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Theorem dih1dimatlem 40188
Description: Lemma for dih1dimat 40189. (Contributed by NM, 10-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1dimat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dimat.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dih1dimat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih1dimat.l = (le‘𝐾)
dih1dimat.c 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
dih1dimat.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dih1dimat.d 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dih1dimat.j 𝐽 = (invr𝐹)
dih1dimat.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih1dimat.m · = ( ·𝑠𝑈)
dih1dimat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dih1dimat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih1dimat.z 0 = (0g𝑈)
dih1dimat.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
dih1dimatlem (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐼)
Distinct variable groups:   ,   𝐵,   𝑓,𝑠,𝐸   𝐶,   ,𝐽   𝑓,𝑁,𝑠   𝑓,,𝐾,𝑠   𝑇,𝑓,,𝑠   𝑈,𝑓,,𝑠   𝑓,𝐻,,𝑠   𝑓,𝑉,𝑠   𝑓,𝑊,,𝑠   𝑓,𝐼,𝑠   𝑃,
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,,𝑠)   𝐵(𝑓,𝑠)   𝐶(𝑓,𝑠)   𝐷(𝑓,,𝑠)   𝑃(𝑓,𝑠)   𝑅(𝑓,,𝑠)   𝑆(𝑓,,𝑠)   · (𝑓,,𝑠)   𝐸()   𝐹(𝑓,,𝑠)   𝐺(𝑓,,𝑠)   𝐼()   𝐽(𝑓,𝑠)   (𝑓,𝑠)   𝑁()   𝑂(𝑓,,𝑠)   𝑉()   0 (𝑓,,𝑠)

Proof of Theorem dih1dimatlem
Dummy variables 𝑣 𝑔 𝑖 𝑝 𝑟 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dih1dimat.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dih1dimat.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 id 22 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlvec 39968 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
5 dih1dimat.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 dih1dimat.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 dih1dimat.z . . . . 5 0 = (0g𝑈)
8 dih1dimat.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
95, 6, 7, 8islsat 37849 . . . 4 (𝑈 ∈ LVec → (𝐷𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣})))
104, 9syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐷𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣})))
1110biimpa 477 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝐴) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}))
12 eldifi 4125 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑣𝑉)
13 dih1dimat.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 dih1dimat.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
151, 13, 14, 2, 5dvhvbase 39946 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑉 = (𝑇 × 𝐸))
1615eleq2d 2819 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑣𝑉𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
1712, 16imbitrid 243 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
1817imp 407 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸))
19 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → 𝑠 = 𝑂)
2019opeq2d 4879 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ = ⟨𝑓, 𝑂⟩)
2120sneqd 4639 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → {⟨𝑓, 𝑠⟩} = {⟨𝑓, 𝑂⟩})
2221fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
23 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
24 dih1dimat.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = (Base‘𝐾)
25 dih1dimat.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
2624, 1, 13, 25trlcl 39023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑅𝑓) ∈ 𝐵)
27 dih1dimat.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (le‘𝐾)
2827, 1, 13, 25trlle 39043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑅𝑓) 𝑊)
29 dih1dimat.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
30 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
3124, 27, 1, 29, 30dihvalb 40096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑅𝑓) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊)) → (𝐼‘(𝑅𝑓)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝑓)))
3223, 26, 28, 31syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝑓)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝑓)))
33 dih1dimat.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
3424, 1, 13, 25, 33, 2, 30, 6dib1dim2 40027 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝑓)) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
3532, 34eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) = (𝐼‘(𝑅𝑓)))
36 dih1dimat.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
3724, 1, 29, 2, 36dihf11 40126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:𝐵1-1𝑆)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → 𝐼:𝐵1-1𝑆)
39 f1fn 6785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼:𝐵1-1𝑆𝐼 Fn 𝐵)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → 𝐼 Fn 𝐵)
41 fnfvelrn 7079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ (𝑅𝑓) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑅𝑓)) ∈ ran 𝐼)
4240, 26, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝑓)) ∈ ran 𝐼)
4335, 42eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
4443adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
4622, 45eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
47 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
48 dih1dimat.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
49 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
501, 14, 2, 48, 49dvhbase 39942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐹) = 𝐸)
5147, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (Base‘𝐹) = 𝐸)
5251rexeqdv 3326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ ∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)))
53 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
54 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → 𝑡𝐸)
55 opelxpi 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓𝑇𝑠𝐸) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
5655ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
57 dih1dimat.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 · = ( ·𝑠𝑈)
581, 13, 14, 2, 57dvhvscacl 39962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸 ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸))
5953, 54, 56, 58syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸))
60 eleq1a 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸) → (𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
6261rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
6362pm4.71rd 563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩))))
64 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑓𝑇)
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → 𝑓𝑇)
66 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑠𝐸)
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → 𝑠𝐸)
681, 13, 14, 2, 57dvhopvsca 39961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)
6953, 54, 65, 67, 68syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)
7069eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
7170rexbidva 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
7271anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)))
7352, 63, 723bitrd 304 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)))
7473abbidv 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)})
75 df-rab 3433 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)}
7674, 75eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)} = {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩})
77 ssrab2 4076 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} ⊆ (𝑇 × 𝐸)
78 relxp 5693 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel (𝑇 × 𝐸)
79 relss 5779 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} ⊆ (𝑇 × 𝐸) → (Rel (𝑇 × 𝐸) → Rel {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩}))
8077, 78, 79mp2 9 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩}
81 relopabv 5819 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)}
82 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖 ∈ V
83 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑝 ∈ V
84 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = 𝑖 → (𝑔 = (𝑟𝐺) ↔ 𝑖 = (𝑟𝐺)))
8584anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = 𝑖 → ((𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸) ↔ (𝑖 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)))
86 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑝 → (𝑟𝐺) = (𝑝𝐺))
8786eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑝 → (𝑖 = (𝑟𝐺) ↔ 𝑖 = (𝑝𝐺)))
88 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑝 → (𝑟𝐸𝑝𝐸))
8987, 88anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑝 → ((𝑖 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸) ↔ (𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸)))
9082, 83, 85, 89opelopab 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)} ↔ (𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸))
91 dih1dimat.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
92 dih1dimat.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
93 dih1dimat.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐽 = (invr𝐹)
94 dih1dimat.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
951, 2, 29, 8, 24, 27, 91, 92, 13, 25, 14, 33, 48, 93, 5, 57, 36, 6, 7, 94dih1dimatlem0 40187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸) ↔ ((𝑖𝑇𝑝𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠)))))
96953expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸) ↔ ((𝑖𝑇𝑝𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠)))))
97 opelxp 5711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ↔ (𝑖𝑇𝑝𝐸))
9882, 83opth 5475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩ ↔ (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠)))
9998rexbii 3094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩ ↔ ∃𝑡𝐸 (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠)))
10097, 99anbi12i 627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩) ↔ ((𝑖𝑇𝑝𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠))))
10196, 100bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸) ↔ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)))
102 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑝⟩ → (𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩ ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
103102rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑝⟩ → (∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩ ↔ ∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
104103elrab 3682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} ↔ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
105101, 104bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸) ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩}))
10690, 105bitr2id 283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)}))
10780, 81, 106eqrelrdv 5790 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
10876, 107eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)} = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
1091, 2, 47dvhlmod 39969 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑈 ∈ LMod)
1101, 13, 14, 2, 5dvhelvbasei 39947 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉)
111110adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉)
11248, 49, 5, 57, 6lspsn 20605 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)})
113109, 111, 112syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)})
114 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑠𝑂)
11524, 1, 13, 14, 33, 2, 48, 93tendoinvcl 39963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑠𝑂) → ((𝐽𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝐽𝑠) ≠ 𝑂))
116115simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑠𝑂) → (𝐽𝑠) ∈ 𝐸)
11747, 66, 114, 116syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐽𝑠) ∈ 𝐸)
1181, 13, 14tendocl 39626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐽𝑠) ∈ 𝐸𝑓𝑇) → ((𝐽𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
11947, 117, 64, 118syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝐽𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
12027, 91, 1, 92lhpocnel2 38878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐶 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
12147, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝑃𝐶 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
12227, 91, 1, 13ltrnel 38998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐽𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃𝐶 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) 𝑊))
12347, 119, 121, 122syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) 𝑊))
124 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
12527, 91, 1, 124, 29dihvalcqat 40098 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) 𝑊)) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
12647, 123, 125syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
12727, 91, 1, 92, 13, 14, 124, 94dicval2 40038 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) 𝑊)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
12847, 123, 127syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
129126, 128eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
130108, 113, 1293eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
13124, 1, 29dihfn 40127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼 Fn 𝐵)
132131adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝐼 Fn 𝐵)
133132adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝐼 Fn 𝐵)
134 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝐾 ∈ HL)
135 hlop 38220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝐾 ∈ OP)
13724, 1lhpbase 38857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
138137ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑊𝐵)
139 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
14024, 139opoccl 38052 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
141136, 138, 140syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
14292, 141eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑃𝐵)
14324, 1, 13ltrncl 38984 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐽𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇𝑃𝐵) → (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵)
14447, 119, 142, 143syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵)
145 fnfvelrn 7079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) ∈ ran 𝐼)
146133, 144, 145syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) ∈ ran 𝐼)
147130, 146eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
14846, 147pm2.61dane 3029 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
149148ralrimivva 3200 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∀𝑓𝑇𝑠𝐸 (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
150 sneq 4637 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → {𝑣} = {⟨𝑓, 𝑠⟩})
151150fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}))
152151eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → ((𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼))
153152ralxp 5839 . . . . . . . 8 (∀𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)(𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ ∀𝑓𝑇𝑠𝐸 (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
154149, 153sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∀𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)(𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
155154r19.21bi 3248 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
15618, 155syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
157 eleq1a 2828 . . . . 5 ((𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 → (𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
158156, 157syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
159158rexlimdva 3155 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
160159adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝐴) → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
16111, 160mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2709  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3432  cdif 3944  wss 3947  {csn 4627  cop 4633   class class class wbr 5147  {copab 5209  cmpt 5230   I cid 5572   × cxp 5673  ran crn 5676  cres 5677  ccom 5679  Rel wrel 5680   Fn wfn 6535  1-1wf1 6537  cfv 6540  crio 7360  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  lecple 17200  occoc 17201  0gc0g 17381  invrcinvr 20193  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574  LVecclvec 20705  LSAtomsclsa 37832  OPcops 38030  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960  trLctrl 39017  TEndoctendo 39611  DVecHcdvh 39937  DIsoBcdib 39997  DIsoCcdic 40031  DIsoHcdih 40087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37811
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lsatoms 37834  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-tendo 39614  df-edring 39616  df-disoa 39888  df-dvech 39938  df-dib 39998  df-dic 40032  df-dih 40088
This theorem is referenced by:  dih1dimat  40189
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