Theorem dihlatat 41619

Description: The reverse isomorphism H of a 1-dim subspace is an atom. (Contributed by NM, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihlatat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihlatat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihlatat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihlatat.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihlatat.l	⊢ 𝐿 = (LSAtoms‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dihlatat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐿) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem dihlatat

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihlatat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dihlatat.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlvec 41391	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
8		dihlatat.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSAtoms‘𝑈)
9	5, 6, 7, 8	islsat 39273	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → (𝑄 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
11	10	biimpa 476	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐿) → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
12		eldifsn 4742	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)))
13		dihlatat.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14		dihlatat.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
15	13, 1, 2, 5, 7, 6, 14	dihlspsnat 41615	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴)
16	15	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈))) → (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴)
17	12, 16	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})) → (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴)
18		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (◡𝐼‘𝑄) = (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
19	18	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → ((◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴 ↔ (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴))
20	17, 19	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴))
21	20	rexlimdva 3137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴))
22	21	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐿) → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴))
23	11, 22	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐿) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3898  {csn 4580  ^◡ccnv 5623  ‘cfv 6492  Basecbs 17138  0_gc0g 17361  LSpanclspn 20924  LVecclvec 21056  LSAtomsclsa 39256  Atomscatm 39545  HLchlt 39632  LHypclh 40266  DVecHcdvh 41360  DIsoHcdih 41510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-riotaBAD 39235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-undef 8215  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-0g 17363  df-proset 18219  df-poset 18238  df-plt 18253  df-lub 18269  df-glb 18270  df-join 18271  df-meet 18272  df-p0 18348  df-p1 18349  df-lat 18357  df-clat 18424  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cntz 19248  df-lsm 19567  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-drng 20666  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-lvec 21057  df-lsatoms 39258  df-oposet 39458  df-ol 39460  df-oml 39461  df-covers 39548  df-ats 39549  df-atl 39580  df-cvlat 39604  df-hlat 39633  df-llines 39780  df-lplanes 39781  df-lvols 39782  df-lines 39783  df-psubsp 39785  df-pmap 39786  df-padd 40078  df-lhyp 40270  df-laut 40271  df-ldil 40386  df-ltrn 40387  df-trl 40441  df-tendo 41037  df-edring 41039  df-disoa 41311  df-dvech 41361  df-dib 41421  df-dic 41455  df-dih 41511

This theorem is referenced by:  dihatexv  41620  dihjat4  41715  dvh4dimat  41720