Theorem dihlatat 39351

Description: The reverse isomorphism H of a 1-dim subspace is an atom. (Contributed by NM, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihlatat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihlatat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihlatat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihlatat.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihlatat.l	⊢ 𝐿 = (LSAtoms‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dihlatat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐿) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem dihlatat

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihlatat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dihlatat.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlvec 39123	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
7		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
8		dihlatat.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSAtoms‘𝑈)
9	5, 6, 7, 8	islsat 37005	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → (𝑄 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
11	10	biimpa 477	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐿) → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
12		eldifsn 4720	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)))
13		dihlatat.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14		dihlatat.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
15	13, 1, 2, 5, 7, 6, 14	dihlspsnat 39347	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴)
16	15	3expb 1119	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈))) → (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴)
17	12, 16	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})) → (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴)
18		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (◡𝐼‘𝑄) = (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
19	18	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → ((◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴 ↔ (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴))
20	17, 19	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴))
21	20	rexlimdva 3213	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴))
22	21	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐿) → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴))
23	11, 22	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐿) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3884  {csn 4561  ^◡ccnv 5588  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  LSpanclspn 20233  LVecclvec 20364  LSAtomsclsa 36988  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  LHypclh 37998  DVecHcdvh 39092  DIsoHcdih 39242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153  df-dic 39187  df-dih 39243

This theorem is referenced by:  dihatexv  39352  dihjat4  39447  dvh4dimat  39452