Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dih1dimatlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dih1dimatlem 40195
Description: Lemma for dih1dimat 40196. (Contributed by NM, 10-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1dimat.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dih1dimat.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimat.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
dih1dimat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dih1dimat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dih1dimat.c 𝐢 = (Atomsβ€˜πΎ)
dih1dimat.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimat.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimat.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimat.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimat.o 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
dih1dimat.d 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
dih1dimat.j 𝐽 = (invrβ€˜πΉ)
dih1dimat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dih1dimat.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
dih1dimat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
dih1dimat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
dih1dimat.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
dih1dimat.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
dih1dimatlem (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐼)
Distinct variable groups:   ≀ ,β„Ž   𝐡,β„Ž   𝑓,𝑠,𝐸   𝐢,β„Ž   β„Ž,𝐽   𝑓,𝑁,𝑠   𝑓,β„Ž,𝐾,𝑠   𝑇,𝑓,β„Ž,𝑠   π‘ˆ,𝑓,β„Ž,𝑠   𝑓,𝐻,β„Ž,𝑠   𝑓,𝑉,𝑠   𝑓,π‘Š,β„Ž,𝑠   𝑓,𝐼,𝑠   𝑃,β„Ž
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝐡(𝑓,𝑠)   𝐢(𝑓,𝑠)   𝐷(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝑃(𝑓,𝑠)   𝑅(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝑆(𝑓,β„Ž,𝑠)   Β· (𝑓,β„Ž,𝑠)   𝐸(β„Ž)   𝐹(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝐺(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝐼(β„Ž)   𝐽(𝑓,𝑠)   ≀ (𝑓,𝑠)   𝑁(β„Ž)   𝑂(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝑉(β„Ž)   0 (𝑓,β„Ž,𝑠)

Proof of Theorem dih1dimatlem
Dummy variables 𝑣 𝑔 𝑖 𝑝 π‘Ÿ 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dih1dimat.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dih1dimat.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 id 22 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3dvhlvec 39975 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
5 dih1dimat.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
6 dih1dimat.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
7 dih1dimat.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
8 dih1dimat.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
95, 6, 7, 8islsat 37856 . . . 4 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ (𝐷 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐷 = (π‘β€˜{𝑣})))
104, 9syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐷 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐷 = (π‘β€˜{𝑣})))
1110biimpa 477 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐷 = (π‘β€˜{𝑣}))
12 eldifi 4126 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
13 dih1dimat.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 dih1dimat.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
151, 13, 14, 2, 5dvhvbase 39953 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑉 = (𝑇 Γ— 𝐸))
1615eleq2d 2819 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↔ 𝑣 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸)))
1712, 16imbitrid 243 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑣 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸)))
1817imp 407 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑣 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
19 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) β†’ 𝑠 = 𝑂)
2019opeq2d 4880 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© = βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©)
2120sneqd 4640 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) β†’ {βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©} = {βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©})
2221fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©}))
23 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
24 dih1dimat.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
25 dih1dimat.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
2624, 1, 13, 25trlcl 39030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ∈ 𝐡)
27 dih1dimat.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2827, 1, 13, 25trlle 39050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š)
29 dih1dimat.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
30 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3124, 27, 1, 29, 30dihvalb 40103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜π‘“)) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘…β€˜π‘“)))
3223, 26, 28, 31syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜π‘“)) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘…β€˜π‘“)))
33 dih1dimat.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
3424, 1, 13, 25, 33, 2, 30, 6dib1dim2 40034 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘…β€˜π‘“)) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©}))
3532, 34eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©}) = (πΌβ€˜(π‘…β€˜π‘“)))
36 dih1dimat.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
3724, 1, 29, 2, 36dihf11 40133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼:𝐡–1-1→𝑆)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝐼:𝐡–1-1→𝑆)
39 f1fn 6788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼:𝐡–1-1→𝑆 β†’ 𝐼 Fn 𝐡)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝐼 Fn 𝐡)
41 fnfvelrn 7082 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 Fn 𝐡 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜π‘“)) ∈ ran 𝐼)
4240, 26, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜π‘“)) ∈ ran 𝐼)
4335, 42eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©}) ∈ ran 𝐼)
4443adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©}) ∈ ran 𝐼)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©}) ∈ ran 𝐼)
4622, 45eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) ∈ ran 𝐼)
47 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
48 dih1dimat.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
49 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
501, 14, 2, 48, 49dvhbase 39949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜πΉ) = 𝐸)
5147, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (Baseβ€˜πΉ) = 𝐸)
5251rexeqdv 3326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜πΉ)𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©)))
53 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
54 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ 𝑑 ∈ 𝐸)
55 opelxpi 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
5655ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
57 dih1dimat.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
581, 13, 14, 2, 57dvhvscacl 39969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
5953, 54, 56, 58syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
60 eleq1a 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) β†’ 𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸)))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) β†’ 𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸)))
6261rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) β†’ 𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸)))
6362pm4.71rd 563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) ↔ (𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©))))
64 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
66 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
681, 13, 14, 2, 57dvhopvsca 39968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩)
6953, 54, 65, 67, 68syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩)
7069eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) ↔ 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩))
7170rexbidva 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩))
7271anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©)) ↔ (𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩)))
7352, 63, 723bitrd 304 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜πΉ)𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©) ↔ (𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩)))
7473abbidv 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ {𝑒 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜πΉ)𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©)} = {𝑒 ∣ (𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩)})
75 df-rab 3433 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩} = {𝑒 ∣ (𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩)}
7674, 75eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ {𝑒 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜πΉ)𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©)} = {𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩})
77 ssrab2 4077 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩} βŠ† (𝑇 Γ— 𝐸)
78 relxp 5694 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel (𝑇 Γ— 𝐸)
79 relss 5781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩} βŠ† (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (Rel (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ Rel {𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩}))
8077, 78, 79mp2 9 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel {𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩}
81 relopabv 5821 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel {βŸ¨π‘”, π‘ŸβŸ© ∣ (𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸)}
82 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖 ∈ V
83 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑝 ∈ V
84 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = 𝑖 β†’ (𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ↔ 𝑖 = (π‘Ÿβ€˜πΊ)))
8584anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = 𝑖 β†’ ((𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸) ↔ (𝑖 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸)))
86 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ÿ = 𝑝 β†’ (π‘Ÿβ€˜πΊ) = (π‘β€˜πΊ))
8786eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ = 𝑝 β†’ (𝑖 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ↔ 𝑖 = (π‘β€˜πΊ)))
88 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ = 𝑝 β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐸 ↔ 𝑝 ∈ 𝐸))
8987, 88anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ = 𝑝 β†’ ((𝑖 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸) ↔ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)))
9082, 83, 85, 89opelopab 5542 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βŸ¨π‘–, π‘βŸ© ∈ {βŸ¨π‘”, π‘ŸβŸ© ∣ (𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸)} ↔ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
91 dih1dimat.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐢 = (Atomsβ€˜πΎ)
92 dih1dimat.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
93 dih1dimat.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐽 = (invrβ€˜πΉ)
94 dih1dimat.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ))
951, 2, 29, 8, 24, 27, 91, 92, 13, 25, 14, 33, 48, 93, 5, 57, 36, 6, 7, 94dih1dimatlem0 40194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠)))))
96953expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠)))))
97 opelxp 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βŸ¨π‘–, π‘βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ↔ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
9882, 83opth 5476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βŸ¨π‘–, π‘βŸ© = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩ ↔ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠)))
9998rexbii 3094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 βŸ¨π‘–, π‘βŸ© = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩ ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠)))
10097, 99anbi12i 627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βŸ¨π‘–, π‘βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 βŸ¨π‘–, π‘βŸ© = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))))
10196, 100bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ (βŸ¨π‘–, π‘βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 βŸ¨π‘–, π‘βŸ© = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩)))
102 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = βŸ¨π‘–, π‘βŸ© β†’ (𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩ ↔ βŸ¨π‘–, π‘βŸ© = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩))
103102rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = βŸ¨π‘–, π‘βŸ© β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩ ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 βŸ¨π‘–, π‘βŸ© = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩))
104103elrab 3683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βŸ¨π‘–, π‘βŸ© ∈ {𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩} ↔ (βŸ¨π‘–, π‘βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 βŸ¨π‘–, π‘βŸ© = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩))
105101, 104bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ βŸ¨π‘–, π‘βŸ© ∈ {𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩}))
10690, 105bitr2id 283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (βŸ¨π‘–, π‘βŸ© ∈ {𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩} ↔ βŸ¨π‘–, π‘βŸ© ∈ {βŸ¨π‘”, π‘ŸβŸ© ∣ (𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸)}))
10780, 81, 106eqrelrdv 5792 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ {𝑒 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 𝑒 = ⟨(π‘‘β€˜π‘“), (𝑑 ∘ 𝑠)⟩} = {βŸ¨π‘”, π‘ŸβŸ© ∣ (𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸)})
10876, 107eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ {𝑒 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜πΉ)𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©)} = {βŸ¨π‘”, π‘ŸβŸ© ∣ (𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸)})
1091, 2, 47dvhlmod 39976 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
1101, 13, 14, 2, 5dvhelvbasei 39954 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ 𝑉)
111110adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ 𝑉)
11248, 49, 5, 57, 6lspsn 20612 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) = {𝑒 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜πΉ)𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©)})
113109, 111, 112syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) = {𝑒 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜πΉ)𝑒 = (𝑑 Β· βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©)})
114 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝑠 β‰  𝑂)
11524, 1, 13, 14, 33, 2, 48, 93tendoinvcl 39970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((π½β€˜π‘ ) ∈ 𝐸 ∧ (π½β€˜π‘ ) β‰  𝑂))
116115simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (π½β€˜π‘ ) ∈ 𝐸)
11747, 66, 114, 116syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (π½β€˜π‘ ) ∈ 𝐸)
1181, 13, 14tendocl 39633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π½β€˜π‘ ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ ((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
11947, 117, 64, 118syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
12027, 91, 1, 92lhpocnel2 38885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑃 ∈ 𝐢 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
12147, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (𝑃 ∈ 𝐢 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
12227, 91, 1, 13ltrnel 39005 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐢 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐢 ∧ Β¬ (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
12347, 119, 121, 122syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐢 ∧ Β¬ (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
124 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12527, 91, 1, 124, 29dihvalcqat 40105 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐢 ∧ Β¬ (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)) = (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)))
12647, 123, 125syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (πΌβ€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)) = (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)))
12727, 91, 1, 92, 13, 14, 124, 94dicval2 40045 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐢 ∧ Β¬ (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)) = {βŸ¨π‘”, π‘ŸβŸ© ∣ (𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸)})
12847, 123, 127syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)) = {βŸ¨π‘”, π‘ŸβŸ© ∣ (𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸)})
129126, 128eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (πΌβ€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)) = {βŸ¨π‘”, π‘ŸβŸ© ∣ (𝑔 = (π‘Ÿβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐸)})
130108, 113, 1293eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) = (πΌβ€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)))
13124, 1, 29dihfn 40134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼 Fn 𝐡)
132131adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ 𝐼 Fn 𝐡)
133132adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝐼 Fn 𝐡)
134 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝐾 ∈ HL)
135 hlop 38227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝐾 ∈ OP)
13724, 1lhpbase 38864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
138137ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
139 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
14024, 139opoccl 38059 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
141136, 138, 140syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
14292, 141eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
14324, 1, 13ltrncl 38991 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“) ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
14447, 119, 142, 143syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
145 fnfvelrn 7082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 Fn 𝐡 ∧ (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)) ∈ ran 𝐼)
146133, 144, 145syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (πΌβ€˜(((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)) ∈ ran 𝐼)
147130, 146eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) ∈ ran 𝐼)
14846, 147pm2.61dane 3029 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) ∈ ran 𝐼)
149148ralrimivva 3200 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 βˆ€π‘  ∈ 𝐸 (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) ∈ ran 𝐼)
150 sneq 4638 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© β†’ {𝑣} = {βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©})
151150fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© β†’ (π‘β€˜{𝑣}) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}))
152151eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (𝑣 = βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© β†’ ((π‘β€˜{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) ∈ ran 𝐼))
153152ralxp 5841 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑇 Γ— 𝐸)(π‘β€˜{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 βˆ€π‘  ∈ 𝐸 (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘ βŸ©}) ∈ ran 𝐼)
154149, 153sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆ€π‘£ ∈ (𝑇 Γ— 𝐸)(π‘β€˜{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
155154r19.21bi 3248 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸)) β†’ (π‘β€˜{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
15618, 155syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘β€˜{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
157 eleq1a 2828 . . . . 5 ((π‘β€˜{𝑣}) ∈ ran 𝐼 β†’ (𝐷 = (π‘β€˜{𝑣}) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐼))
158156, 157syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (𝐷 = (π‘β€˜{𝑣}) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐼))
159158rexlimdva 3155 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐷 = (π‘β€˜{𝑣}) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐼))
160159adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐷 = (π‘β€˜{𝑣}) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐼))
16111, 160mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148  {copab 5210   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  Rel wrel 5681   Fn wfn 6538  β€“1-1β†’wf1 6540  β€˜cfv 6543  β„©crio 7363  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  lecple 17203  occoc 17204  0gc0g 17384  invrcinvr 20200  LModclmod 20470  LSubSpclss 20541  LSpanclspn 20581  LVecclvec 20712  LSAtomsclsa 37839  OPcops 38037  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  trLctrl 39024  TEndoctendo 39618  DVecHcdvh 39944  DIsoBcdib 40004  DIsoCcdic 40038  DIsoHcdih 40094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713  df-lsatoms 37841  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tendo 39621  df-edring 39623  df-disoa 39895  df-dvech 39945  df-dib 40005  df-dic 40039  df-dih 40095
This theorem is referenced by:  dih1dimat  40196
  Copyright terms: Public domain W3C validator