Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dih1dimatlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dih1dimatlem 39842
Description: Lemma for dih1dimat 39843. (Contributed by NM, 10-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1dimat.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dih1dimat.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimat.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
dih1dimat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dih1dimat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dih1dimat.c 𝐢 = (Atomsβ€˜πΎ)
dih1dimat.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimat.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimat.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimat.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimat.o 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
dih1dimat.d 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
dih1dimat.j 𝐽 = (invrβ€˜πΉ)
dih1dimat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dih1dimat.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
dih1dimat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
dih1dimat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
dih1dimat.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
dih1dimat.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
dih1dimatlem (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐼)
Distinct variable groups:   ≀ ,β„Ž   𝐡,β„Ž   𝑓,𝑠,𝐸   𝐢,β„Ž   β„Ž,𝐽   𝑓,𝑁,𝑠   𝑓,β„Ž,𝐾,𝑠   𝑇,𝑓,β„Ž,𝑠   π‘ˆ,𝑓,β„Ž,𝑠   𝑓,𝐻,β„Ž,𝑠   𝑓,𝑉,𝑠   𝑓,π‘Š,β„Ž,𝑠   𝑓,𝐼,𝑠   𝑃,β„Ž
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝐡(𝑓,𝑠)   𝐢(𝑓,𝑠)   𝐷(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝑃(𝑓,𝑠)   𝑅(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝑆(𝑓,β„Ž,𝑠)   Β· (𝑓,β„Ž,𝑠)   𝐸(β„Ž)   𝐹(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝐺(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝐼(β„Ž)   𝐽(𝑓,𝑠)   ≀ (𝑓,𝑠)   𝑁(β„Ž)   𝑂(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝑉(β„Ž)   0 (𝑓,β„Ž,𝑠)

Proof of Theorem dih1dimatlem
Dummy variables 𝑣 𝑔 𝑖 𝑝 π‘Ÿ 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dih1dimat.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dih1dimat.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 id 22 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3dvhlvec 39622 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
5 dih1dimat.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
6 dih1dimat.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
7 dih1dimat.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
8 dih1dimat.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
95, 6, 7, 8islsat 37503 . . . 4 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ (𝐷 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐷 = (π‘β€˜{𝑣})))
104, 9syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐷 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐷 = (π‘β€˜{𝑣})))
1110biimpa 478 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐷 = (π‘β€˜{𝑣}))
12 eldifi 4090 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
13 dih1dimat.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 dih1dimat.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
151, 13, 14, 2, 5dvhvbase 39600 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑉 = (𝑇 Γ— 𝐸))
1615eleq2d 2820 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↔ 𝑣 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸)))
1712, 16imbitrid 243 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑣 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸)))
1817imp 408 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑣 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
19 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) β†’ 𝑠 = 𝑂)
2019opeq2d 4841 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© = βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©)
2120sneqd 4602 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) β†’ {βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©} = {βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©})
2221fveq2d 6850 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©}))
23 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
24 dih1dimat.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
25 dih1dimat.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
2624, 1, 13, 25trlcl 38677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ∈ 𝐡)
27 dih1dimat.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2827, 1, 13, 25trlle 38697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š)
29 dih1dimat.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
30 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3124, 27, 1, 29, 30dihvalb 39750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜π‘“)) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘…β€˜π‘“)))
3223, 26, 28, 31syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜π‘“)) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘…β€˜π‘“)))
33 dih1dimat.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
3424, 1, 13, 25, 33, 2, 30, 6dib1dim2 39681 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘…β€˜π‘“)) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©}))
3532, 34eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©}) = (πΌβ€˜(π‘…β€˜π‘“)))
36 dih1dimat.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
3724, 1, 29, 2, 36dihf11 39780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼:𝐡–1-1→𝑆)
3837adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝐼:𝐡–1-1→𝑆)
39 f1fn 6743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼:𝐡–1-1→𝑆 β†’ 𝐼 Fn 𝐡)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝐼 Fn 𝐡)
41 fnfvelrn 7035 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 Fn 𝐡 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜π‘“)) ∈ ran 𝐼)
4240, 26, 41syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜π‘“)) ∈ ran 𝐼)
4335, 42eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©}) ∈ ran 𝐼)
4443adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©}) ∈ ran 𝐼)
4544adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©}) ∈ ran 𝐼)
4622, 45eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) ∈ ran 𝐼)
47 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
48 dih1dimat.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
49 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
501, 14, 2, 48, 49dvhbase 39596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜πΉ) = 𝐸)
5147, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (Baseβ€˜πΉ) = 𝐸)
5251rexeqdv 3313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜πΉ)𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©)))
53 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
54 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ 𝑑 ∈ 𝐸)
55 opelxpi 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
5655ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
57 dih1dimat.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
581, 13, 14, 2, 57dvhvscacl 39616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
5953, 54, 56, 58syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
60 eleq1a 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) β†’ 𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸)))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) β†’ 𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸)))
6261rexlimdva 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) β†’ 𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸)))
6362pm4.71rd 564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) ↔ (𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©))))
64 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
66 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
6766adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
681, 13, 14, 2, 57dvhopvsca 39615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩)
6953, 54, 65, 67, 68syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩)
7069eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) ↔ 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩))
7170rexbidva 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩))
7271anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©)) ↔ (𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩)))
7352, 63, 723bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜πΉ)𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) ↔ (𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩)))
7473abbidv 2802 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ {𝑒 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜πΉ)𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©)} = {𝑒 ∣ (𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩)})
75 df-rab 3407 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩} = {𝑒 ∣ (𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩)}
7674, 75eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ {𝑒 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜πΉ)𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©)} = {𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩})
77 ssrab2 4041 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩} βŠ† (𝑇 Γ— 𝐸)
78 relxp 5655 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel (𝑇 Γ— 𝐸)
79 relss 5741 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩} βŠ† (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (Rel (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ Rel {𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩}))
8077, 78, 79mp2 9 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel {𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩}
81 relopabv 5781 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel {βŸ¨π‘”, π‘ŸβŸ© ∣ (𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸)}
82 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖 ∈ V
83 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑝 ∈ V
84 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = 𝑖 β†’ (𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ↔ 𝑖 = (π‘Ÿβ€˜πΊ)))
8584anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = 𝑖 β†’ ((𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸) ↔ (𝑖 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸)))
86 fveq1 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ÿ = 𝑝 β†’ (π‘Ÿβ€˜πΊ) = (π‘β€˜πΊ))
8786eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ = 𝑝 β†’ (𝑖 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ↔ 𝑖 = (π‘β€˜πΊ)))
88 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ = 𝑝 β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐸 ↔ 𝑝 ∈ 𝐸))
8987, 88anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ = 𝑝 β†’ ((𝑖 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸) ↔ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)))
9082, 83, 85, 89opelopab 5503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βŸ¨π‘–, π‘βŸ© ∈ {βŸ¨π‘”, π‘ŸβŸ© ∣ (𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸)} ↔ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
91 dih1dimat.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐢 = (Atomsβ€˜πΎ)
92 dih1dimat.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
93 dih1dimat.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐽 = (invrβ€˜πΉ)
94 dih1dimat.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ))
951, 2, 29, 8, 24, 27, 91, 92, 13, 25, 14, 33, 48, 93, 5, 57, 36, 6, 7, 94dih1dimatlem0 39841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠)))))
96953expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠)))))
97 opelxp 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βŸ¨π‘–, π‘βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ↔ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
9882, 83opth 5437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βŸ¨π‘–, π‘βŸ© = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩ ↔ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠)))
9998rexbii 3094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 βŸ¨π‘–, π‘βŸ© = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩ ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠)))
10097, 99anbi12i 628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βŸ¨π‘–, π‘βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 βŸ¨π‘–, π‘βŸ© = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))))
10196, 100bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ (βŸ¨π‘–, π‘βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 βŸ¨π‘–, π‘βŸ© = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩)))
102 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = βŸ¨π‘–, π‘βŸ© β†’ (𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩ ↔ βŸ¨π‘–, π‘βŸ© = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩))
103102rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = βŸ¨π‘–, π‘βŸ© β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩ ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 βŸ¨π‘–, π‘βŸ© = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩))
104103elrab 3649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βŸ¨π‘–, π‘βŸ© ∈ {𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩} ↔ (βŸ¨π‘–, π‘βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 βŸ¨π‘–, π‘βŸ© = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩))
105101, 104bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ βŸ¨π‘–, π‘βŸ© ∈ {𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩}))
10690, 105bitr2id 284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (βŸ¨π‘–, π‘βŸ© ∈ {𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩} ↔ βŸ¨π‘–, π‘βŸ© ∈ {βŸ¨π‘”, π‘ŸβŸ© ∣ (𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸)}))
10780, 81, 106eqrelrdv 5752 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ {𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩} = {βŸ¨π‘”, π‘ŸβŸ© ∣ (𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸)})
10876, 107eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ {𝑒 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜πΉ)𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©)} = {βŸ¨π‘”, π‘ŸβŸ© ∣ (𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸)})
1091, 2, 47dvhlmod 39623 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
1101, 13, 14, 2, 5dvhelvbasei 39601 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ 𝑉)
111110adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ 𝑉)
11248, 49, 5, 57, 6lspsn 20507 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) = {𝑒 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜πΉ)𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©)})
113109, 111, 112syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) = {𝑒 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜πΉ)𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©)})
114 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝑠 β‰  𝑂)
11524, 1, 13, 14, 33, 2, 48, 93tendoinvcl 39617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((π½β€˜π‘ ) ∈ 𝐸 ∧ (π½β€˜π‘ ) β‰  𝑂))
116115simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (π½β€˜π‘ ) ∈ 𝐸)
11747, 66, 114, 116syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (π½β€˜π‘ ) ∈ 𝐸)
1181, 13, 14tendocl 39280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π½β€˜π‘ ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ ((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
11947, 117, 64, 118syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
12027, 91, 1, 92lhpocnel2 38532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑃 ∈ 𝐢 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
12147, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (𝑃 ∈ 𝐢 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
12227, 91, 1, 13ltrnel 38652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐢 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐢 ∧ Β¬ (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
12347, 119, 121, 122syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐢 ∧ Β¬ (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
124 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12527, 91, 1, 124, 29dihvalcqat 39752 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐢 ∧ Β¬ (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)) = (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)))
12647, 123, 125syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (πΌβ€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)) = (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)))
12727, 91, 1, 92, 13, 14, 124, 94dicval2 39692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐢 ∧ Β¬ (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)) = {βŸ¨π‘”, π‘ŸβŸ© ∣ (𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸)})
12847, 123, 127syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)) = {βŸ¨π‘”, π‘ŸβŸ© ∣ (𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸)})
129126, 128eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (πΌβ€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)) = {βŸ¨π‘”, π‘ŸβŸ© ∣ (𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸)})
130108, 113, 1293eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) = (πΌβ€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)))
13124, 1, 29dihfn 39781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼 Fn 𝐡)
132131adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ 𝐼 Fn 𝐡)
133132adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝐼 Fn 𝐡)
134 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝐾 ∈ HL)
135 hlop 37874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝐾 ∈ OP)
13724, 1lhpbase 38511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
138137ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
139 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
14024, 139opoccl 37706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
141136, 138, 140syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
14292, 141eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
14324, 1, 13ltrncl 38638 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“) ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
14447, 119, 142, 143syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
145 fnfvelrn 7035 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 Fn 𝐡 ∧ (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)) ∈ ran 𝐼)
146133, 144, 145syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (πΌβ€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)) ∈ ran 𝐼)
147130, 146eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) ∈ ran 𝐼)
14846, 147pm2.61dane 3029 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) ∈ ran 𝐼)
149148ralrimivva 3194 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 βˆ€π‘  ∈ 𝐸 (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) ∈ ran 𝐼)
150 sneq 4600 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© β†’ {𝑣} = {βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©})
151150fveq2d 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© β†’ (π‘β€˜{𝑣}) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}))
152151eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑣 = βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© β†’ ((π‘β€˜{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) ∈ ran 𝐼))
153152ralxp 5801 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑇 Γ— 𝐸)(π‘β€˜{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 βˆ€π‘  ∈ 𝐸 (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) ∈ ran 𝐼)
154149, 153sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆ€π‘£ ∈ (𝑇 Γ— 𝐸)(π‘β€˜{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
155154r19.21bi 3233 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸)) β†’ (π‘β€˜{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
15618, 155syldan 592 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘β€˜{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
157 eleq1a 2829 . . . . 5 ((π‘β€˜{𝑣}) ∈ ran 𝐼 β†’ (𝐷 = (π‘β€˜{𝑣}) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐼))
158156, 157syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (𝐷 = (π‘β€˜{𝑣}) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐼))
159158rexlimdva 3149 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐷 = (π‘β€˜{𝑣}) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐼))
160159adantr 482 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐷 = (π‘β€˜{𝑣}) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐼))
16111, 160mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  {csn 4590  βŸ¨cop 4596   class class class wbr 5109  {copab 5171   ↦ cmpt 5192   I cid 5534   Γ— cxp 5635  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  Rel wrel 5642   Fn wfn 6495  β€“1-1β†’wf1 6497  β€˜cfv 6500  β„©crio 7316  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  lecple 17148  occoc 17149  0gc0g 17329  invrcinvr 20108  LModclmod 20365  LSubSpclss 20436  LSpanclspn 20476  LVecclvec 20607  LSAtomsclsa 37486  OPcops 37684  Atomscatm 37775  HLchlt 37862  LHypclh 38497  LTrncltrn 38614  trLctrl 38671  TEndoctendo 39265  DVecHcdvh 39591  DIsoBcdib 39651  DIsoCcdic 39685  DIsoHcdih 39741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-lsatoms 37488  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-disoa 39542  df-dvech 39592  df-dib 39652  df-dic 39686  df-dih 39742
This theorem is referenced by:  dih1dimat  39843
  Copyright terms: Public domain W3C validator