Theorem dih1dimatlem 41316

Description: Lemma for dih1dimat 41317. (Contributed by NM, 10-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1dimat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dimat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dih1dimat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih1dimat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dih1dimat.c	⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
dih1dimat.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dih1dimat.d	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dih1dimat.j	⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
dih1dimat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih1dimat.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
dih1dimat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dih1dimat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih1dimat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dih1dimat.g	⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dih1dimatlem	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐼)

Distinct variable groups:   ≤ ,ℎ   𝐵,ℎ   𝑓,𝑠,𝐸   𝐶,ℎ   ℎ,𝐽   𝑓,𝑁,𝑠   𝑓,ℎ,𝐾,𝑠   𝑇,𝑓,ℎ,𝑠   𝑈,𝑓,ℎ,𝑠   𝑓,𝐻,ℎ,𝑠   𝑓,𝑉,𝑠   𝑓,𝑊,ℎ,𝑠   𝑓,𝐼,𝑠   𝑃,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐵(𝑓,𝑠)   𝐶(𝑓,𝑠)   𝐷(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑃(𝑓,𝑠)   𝑅(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑆(𝑓,ℎ,𝑠)   · (𝑓,ℎ,𝑠)   𝐸(ℎ)   𝐹(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐺(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐼(ℎ)   𝐽(𝑓,𝑠)   ≤ (𝑓,𝑠)   𝑁(ℎ)   𝑂(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑉(ℎ)   0 (𝑓,ℎ,𝑠)

Proof of Theorem dih1dimatlem

Dummy variables 𝑣 𝑔 𝑖 𝑝 𝑟 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih1dimat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dih1dimat.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlvec 41096	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
5		dih1dimat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		dih1dimat.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		dih1dimat.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
8		dih1dimat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
9	5, 6, 7, 8	islsat 38977	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → (𝐷 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣})))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐷 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣})))
11	10	biimpa 476	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}))
12		eldifi 4090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ 𝑉)
13		dih1dimat.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		dih1dimat.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
15	1, 13, 14, 2, 5	dvhvbase 41074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 = (𝑇 × 𝐸))
16	15	eleq2d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↔ 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
17	12, 16	imbitrid 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
18	17	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸))
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → 𝑠 = 𝑂)
20	19	opeq2d 4840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ = ⟨𝑓, 𝑂⟩)
21	20	sneqd 4597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → {⟨𝑓, 𝑠⟩} = {⟨𝑓, 𝑂⟩})
22	21	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
23		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24		dih1dimat.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
25		dih1dimat.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
26	24, 1, 13, 25	trlcl 40151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵)
27		dih1dimat.l	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
28	27, 1, 13, 25	trlle 40171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊)
29		dih1dimat.i	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
30		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
31	24, 27, 1, 29, 30	dihvalb 41224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝑓)))
32	23, 26, 28, 31	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝑓)))
33		dih1dimat.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
34	24, 1, 13, 25, 33, 2, 30, 6	dib1dim2 41155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝑓)) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
35	32, 34	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) = (𝐼‘(𝑅‘𝑓)))
36		dih1dimat.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
37	24, 1, 29, 2, 36	dihf11 41254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵–1-1→𝑆)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝐼:𝐵–1-1→𝑆)
39		f1fn 6739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼:𝐵–1-1→𝑆 → 𝐼 Fn 𝐵)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝐼 Fn 𝐵)
41		fnfvelrn 7034	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) ∈ ran 𝐼)
42	40, 26, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝑓)) ∈ ran 𝐼)
43	35, 42	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
44	43	adantrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
46	22, 45	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
47		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
48		dih1dimat.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
49		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
50	1, 14, 2, 48, 49	dvhbase 41070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐹) = 𝐸)
51	47, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (Base‘𝐹) = 𝐸)
52	51	rexeqdv 3297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)))
53		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
54		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → 𝑡 ∈ 𝐸)
55		opelxpi 5668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
56	55	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
57		dih1dimat.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
58	1, 13, 14, 2, 57	dvhvscacl 41090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸))
59	53, 54, 56, 58	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸))
60		eleq1a 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸) → (𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
62	61	rexlimdva 3134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
63	62	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩))))
64		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑓 ∈ 𝑇)
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → 𝑓 ∈ 𝑇)
66		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑠 ∈ 𝐸)
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → 𝑠 ∈ 𝐸)
68	1, 13, 14, 2, 57	dvhopvsca 41089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)
69	53, 54, 65, 67, 68	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)
70	69	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
71	70	rexbidva 3155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
72	71	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)))
73	52, 63, 72	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)))
74	73	abbidv 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)})
75		df-rab 3403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)}
76	74, 75	eqtr4di 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)} = {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩})
77		ssrab2 4039	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ⊆ (𝑇 × 𝐸)
78		relxp 5649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Rel (𝑇 × 𝐸)
79		relss 5736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ⊆ (𝑇 × 𝐸) → (Rel (𝑇 × 𝐸) → Rel {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩}))
80	77, 78, 79	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Rel {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩}
81		relopabv 5775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Rel {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)}
82		vex 3448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑖 ∈ V
83		vex 3448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑝 ∈ V
84		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = 𝑖 → (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ↔ 𝑖 = (𝑟‘𝐺)))
85	84	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = 𝑖 → ((𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸) ↔ (𝑖 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)))
86		fveq1 6839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (𝑟‘𝐺) = (𝑝‘𝐺))
87	86	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (𝑖 = (𝑟‘𝐺) ↔ 𝑖 = (𝑝‘𝐺)))
88		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (𝑟 ∈ 𝐸 ↔ 𝑝 ∈ 𝐸))
89	87, 88	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → ((𝑖 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸) ↔ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)))
90	82, 83, 85, 89	opelopab 5497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)} ↔ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
91		dih1dimat.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
92		dih1dimat.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
93		dih1dimat.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
94		dih1dimat.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
95	1, 2, 29, 8, 24, 27, 91, 92, 13, 25, 14, 33, 48, 93, 5, 57, 36, 6, 7, 94	dih1dimatlem0 41315	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))
96	95	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))
97		opelxp 5667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ↔ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
98	82, 83	opth 5431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
99	98	rexbii 3076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
100	97, 99	anbi12i 628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))))
101	96, 100	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩)))
102		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑝⟩ → (𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
103	102	rexbidv 3157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑝⟩ → (∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
104	103	elrab 3656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ↔ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩))
105	101, 104	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩}))
106	90, 105	bitr2id 284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)}))
107	80, 81, 106	eqrelrdv 5746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡‘𝑓), (𝑡 ∘ 𝑠)⟩} = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
108	76, 107	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)} = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
109	1, 2, 47	dvhlmod 41097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑈 ∈ LMod)
110	1, 13, 14, 2, 5	dvhelvbasei 41075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉)
111	110	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉)
112	48, 49, 5, 57, 6	lspsn 20940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)})
113	109, 111, 112	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 · ⟨𝑓, 𝑠⟩)})
114		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑠 ≠ 𝑂)
115	24, 1, 13, 14, 33, 2, 48, 93	tendoinvcl 41091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ≠ 𝑂))
116	115	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
117	47, 66, 114, 116	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
118	1, 13, 14	tendocl 40754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
119	47, 117, 64, 118	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
120	27, 91, 1, 92	lhpocnel2 40006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
121	47, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
122	27, 91, 1, 13	ltrnel 40126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
123	47, 119, 121, 122	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
124		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
125	27, 91, 1, 124, 29	dihvalcqat 41226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
126	47, 123, 125	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
127	27, 91, 1, 92, 13, 14, 124, 94	dicval2 41166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
128	47, 123, 127	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
129	126, 128	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ 𝐸)})
130	108, 113, 129	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
131	24, 1, 29	dihfn 41255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn 𝐵)
132	131	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝐼 Fn 𝐵)
133	132	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐼 Fn 𝐵)
134		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐾 ∈ HL)
135		hlop 39348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
136	134, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐾 ∈ OP)
137	24, 1	lhpbase 39985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
138	137	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ 𝐵)
139		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
140	24, 139	opoccl 39180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
141	136, 138, 140	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
142	92, 141	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑃 ∈ 𝐵)
143	24, 1, 13	ltrncl 40112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵)
144	47, 119, 142, 143	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵)
145		fnfvelrn 7034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) ∈ ran 𝐼)
146	133, 144, 145	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐼‘(((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) ∈ ran 𝐼)
147	130, 146	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
148	46, 147	pm2.61dane 3012	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
149	148	ralrimivva 3178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑓 ∈ 𝑇 ∀𝑠 ∈ 𝐸 (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
150		sneq 4595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → {𝑣} = {⟨𝑓, 𝑠⟩})
151	150	fveq2d 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}))
152	151	eleq1d 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → ((𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼))
153	152	ralxp 5795	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)(𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑇 ∀𝑠 ∈ 𝐸 (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
154	149, 153	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)(𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
155	154	r19.21bi 3227	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
156	18, 155	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
157		eleq1a 2823	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 → (𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
158	156, 157	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
159	158	rexlimdva 3134	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
160	159	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
161	11, 160	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3402   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  {csn 4585  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102  {copab 5164   ↦ cmpt 5183   I cid 5525   × cxp 5629  ran crn 5632   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  Rel wrel 5636   Fn wfn 6494  –1-1→wf1 6496  ‘cfv 6499  ℩crio 7325  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  lecple 17203  occoc 17204  0_gc0g 17378  inv_rcinvr 20307  LModclmod 20798  LSubSpclss 20869  LSpanclspn 20909  LVecclvec 21041  LSAtomsclsa 38960  OPcops 39158  Atomscatm 39249  HLchlt 39336  LHypclh 39971  LTrncltrn 40088  trLctrl 40145  TEndoctendo 40739  DVecHcdvh 41065  DIsoBcdib 41125  DIsoCcdic 41159  DIsoHcdih 41215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-riotaBAD 38939

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-undef 8229  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17380  df-proset 18235  df-poset 18254  df-plt 18269  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-p0 18364  df-p1 18365  df-lat 18373  df-clat 18440  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-subg 19037  df-cntz 19231  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-drng 20651  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-lvec 21042  df-lsatoms 38962  df-oposet 39162  df-ol 39164  df-oml 39165  df-covers 39252  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337  df-llines 39485  df-lplanes 39486  df-lvols 39487  df-lines 39488  df-psubsp 39490  df-pmap 39491  df-padd 39783  df-lhyp 39975  df-laut 39976  df-ldil 40091  df-ltrn 40092  df-trl 40146  df-tendo 40742  df-edring 40744  df-disoa 41016  df-dvech 41066  df-dib 41126  df-dic 41160  df-dih 41216

This theorem is referenced by:  dih1dimat  41317