Theorem dih1dimatlem 41954

Description: Lemma for dih1dimat 41955. (Contributed by NM, 10-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1dimat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dimat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dih1dimat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih1dimat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dih1dimat.c	⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
dih1dimat.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dih1dimat.d	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dih1dimat.j	⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
dih1dimat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih1dimat.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
dih1dimat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dih1dimat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih1dimat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dih1dimat.g	⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dih1dimatlem	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐼)

Distinct variable groups:   ≤ ,ℎ   𝐵,ℎ   𝑓,𝑠,𝐸   𝐶,ℎ   ℎ,𝐽   𝑓,𝑁,𝑠   𝑓,ℎ,𝐾,𝑠   𝑇,𝑓,ℎ,𝑠   𝑈,𝑓,ℎ,𝑠   𝑓,𝐻,ℎ,𝑠   𝑓,𝑉,𝑠   𝑓,𝑊,ℎ,𝑠   𝑓,𝐼,𝑠   𝑃,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐵(𝑓,𝑠)   𝐶(𝑓,𝑠)   𝐷(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑃(𝑓,𝑠)   𝑅(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑆(𝑓,ℎ,𝑠)   · (𝑓,ℎ,𝑠)   𝐸(ℎ)   𝐹(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐺(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐼(ℎ)   𝐽(𝑓,𝑠)   ≤ (𝑓,𝑠)   𝑁(ℎ)   𝑂(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑉(ℎ)   0 (𝑓,ℎ,𝑠)

Proof of Theorem dih1dimatlem

Dummy variables 𝑣 𝑔 𝑖 𝑝 𝑟 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih1dimat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dih1dimat.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlvec 41734	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
5		dih1dimat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		dih1dimat.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		dih1dimat.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
8		dih1dimat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
9	5, 6, 7, 8	islsat 39616	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → (𝐷 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣})))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐷 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣})))
11	10	biimpa 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}))
12		eldifi 4085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ 𝑉)
13		dih1dimat.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		dih1dimat.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
15	1, 13, 14, 2, 5	dvhvbase 41712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 = (𝑇 × 𝐸))
16	15	eleq2d 2849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↔ 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
17	12, 16	imbitrid 246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
18	17	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸))
19		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → 𝑠 = 𝑂)
20	19	opeq2d 4839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ = ⟨𝑓, 𝑂⟩)
21	20	sneqd 4595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → {⟨𝑓, 𝑠⟩} = {⟨𝑓, 𝑂⟩})
22	21	fveq2d 6872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
23		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24		dih1dimat.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
25		dih1dimat.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
26	24, 1, 13, 25	trlcl 40789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵)
27		dih1dimat.l	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
28	27, 1, 13, 25	trlle 40809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊)
29		dih1dimat.i	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
30		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
31	24, 27, 1, 29, 30	dihvalb 41862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝑓)))
32	23, 26, 28, 31	syl12anc 847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝑓)))
33		dih1dimat.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
34	24, 1, 13, 25, 33, 2, 30, 6	dib1dim2 41793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝑓)) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
35	32, 34	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) = (𝐼‘(𝑅‘𝑓)))
36		dih1dimat.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
37	24, 1, 29, 2, 36	dihf11 41892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵–1-1→𝑆)
38	37	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝐼:𝐵–1-1→𝑆)
39		f1fn 6762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼:𝐵–1-1→𝑆 → 𝐼 Fn 𝐵)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝐼 Fn 𝐵)
41		fnfvelrn 7062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) ∈ ran 𝐼)
42	40, 26, 41	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) ∈ ran 𝐼)
43	35, 42	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
44	43	adantrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
45	44	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
46	22, 45	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
47		simpll 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
48		dih1dimat.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
49		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
50	1, 14, 2, 48, 49	dvhbase 41708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐹) = 𝐸)
51	47, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (Base‘𝐹) = 𝐸)
52	51	rexeqdv 3322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)))
53		simplll 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
54		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → 𝑡 ∈ 𝐸)
55		opelxpi 5685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
56	55	ad3antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
57		dih1dimat.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
58	1, 13, 14, 2, 57	dvhvscacl 41728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸))
59	53, 54, 56, 58	syl12anc 847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸))
60		eleq1a 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸) → (𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
62	61	rexlimdva 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
63	62	pm4.71rd 570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩))))
64		simplrl 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑓 ∈ 𝑇)
65	64	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → 𝑓 ∈ 𝑇)
66		simplrr 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑠 ∈ 𝐸)
67	66	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → 𝑠 ∈ 𝐸)
68	1, 13, 14, 2, 57	dvhopvsca 41727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)
69	53, 54, 65, 67, 68	syl13anc 1392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)
70	69	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
71	70	rexbidva 3185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
72	71	anbi2d 639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)))
73	52, 63, 72	3bitrd 307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)))
74	73	abbidv 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)})
75		df-rab 3416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)}
76	74, 75	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)} = {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩})
77		ssrab2 4034	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ⊆ (𝑇 × 𝐸)
78		relxp 5666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Rel (𝑇 × 𝐸)
79		relss 5755	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ⊆ (𝑇 × 𝐸) → (Rel (𝑇 × 𝐸) → Rel {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩}))
80	77, 78, 79	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Rel {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩}
81		relopabv 5795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Rel {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)}
82		vex 3459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑖 ∈ V
83		vex 3459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑝 ∈ V
84		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = 𝑖 → (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ↔ 𝑖 = (𝑟‘𝐺)))
85	84	anbi1d 640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = 𝑖 → ((𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸) ↔ (𝑖 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)))
86		fveq1 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (𝑟‘𝐺) = (𝑝‘𝐺))
87	86	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (𝑖 = (𝑟‘𝐺) ↔ 𝑖 = (𝑝‘𝐺)))
88		eleq1w 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (𝑟 ∈ 𝐸 ↔ 𝑝 ∈ 𝐸))
89	87, 88	anbi12d 641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → ((𝑖 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸) ↔ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)))
90	82, 83, 85, 89	opelopab 5514	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)} ↔ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
91		dih1dimat.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
92		dih1dimat.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
93		dih1dimat.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
94		dih1dimat.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
95	1, 2, 29, 8, 24, 27, 91, 92, 13, 25, 14, 33, 48, 93, 5, 57, 36, 6, 7, 94	dih1dimatlem0 41953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))
96	95	3expa 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))
97		opelxp 5684	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ↔ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
98	82, 83	opth 5445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
99	98	rexbii 3110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
100	97, 99	anbi12i 637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))))
101	96, 100	bitr4di 291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)))
102		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑝⟩ → (𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
103	102	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑝⟩ → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
104	103	elrab 3651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ↔ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
105	101, 104	bitr4di 291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩}))
106	90, 105	bitr2id 286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)}))
107	80, 81, 106	eqrelrdv 5765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
108	76, 107	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)} = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
109	1, 2, 47	dvhlmod 41735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑈 ∈ LMod)
110	1, 13, 14, 2, 5	dvhelvbasei 41713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉)
111	110	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉)
112	48, 49, 5, 57, 6	lspsn 21070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)})
113	109, 111, 112	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)})
114		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑠 ≠ 𝑂)
115	24, 1, 13, 14, 33, 2, 48, 93	tendoinvcl 41729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ≠ 𝑂))
116	115	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
117	47, 66, 114, 116	syl3anc 1391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
118	1, 13, 14	tendocl 41392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
119	47, 117, 64, 118	syl3anc 1391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
120	27, 91, 1, 92	lhpocnel2 40644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
121	47, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
122	27, 91, 1, 13	ltrnel 40764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
123	47, 119, 121, 122	syl3anc 1391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
124		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
125	27, 91, 1, 124, 29	dihvalcqat 41864	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
126	47, 123, 125	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
127	27, 91, 1, 92, 13, 14, 124, 94	dicval2 41804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
128	47, 123, 127	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
129	126, 128	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
130	108, 113, 129	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
131	24, 1, 29	dihfn 41893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn 𝐵)
132	131	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝐼 Fn 𝐵)
133	132	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐼 Fn 𝐵)
134		simplll 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐾 ∈ HL)
135		hlop 39987	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
136	134, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐾 ∈ OP)
137	24, 1	lhpbase 40623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
138	137	ad3antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ 𝐵)
139		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
140	24, 139	opoccl 39819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
141	136, 138, 140	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
142	92, 141	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑃 ∈ 𝐵)
143	24, 1, 13	ltrncl 40750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵)
144	47, 119, 142, 143	syl3anc 1391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵)
145		fnfvelrn 7062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) ∈ ran 𝐼)
146	133, 144, 145	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) ∈ ran 𝐼)
147	130, 146	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
148	46, 147	pm2.61dane 3045	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
149	148	ralrimivva 3206	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑓 ∈ 𝑇 ∀𝑠 ∈ 𝐸 (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
150		sneq 4593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → {𝑣} = {⟨𝑓, 𝑠⟩})
151	150	fveq2d 6872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}))
152	151	eleq1d 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → ((𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼))
153	152	ralxp 5814	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)(𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑇 ∀𝑠 ∈ 𝐸 (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
154	149, 153	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)(𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
155	154	r19.21bi 3255	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
156	18, 155	syldan 600	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
157		eleq1a 2858	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 → (𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
158	156, 157	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
159	158	rexlimdva 3164	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
160	159	adantr 484	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
161	11, 160	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  {cab 2741   ≠ wne 2958  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3415   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4583  ⟨cop 4589   class class class wbr 5101  {copab 5163   ↦ cmpt 5182   I cid 5542   × cxp 5646  ran crn 5649   ↾ cres 5650   ∘ ccom 5652  Rel wrel 5653   Fn wfn 6517  –1-1→wf1 6519  ‘cfv 6522  ℩crio 7353  (class class class)co 7397  Basecbs 17246  Scalarcsca 17290   ·_𝑠 cvsca 17291  lecple 17294  occoc 17295  0_gc0g 17469  inv_rcinvr 20437  LModclmod 20928  LSubSpclss 20999  LSpanclspn 21039  LVecclvec 21170  LSAtomsclsa 39599  OPcops 39797  Atomscatm 39888  HLchlt 39975  LHypclh 40609  LTrncltrn 40726  trLctrl 40783  TEndoctendo 41377  DVecHcdvh 41703  DIsoBcdib 41763  DIsoCcdic 41797  DIsoHcdih 41853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-riotaBAD 39578

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-map 8811  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-fz 13514  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-0g 17471  df-proset 18327  df-poset 18346  df-plt 18361  df-lub 18377  df-glb 18378  df-join 18379  df-meet 18380  df-p0 18456  df-p1 18457  df-lat 18465  df-clat 18532  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-sbg 18981  df-subg 19166  df-cntz 19358  df-lsm 19677  df-cmn 19823  df-abl 19824  df-mgp 20188  df-rng 20200  df-ur 20233  df-ring 20286  df-oppr 20387  df-dvdsr 20407  df-unit 20408  df-invr 20438  df-dvr 20451  df-drng 20782  df-lmod 20930  df-lss 21000  df-lsp 21040  df-lvec 21171  df-lsatoms 39601  df-oposet 39801  df-ol 39803  df-oml 39804  df-covers 39891  df-ats 39892  df-atl 39923  df-cvlat 39947  df-hlat 39976  df-llines 40123  df-lplanes 40124  df-lvols 40125  df-lines 40126  df-psubsp 40128  df-pmap 40129  df-padd 40421  df-lhyp 40613  df-laut 40614  df-ldil 40729  df-ltrn 40730  df-trl 40784  df-tendo 41380  df-edring 41382  df-disoa 41654  df-dvech 41704  df-dib 41764  df-dic 41798  df-dih 41854

This theorem is referenced by:  dih1dimat  41955