, 8mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
10 l1cvpat.m . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
11 eldifi 4127 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
12 l1cvpat.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
13 lveclmod 20998 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
142, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
15143ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 l1cvpat.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
17163ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
18 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
193, 12, 4, 15, 17, 18lspsnel5 20886 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (𝑣 ∈ π‘ˆ ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) βŠ† π‘ˆ))
2019notbid 317 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (Β¬ 𝑣 ∈ π‘ˆ ↔ Β¬ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) βŠ† π‘ˆ))
21 l1cvpat.p . . . . . . . . 9 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
22 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (LSHypβ€˜π‘Š) = (LSHypβ€˜π‘Š)
2323ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
24 l1cvpat.l . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆπΆπ‘‰)
25 l1cvpat.c . . . . . . . . . . . 12 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
263, 12, 22, 25, 2islshpcv 38557 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ (LSHypβ€˜π‘Š) ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆπΆπ‘‰)))
2716, 24, 26mpbir2and 711 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
28273ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ π‘ˆ ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
293, 4, 21, 22, 23, 28, 18lshpnelb 38488 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (Β¬ 𝑣 ∈ π‘ˆ ↔ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
3029biimpd 228 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (Β¬ 𝑣 ∈ π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
3120, 30sylbird 259 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (Β¬ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
32 sseq1 4007 . . . . . . . . 9 (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (𝑄 βŠ† π‘ˆ ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) βŠ† π‘ˆ))
3332notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ↔ Β¬ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) βŠ† π‘ˆ))
34 oveq2 7434 . . . . . . . . 9 (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
3534eqeq1d 2730 . . . . . . . 8 (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑄) = 𝑉 ↔ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉))
3633, 35imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ ((Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = 𝑉) ↔ (Β¬ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
37363ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ ((Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = 𝑉) ↔ (Β¬ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
3831, 37mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = 𝑉))
39383exp 1116 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = 𝑉))))
4011, 39syl5 34 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = 𝑉))))
4140rexlimdv 3150 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = 𝑉)))
429, 10, 41mp2d 49 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4632   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  0gc0g 17428  LSSumclsm 19596  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822  LSpanclspn 20862  LVecclvec 20994  LSAtomsclsa 38478  LSHypclsh 38479   β‹–L clcv 38522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995  df-lsatoms 38480  df-lshyp 38481  df-lcv 38523
This theorem is referenced by:  l1cvat  38559
  Copyright terms: Public domain W3C validator