Theorem dihlatat 41717

Description: The reverse isomorphism H of a 1-dim subspace is an atom. (Contributed by NM, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihlatat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihlatat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihlatat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihlatat.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihlatat.l	⊢ 𝐿 = (LSAtoms‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dihlatat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐿) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem dihlatat

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihlatat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dihlatat.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlvec 41489	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
8		dihlatat.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSAtoms‘𝑈)
9	5, 6, 7, 8	islsat 39371	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → (𝑄 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
11	10	biimpa 476	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐿) → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
12		eldifsn 4744	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)))
13		dihlatat.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14		dihlatat.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
15	13, 1, 2, 5, 7, 6, 14	dihlspsnat 41713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴)
16	15	3expb 1121	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈))) → (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴)
17	12, 16	sylan2b 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})) → (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴)
18		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (◡𝐼‘𝑄) = (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
19	18	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → ((◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴 ↔ (◡𝐼‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝐴))
20	17, 19	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴))
21	20	rexlimdva 3139	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴))
22	21	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐿) → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ {(0g‘𝑈)})𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴))
23	11, 22	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐿) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3900  {csn 4582  ^◡ccnv 5631  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  0_gc0g 17371  LSpanclspn 20937  LVecclvec 21069  LSAtomsclsa 39354  Atomscatm 39643  HLchlt 39730  LHypclh 40364  DVecHcdvh 41458  DIsoHcdih 41608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39333

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-undef 8225  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-0g 17373  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18881  df-minusg 18882  df-sbg 18883  df-subg 19068  df-cntz 19261  df-lsm 19580  df-cmn 19726  df-abl 19727  df-mgp 20091  df-rng 20103  df-ur 20132  df-ring 20185  df-oppr 20288  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-drng 20679  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-lsp 20938  df-lvec 21070  df-lsatoms 39356  df-oposet 39556  df-ol 39558  df-oml 39559  df-covers 39646  df-ats 39647  df-atl 39678  df-cvlat 39702  df-hlat 39731  df-llines 39878  df-lplanes 39879  df-lvols 39880  df-lines 39881  df-psubsp 39883  df-pmap 39884  df-padd 40176  df-lhyp 40368  df-laut 40369  df-ldil 40484  df-ltrn 40485  df-trl 40539  df-tendo 41135  df-edring 41137  df-disoa 41409  df-dvech 41459  df-dib 41519  df-dic 41553  df-dih 41609

This theorem is referenced by:  dihatexv  41718  dihjat4  41813  dvh4dimat  41818