Theorem dih1dimatlem 41793

Description: Lemma for dih1dimat 41794. (Contributed by NM, 10-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1dimat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dimat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dih1dimat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih1dimat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dih1dimat.c	⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
dih1dimat.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dih1dimat.d	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dih1dimat.j	⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
dih1dimat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih1dimat.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
dih1dimat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dih1dimat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih1dimat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dih1dimat.g	⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dih1dimatlem	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐼)

Distinct variable groups:   ≤ ,ℎ   𝐵,ℎ   𝑓,𝑠,𝐸   𝐶,ℎ   ℎ,𝐽   𝑓,𝑁,𝑠   𝑓,ℎ,𝐾,𝑠   𝑇,𝑓,ℎ,𝑠   𝑈,𝑓,ℎ,𝑠   𝑓,𝐻,ℎ,𝑠   𝑓,𝑉,𝑠   𝑓,𝑊,ℎ,𝑠   𝑓,𝐼,𝑠   𝑃,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐵(𝑓,𝑠)   𝐶(𝑓,𝑠)   𝐷(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑃(𝑓,𝑠)   𝑅(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑆(𝑓,ℎ,𝑠)   · (𝑓,ℎ,𝑠)   𝐸(ℎ)   𝐹(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐺(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐼(ℎ)   𝐽(𝑓,𝑠)   ≤ (𝑓,𝑠)   𝑁(ℎ)   𝑂(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑉(ℎ)   0 (𝑓,ℎ,𝑠)

Proof of Theorem dih1dimatlem

Dummy variables 𝑣 𝑔 𝑖 𝑝 𝑟 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih1dimat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dih1dimat.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlvec 41573	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
5		dih1dimat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		dih1dimat.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		dih1dimat.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
8		dih1dimat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
9	5, 6, 7, 8	islsat 39455	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → (𝐷 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣})))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐷 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣})))
11	10	biimpa 476	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}))
12		eldifi 4072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ 𝑉)
13		dih1dimat.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		dih1dimat.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
15	1, 13, 14, 2, 5	dvhvbase 41551	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 = (𝑇 × 𝐸))
16	15	eleq2d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↔ 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
17	12, 16	imbitrid 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
18	17	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸))
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → 𝑠 = 𝑂)
20	19	opeq2d 4824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ = ⟨𝑓, 𝑂⟩)
21	20	sneqd 4580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → {⟨𝑓, 𝑠⟩} = {⟨𝑓, 𝑂⟩})
22	21	fveq2d 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
23		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24		dih1dimat.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
25		dih1dimat.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
26	24, 1, 13, 25	trlcl 40628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵)
27		dih1dimat.l	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
28	27, 1, 13, 25	trlle 40648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊)
29		dih1dimat.i	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
30		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
31	24, 27, 1, 29, 30	dihvalb 41701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝑓)))
32	23, 26, 28, 31	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝑓)))
33		dih1dimat.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
34	24, 1, 13, 25, 33, 2, 30, 6	dib1dim2 41632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝑓)) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
35	32, 34	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) = (𝐼‘(𝑅‘𝑓)))
36		dih1dimat.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
37	24, 1, 29, 2, 36	dihf11 41731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵–1-1→𝑆)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝐼:𝐵–1-1→𝑆)
39		f1fn 6733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼:𝐵–1-1→𝑆 → 𝐼 Fn 𝐵)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝐼 Fn 𝐵)
41		fnfvelrn 7028	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) ∈ ran 𝐼)
42	40, 26, 41	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) ∈ ran 𝐼)
43	35, 42	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
44	43	adantrr 718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
46	22, 45	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
47		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
48		dih1dimat.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
49		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
50	1, 14, 2, 48, 49	dvhbase 41547	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐹) = 𝐸)
51	47, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (Base‘𝐹) = 𝐸)
52	51	rexeqdv 3297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)))
53		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
54		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → 𝑡 ∈ 𝐸)
55		opelxpi 5663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
56	55	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
57		dih1dimat.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
58	1, 13, 14, 2, 57	dvhvscacl 41567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸))
59	53, 54, 56, 58	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸))
60		eleq1a 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸) → (𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
62	61	rexlimdva 3139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
63	62	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩))))
64		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑓 ∈ 𝑇)
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → 𝑓 ∈ 𝑇)
66		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑠 ∈ 𝐸)
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → 𝑠 ∈ 𝐸)
68	1, 13, 14, 2, 57	dvhopvsca 41566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)
69	53, 54, 65, 67, 68	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)
70	69	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
71	70	rexbidva 3160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
72	71	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)))
73	52, 63, 72	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)))
74	73	abbidv 2803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)})
75		df-rab 3391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)}
76	74, 75	eqtr4di 2790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)} = {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩})
77		ssrab2 4021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ⊆ (𝑇 × 𝐸)
78		relxp 5644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Rel (𝑇 × 𝐸)
79		relss 5733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ⊆ (𝑇 × 𝐸) → (Rel (𝑇 × 𝐸) → Rel {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩}))
80	77, 78, 79	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Rel {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩}
81		relopabv 5772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Rel {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)}
82		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑖 ∈ V
83		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑝 ∈ V
84		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = 𝑖 → (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ↔ 𝑖 = (𝑟‘𝐺)))
85	84	anbi1d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = 𝑖 → ((𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸) ↔ (𝑖 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)))
86		fveq1 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (𝑟‘𝐺) = (𝑝‘𝐺))
87	86	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (𝑖 = (𝑟‘𝐺) ↔ 𝑖 = (𝑝‘𝐺)))
88		eleq1w 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (𝑟 ∈ 𝐸 ↔ 𝑝 ∈ 𝐸))
89	87, 88	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → ((𝑖 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸) ↔ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)))
90	82, 83, 85, 89	opelopab 5492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)} ↔ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
91		dih1dimat.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
92		dih1dimat.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
93		dih1dimat.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
94		dih1dimat.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
95	1, 2, 29, 8, 24, 27, 91, 92, 13, 25, 14, 33, 48, 93, 5, 57, 36, 6, 7, 94	dih1dimatlem0 41792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))
96	95	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))
97		opelxp 5662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ↔ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
98	82, 83	opth 5426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
99	98	rexbii 3085	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
100	97, 99	anbi12i 629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))))
101	96, 100	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)))
102		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑝⟩ → (𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
103	102	rexbidv 3162	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑝⟩ → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
104	103	elrab 3635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ↔ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
105	101, 104	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩}))
106	90, 105	bitr2id 284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)}))
107	80, 81, 106	eqrelrdv 5743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
108	76, 107	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)} = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
109	1, 2, 47	dvhlmod 41574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑈 ∈ LMod)
110	1, 13, 14, 2, 5	dvhelvbasei 41552	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉)
111	110	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉)
112	48, 49, 5, 57, 6	lspsn 20992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)})
113	109, 111, 112	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)})
114		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑠 ≠ 𝑂)
115	24, 1, 13, 14, 33, 2, 48, 93	tendoinvcl 41568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ≠ 𝑂))
116	115	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
117	47, 66, 114, 116	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
118	1, 13, 14	tendocl 41231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
119	47, 117, 64, 118	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
120	27, 91, 1, 92	lhpocnel2 40483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
121	47, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
122	27, 91, 1, 13	ltrnel 40603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
123	47, 119, 121, 122	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
124		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
125	27, 91, 1, 124, 29	dihvalcqat 41703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
126	47, 123, 125	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
127	27, 91, 1, 92, 13, 14, 124, 94	dicval2 41643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
128	47, 123, 127	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
129	126, 128	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
130	108, 113, 129	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
131	24, 1, 29	dihfn 41732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn 𝐵)
132	131	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝐼 Fn 𝐵)
133	132	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐼 Fn 𝐵)
134		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐾 ∈ HL)
135		hlop 39826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
136	134, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐾 ∈ OP)
137	24, 1	lhpbase 40462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
138	137	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ 𝐵)
139		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
140	24, 139	opoccl 39658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
141	136, 138, 140	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
142	92, 141	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑃 ∈ 𝐵)
143	24, 1, 13	ltrncl 40589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵)
144	47, 119, 142, 143	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵)
145		fnfvelrn 7028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) ∈ ran 𝐼)
146	133, 144, 145	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) ∈ ran 𝐼)
147	130, 146	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
148	46, 147	pm2.61dane 3020	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
149	148	ralrimivva 3181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑓 ∈ 𝑇 ∀𝑠 ∈ 𝐸 (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
150		sneq 4578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → {𝑣} = {⟨𝑓, 𝑠⟩})
151	150	fveq2d 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}))
152	151	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → ((𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼))
153	152	ralxp 5792	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)(𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑇 ∀𝑠 ∈ 𝐸 (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
154	149, 153	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)(𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
155	154	r19.21bi 3230	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
156	18, 155	syldan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
157		eleq1a 2832	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 → (𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
158	156, 157	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
159	158	rexlimdva 3139	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
160	159	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
161	11, 160	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  {copab 5148   ↦ cmpt 5167   I cid 5520   × cxp 5624  ran crn 5627   ↾ cres 5628   ∘ ccom 5630  Rel wrel 5631   Fn wfn 6489  –1-1→wf1 6491  ‘cfv 6494  ℩crio 7318  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219  lecple 17222  occoc 17223  0_gc0g 17397  inv_rcinvr 20362  LModclmod 20850  LSubSpclss 20921  LSpanclspn 20961  LVecclvec 21093  LSAtomsclsa 39438  OPcops 39636  Atomscatm 39727  HLchlt 39814  LHypclh 40448  LTrncltrn 40565  trLctrl 40622  TEndoctendo 41216  DVecHcdvh 41542  DIsoBcdib 41602  DIsoCcdic 41636  DIsoHcdih 41692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-riotaBAD 39417

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-tpos 8171  df-undef 8218  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-0g 17399  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18393  df-clat 18460  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-cntz 19287  df-lsm 19606  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-dvr 20376  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lvec 21094  df-lsatoms 39440  df-oposet 39640  df-ol 39642  df-oml 39643  df-covers 39730  df-ats 39731  df-atl 39762  df-cvlat 39786  df-hlat 39815  df-llines 39962  df-lplanes 39963  df-lvols 39964  df-lines 39965  df-psubsp 39967  df-pmap 39968  df-padd 40260  df-lhyp 40452  df-laut 40453  df-ldil 40568  df-ltrn 40569  df-trl 40623  df-tendo 41219  df-edring 41221  df-disoa 41493  df-dvech 41543  df-dib 41603  df-dic 41637  df-dih 41693

This theorem is referenced by:  dih1dimat  41794