Theorem dih1dimatlem 41789

Description: Lemma for dih1dimat 41790. (Contributed by NM, 10-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1dimat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dimat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dih1dimat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih1dimat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dih1dimat.c	⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
dih1dimat.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dih1dimat.d	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dih1dimat.j	⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
dih1dimat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih1dimat.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
dih1dimat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dih1dimat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih1dimat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dih1dimat.g	⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dih1dimatlem	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐼)

Distinct variable groups:   ≤ ,ℎ   𝐵,ℎ   𝑓,𝑠,𝐸   𝐶,ℎ   ℎ,𝐽   𝑓,𝑁,𝑠   𝑓,ℎ,𝐾,𝑠   𝑇,𝑓,ℎ,𝑠   𝑈,𝑓,ℎ,𝑠   𝑓,𝐻,ℎ,𝑠   𝑓,𝑉,𝑠   𝑓,𝑊,ℎ,𝑠   𝑓,𝐼,𝑠   𝑃,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐵(𝑓,𝑠)   𝐶(𝑓,𝑠)   𝐷(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑃(𝑓,𝑠)   𝑅(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑆(𝑓,ℎ,𝑠)   · (𝑓,ℎ,𝑠)   𝐸(ℎ)   𝐹(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐺(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐼(ℎ)   𝐽(𝑓,𝑠)   ≤ (𝑓,𝑠)   𝑁(ℎ)   𝑂(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑉(ℎ)   0 (𝑓,ℎ,𝑠)

Proof of Theorem dih1dimatlem

Dummy variables 𝑣 𝑔 𝑖 𝑝 𝑟 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih1dimat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dih1dimat.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlvec 41569	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
5		dih1dimat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		dih1dimat.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		dih1dimat.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
8		dih1dimat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
9	5, 6, 7, 8	islsat 39451	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → (𝐷 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣})))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐷 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣})))
11	10	biimpa 476	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}))
12		eldifi 4072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ 𝑉)
13		dih1dimat.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		dih1dimat.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
15	1, 13, 14, 2, 5	dvhvbase 41547	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 = (𝑇 × 𝐸))
16	15	eleq2d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↔ 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
17	12, 16	imbitrid 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
18	17	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸))
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → 𝑠 = 𝑂)
20	19	opeq2d 4824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ = ⟨𝑓, 𝑂⟩)
21	20	sneqd 4580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → {⟨𝑓, 𝑠⟩} = {⟨𝑓, 𝑂⟩})
22	21	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
23		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24		dih1dimat.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
25		dih1dimat.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
26	24, 1, 13, 25	trlcl 40624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵)
27		dih1dimat.l	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
28	27, 1, 13, 25	trlle 40644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊)
29		dih1dimat.i	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
30		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
31	24, 27, 1, 29, 30	dihvalb 41697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝑓)))
32	23, 26, 28, 31	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝑓)))
33		dih1dimat.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
34	24, 1, 13, 25, 33, 2, 30, 6	dib1dim2 41628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝑓)) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
35	32, 34	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) = (𝐼‘(𝑅‘𝑓)))
36		dih1dimat.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
37	24, 1, 29, 2, 36	dihf11 41727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵–1-1→𝑆)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝐼:𝐵–1-1→𝑆)
39		f1fn 6731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼:𝐵–1-1→𝑆 → 𝐼 Fn 𝐵)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝐼 Fn 𝐵)
41		fnfvelrn 7026	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) ∈ ran 𝐼)
42	40, 26, 41	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) ∈ ran 𝐼)
43	35, 42	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
44	43	adantrr 718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
46	22, 45	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
47		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
48		dih1dimat.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
49		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
50	1, 14, 2, 48, 49	dvhbase 41543	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐹) = 𝐸)
51	47, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (Base‘𝐹) = 𝐸)
52	51	rexeqdv 3297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)))
53		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
54		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → 𝑡 ∈ 𝐸)
55		opelxpi 5661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
56	55	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
57		dih1dimat.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
58	1, 13, 14, 2, 57	dvhvscacl 41563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸))
59	53, 54, 56, 58	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸))
60		eleq1a 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸) → (𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
62	61	rexlimdva 3139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
63	62	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩))))
64		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑓 ∈ 𝑇)
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → 𝑓 ∈ 𝑇)
66		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑠 ∈ 𝐸)
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → 𝑠 ∈ 𝐸)
68	1, 13, 14, 2, 57	dvhopvsca 41562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)
69	53, 54, 65, 67, 68	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)
70	69	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
71	70	rexbidva 3160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
72	71	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)))
73	52, 63, 72	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)))
74	73	abbidv 2803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)})
75		df-rab 3391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)}
76	74, 75	eqtr4di 2790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)} = {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩})
77		ssrab2 4021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ⊆ (𝑇 × 𝐸)
78		relxp 5642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Rel (𝑇 × 𝐸)
79		relss 5731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ⊆ (𝑇 × 𝐸) → (Rel (𝑇 × 𝐸) → Rel {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩}))
80	77, 78, 79	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Rel {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩}
81		relopabv 5770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Rel {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)}
82		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑖 ∈ V
83		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑝 ∈ V
84		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = 𝑖 → (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ↔ 𝑖 = (𝑟‘𝐺)))
85	84	anbi1d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = 𝑖 → ((𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸) ↔ (𝑖 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)))
86		fveq1 6833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (𝑟‘𝐺) = (𝑝‘𝐺))
87	86	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (𝑖 = (𝑟‘𝐺) ↔ 𝑖 = (𝑝‘𝐺)))
88		eleq1w 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (𝑟 ∈ 𝐸 ↔ 𝑝 ∈ 𝐸))
89	87, 88	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → ((𝑖 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸) ↔ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)))
90	82, 83, 85, 89	opelopab 5490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)} ↔ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
91		dih1dimat.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
92		dih1dimat.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
93		dih1dimat.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
94		dih1dimat.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
95	1, 2, 29, 8, 24, 27, 91, 92, 13, 25, 14, 33, 48, 93, 5, 57, 36, 6, 7, 94	dih1dimatlem0 41788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))
96	95	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))
97		opelxp 5660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ↔ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
98	82, 83	opth 5424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
99	98	rexbii 3085	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
100	97, 99	anbi12i 629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))))
101	96, 100	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)))
102		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑝⟩ → (𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
103	102	rexbidv 3162	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑝⟩ → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
104	103	elrab 3635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ↔ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
105	101, 104	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩}))
106	90, 105	bitr2id 284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)}))
107	80, 81, 106	eqrelrdv 5741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
108	76, 107	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)} = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
109	1, 2, 47	dvhlmod 41570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑈 ∈ LMod)
110	1, 13, 14, 2, 5	dvhelvbasei 41548	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉)
111	110	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉)
112	48, 49, 5, 57, 6	lspsn 20988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)})
113	109, 111, 112	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)})
114		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑠 ≠ 𝑂)
115	24, 1, 13, 14, 33, 2, 48, 93	tendoinvcl 41564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ≠ 𝑂))
116	115	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
117	47, 66, 114, 116	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
118	1, 13, 14	tendocl 41227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
119	47, 117, 64, 118	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
120	27, 91, 1, 92	lhpocnel2 40479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
121	47, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
122	27, 91, 1, 13	ltrnel 40599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
123	47, 119, 121, 122	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
124		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
125	27, 91, 1, 124, 29	dihvalcqat 41699	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
126	47, 123, 125	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
127	27, 91, 1, 92, 13, 14, 124, 94	dicval2 41639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
128	47, 123, 127	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
129	126, 128	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
130	108, 113, 129	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
131	24, 1, 29	dihfn 41728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn 𝐵)
132	131	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝐼 Fn 𝐵)
133	132	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐼 Fn 𝐵)
134		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐾 ∈ HL)
135		hlop 39822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
136	134, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐾 ∈ OP)
137	24, 1	lhpbase 40458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
138	137	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ 𝐵)
139		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
140	24, 139	opoccl 39654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
141	136, 138, 140	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
142	92, 141	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑃 ∈ 𝐵)
143	24, 1, 13	ltrncl 40585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵)
144	47, 119, 142, 143	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵)
145		fnfvelrn 7026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) ∈ ran 𝐼)
146	133, 144, 145	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) ∈ ran 𝐼)
147	130, 146	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
148	46, 147	pm2.61dane 3020	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
149	148	ralrimivva 3181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑓 ∈ 𝑇 ∀𝑠 ∈ 𝐸 (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
150		sneq 4578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → {𝑣} = {⟨𝑓, 𝑠⟩})
151	150	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}))
152	151	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → ((𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼))
153	152	ralxp 5790	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)(𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑇 ∀𝑠 ∈ 𝐸 (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
154	149, 153	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)(𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
155	154	r19.21bi 3230	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
156	18, 155	syldan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
157		eleq1a 2832	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 → (𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
158	156, 157	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
159	158	rexlimdva 3139	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
160	159	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
161	11, 160	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  {copab 5148   ↦ cmpt 5167   I cid 5518   × cxp 5622  ran crn 5625   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  Rel wrel 5629   Fn wfn 6487  –1-1→wf1 6489  ‘cfv 6492  ℩crio 7316  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  lecple 17218  occoc 17219  0_gc0g 17393  inv_rcinvr 20358  LModclmod 20846  LSubSpclss 20917  LSpanclspn 20957  LVecclvec 21089  LSAtomsclsa 39434  OPcops 39632  Atomscatm 39723  HLchlt 39810  LHypclh 40444  LTrncltrn 40561  trLctrl 40618  TEndoctendo 41212  DVecHcdvh 41538  DIsoBcdib 41598  DIsoCcdic 41632  DIsoHcdih 41688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-riotaBAD 39413

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-undef 8216  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-0g 17395  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-drng 20699  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-lvec 21090  df-lsatoms 39436  df-oposet 39636  df-ol 39638  df-oml 39639  df-covers 39726  df-ats 39727  df-atl 39758  df-cvlat 39782  df-hlat 39811  df-llines 39958  df-lplanes 39959  df-lvols 39960  df-lines 39961  df-psubsp 39963  df-pmap 39964  df-padd 40256  df-lhyp 40448  df-laut 40449  df-ldil 40564  df-ltrn 40565  df-trl 40619  df-tendo 41215  df-edring 41217  df-disoa 41489  df-dvech 41539  df-dib 41599  df-dic 41633  df-dih 41689

This theorem is referenced by:  dih1dimat  41790