Theorem dihlatat 40674

Description: The reverse isomorphism H of a 1-dim subspace is an atom. (Contributed by NM, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihlatat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihlatat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihlatat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihlatat.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihlatat.l	⊢ 𝐿 = (LSAtoms‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dihlatat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐿) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem dihlatat

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihlatat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dihlatat.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlvec 40446	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
5		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
7		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
8		dihlatat.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSAtoms‘𝑈)
9	5, 6, 7, 8	islsat 38327	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → (𝑄 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
11	10	biimpa 476	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐿) → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
12		eldifsn 4790	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)))
13		dihlatat.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14		dihlatat.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
15	13, 1, 2, 5, 7, 6, 14	dihlspsnat 40670	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴)
16	15	3expb 1119	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈))) → (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴)
17	12, 16	sylan2b 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})) → (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴)
18		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (◡𝐼‘𝑄) = (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
19	18	eleq1d 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → ((◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴 ↔ (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴))
20	17, 19	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴))
21	20	rexlimdva 3154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴))
22	21	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐿) → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴))
23	11, 22	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐿) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   ∖ cdif 3945  {csn 4628  ^◡ccnv 5675  ‘cfv 6543  Basecbs 17151  0_gc0g 17392  LSpanclspn 20814  LVecclvec 20946  LSAtomsclsa 38310  Atomscatm 38599  HLchlt 38686  LHypclh 39321  DVecHcdvh 40415  DIsoHcdih 40565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-riotaBAD 38289

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-undef 8264  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20947  df-lsatoms 38312  df-oposet 38512  df-ol 38514  df-oml 38515  df-covers 38602  df-ats 38603  df-atl 38634  df-cvlat 38658  df-hlat 38687  df-llines 38835  df-lplanes 38836  df-lvols 38837  df-lines 38838  df-psubsp 38840  df-pmap 38841  df-padd 39133  df-lhyp 39325  df-laut 39326  df-ldil 39441  df-ltrn 39442  df-trl 39496  df-tendo 40092  df-edring 40094  df-disoa 40366  df-dvech 40416  df-dib 40476  df-dic 40510  df-dih 40566

This theorem is referenced by:  dihatexv  40675  dihjat4  40770  dvh4dimat  40775