Theorem dih1dimatlem 39343

Description: Lemma for dih1dimat 39344. (Contributed by NM, 10-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1dimat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dimat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dih1dimat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih1dimat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dih1dimat.c	⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
dih1dimat.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dih1dimat.d	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dih1dimat.j	⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
dih1dimat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih1dimat.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
dih1dimat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dih1dimat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih1dimat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dih1dimat.g	⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dih1dimatlem	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐼)

Distinct variable groups:   ≤ ,ℎ   𝐵,ℎ   𝑓,𝑠,𝐸   𝐶,ℎ   ℎ,𝐽   𝑓,𝑁,𝑠   𝑓,ℎ,𝐾,𝑠   𝑇,𝑓,ℎ,𝑠   𝑈,𝑓,ℎ,𝑠   𝑓,𝐻,ℎ,𝑠   𝑓,𝑉,𝑠   𝑓,𝑊,ℎ,𝑠   𝑓,𝐼,𝑠   𝑃,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐵(𝑓,𝑠)   𝐶(𝑓,𝑠)   𝐷(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑃(𝑓,𝑠)   𝑅(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑆(𝑓,ℎ,𝑠)   · (𝑓,ℎ,𝑠)   𝐸(ℎ)   𝐹(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐺(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐼(ℎ)   𝐽(𝑓,𝑠)   ≤ (𝑓,𝑠)   𝑁(ℎ)   𝑂(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑉(ℎ)   0 (𝑓,ℎ,𝑠)

Proof of Theorem dih1dimatlem

Dummy variables 𝑣 𝑔 𝑖 𝑝 𝑟 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih1dimat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dih1dimat.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlvec 39123	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
5		dih1dimat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		dih1dimat.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		dih1dimat.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
8		dih1dimat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
9	5, 6, 7, 8	islsat 37005	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → (𝐷 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣})))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐷 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣})))
11	10	biimpa 477	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}))
12		eldifi 4061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ 𝑉)
13		dih1dimat.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		dih1dimat.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
15	1, 13, 14, 2, 5	dvhvbase 39101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 = (𝑇 × 𝐸))
16	15	eleq2d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↔ 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
17	12, 16	syl5ib 243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
18	17	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸))
19		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → 𝑠 = 𝑂)
20	19	opeq2d 4811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ = ⟨𝑓, 𝑂⟩)
21	20	sneqd 4573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → {⟨𝑓, 𝑠⟩} = {⟨𝑓, 𝑂⟩})
22	21	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
23		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24		dih1dimat.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
25		dih1dimat.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
26	24, 1, 13, 25	trlcl 38178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵)
27		dih1dimat.l	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
28	27, 1, 13, 25	trlle 38198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊)
29		dih1dimat.i	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
30		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
31	24, 27, 1, 29, 30	dihvalb 39251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝑓)))
32	23, 26, 28, 31	syl12anc 834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝑓)))
33		dih1dimat.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
34	24, 1, 13, 25, 33, 2, 30, 6	dib1dim2 39182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝑓)) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
35	32, 34	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) = (𝐼‘(𝑅‘𝑓)))
36		dih1dimat.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
37	24, 1, 29, 2, 36	dihf11 39281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵–1-1→𝑆)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝐼:𝐵–1-1→𝑆)
39		f1fn 6671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼:𝐵–1-1→𝑆 → 𝐼 Fn 𝐵)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝐼 Fn 𝐵)
41		fnfvelrn 6958	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) ∈ ran 𝐼)
42	40, 26, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) ∈ ran 𝐼)
43	35, 42	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
44	43	adantrr 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
46	22, 45	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
47		simpll 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
48		dih1dimat.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
49		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
50	1, 14, 2, 48, 49	dvhbase 39097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐹) = 𝐸)
51	47, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (Base‘𝐹) = 𝐸)
52	51	rexeqdv 3349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)))
53		simplll 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
54		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → 𝑡 ∈ 𝐸)
55		opelxpi 5626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
56	55	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
57		dih1dimat.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
58	1, 13, 14, 2, 57	dvhvscacl 39117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸))
59	53, 54, 56, 58	syl12anc 834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸))
60		eleq1a 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸) → (𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
62	61	rexlimdva 3213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
63	62	pm4.71rd 563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩))))
64		simplrl 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑓 ∈ 𝑇)
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → 𝑓 ∈ 𝑇)
66		simplrr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑠 ∈ 𝐸)
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → 𝑠 ∈ 𝐸)
68	1, 13, 14, 2, 57	dvhopvsca 39116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)
69	53, 54, 65, 67, 68	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)
70	69	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
71	70	rexbidva 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
72	71	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)))
73	52, 63, 72	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)))
74	73	abbidv 2807	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)})
75		df-rab 3073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)}
76	74, 75	eqtr4di 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)} = {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩})
77		ssrab2 4013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ⊆ (𝑇 × 𝐸)
78		relxp 5607	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Rel (𝑇 × 𝐸)
79		relss 5692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ⊆ (𝑇 × 𝐸) → (Rel (𝑇 × 𝐸) → Rel {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩}))
80	77, 78, 79	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Rel {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩}
81		relopabv 5731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Rel {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)}
82		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑖 ∈ V
83		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑝 ∈ V
84		eqeq1 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = 𝑖 → (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ↔ 𝑖 = (𝑟‘𝐺)))
85	84	anbi1d 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = 𝑖 → ((𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸) ↔ (𝑖 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)))
86		fveq1 6773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (𝑟‘𝐺) = (𝑝‘𝐺))
87	86	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (𝑖 = (𝑟‘𝐺) ↔ 𝑖 = (𝑝‘𝐺)))
88		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (𝑟 ∈ 𝐸 ↔ 𝑝 ∈ 𝐸))
89	87, 88	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → ((𝑖 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸) ↔ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)))
90	82, 83, 85, 89	opelopab 5455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)} ↔ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
91		dih1dimat.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
92		dih1dimat.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
93		dih1dimat.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
94		dih1dimat.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
95	1, 2, 29, 8, 24, 27, 91, 92, 13, 25, 14, 33, 48, 93, 5, 57, 36, 6, 7, 94	dih1dimatlem0 39342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))
96	95	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))
97		opelxp 5625	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ↔ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
98	82, 83	opth 5391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
99	98	rexbii 3181	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
100	97, 99	anbi12i 627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))))
101	96, 100	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)))
102		eqeq1 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑝⟩ → (𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
103	102	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑝⟩ → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
104	103	elrab 3624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ↔ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
105	101, 104	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩}))
106	90, 105	bitr2id 284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)}))
107	80, 81, 106	eqrelrdv 5702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
108	76, 107	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)} = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
109	1, 2, 47	dvhlmod 39124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑈 ∈ LMod)
110	1, 13, 14, 2, 5	dvhelvbasei 39102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉)
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉)
112	48, 49, 5, 57, 6	lspsn 20264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)})
113	109, 111, 112	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)})
114		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑠 ≠ 𝑂)
115	24, 1, 13, 14, 33, 2, 48, 93	tendoinvcl 39118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ≠ 𝑂))
116	115	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
117	47, 66, 114, 116	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
118	1, 13, 14	tendocl 38781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
119	47, 117, 64, 118	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
120	27, 91, 1, 92	lhpocnel2 38033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
121	47, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
122	27, 91, 1, 13	ltrnel 38153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
123	47, 119, 121, 122	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
124		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
125	27, 91, 1, 124, 29	dihvalcqat 39253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
126	47, 123, 125	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
127	27, 91, 1, 92, 13, 14, 124, 94	dicval2 39193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
128	47, 123, 127	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
129	126, 128	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
130	108, 113, 129	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
131	24, 1, 29	dihfn 39282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn 𝐵)
132	131	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝐼 Fn 𝐵)
133	132	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐼 Fn 𝐵)
134		simplll 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐾 ∈ HL)
135		hlop 37376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
136	134, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐾 ∈ OP)
137	24, 1	lhpbase 38012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
138	137	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ 𝐵)
139		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
140	24, 139	opoccl 37208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
141	136, 138, 140	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
142	92, 141	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑃 ∈ 𝐵)
143	24, 1, 13	ltrncl 38139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵)
144	47, 119, 142, 143	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵)
145		fnfvelrn 6958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) ∈ ran 𝐼)
146	133, 144, 145	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) ∈ ran 𝐼)
147	130, 146	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
148	46, 147	pm2.61dane 3032	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
149	148	ralrimivva 3123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑓 ∈ 𝑇 ∀𝑠 ∈ 𝐸 (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
150		sneq 4571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → {𝑣} = {⟨𝑓, 𝑠⟩})
151	150	fveq2d 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}))
152	151	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → ((𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼))
153	152	ralxp 5750	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)(𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑇 ∀𝑠 ∈ 𝐸 (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
154	149, 153	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)(𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
155	154	r19.21bi 3134	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
156	18, 155	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
157		eleq1a 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 → (𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
158	156, 157	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
159	158	rexlimdva 3213	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
160	159	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
161	11, 160	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  {copab 5136   ↦ cmpt 5157   I cid 5488   × cxp 5587  ran crn 5590   ↾ cres 5591   ∘ ccom 5593  Rel wrel 5594   Fn wfn 6428  –1-1→wf1 6430  ‘cfv 6433  ℩crio 7231  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  lecple 16969  occoc 16970  0_gc0g 17150  inv_rcinvr 19913  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LSpanclspn 20233  LVecclvec 20364  LSAtomsclsa 36988  OPcops 37186  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  trLctrl 38172  TEndoctendo 38766  DVecHcdvh 39092  DIsoBcdib 39152  DIsoCcdic 39186  DIsoHcdih 39242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153  df-dic 39187  df-dih 39243

This theorem is referenced by:  dih1dimat  39344