Theorem islss4 20948

Description: A linear subspace is a subgroup which respects scalar multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
islss4.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
islss4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
islss4.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islss4.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
islss4.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islss4	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   · ,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝑈,𝑎,𝑏

Proof of Theorem islss4

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islss4.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 20943	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3		islss4.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		islss4.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		islss4.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
6	3, 4, 5, 1	lssvscl 20941	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)
7	6	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)
8	2, 7	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈))
9		islss4.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10	9	subgss 19094	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
11	10	ad2antrl 729	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
13	12	subg0cl 19101	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
14	13	ne0d 4283	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ≠ ∅)
15	14	ad2antrl 729	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ≠ ∅)
16		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
17	16	subgcl 19103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)
18	17	3exp 1120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → (𝑐 ∈ 𝑈 → ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)))
19	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → (𝑐 ∈ 𝑈 → ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)))
20	19	ralrimdv 3136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
21	20	ralimdv 3152	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → ∀𝑏 ∈ 𝑈 ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
22	21	ralimdv 3152	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
23	22	impr 454	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)
24	3, 5, 9, 16, 4, 1	islss 20920	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
25	11, 15, 23, 24	syl3anbrc 1345	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
26	8, 25	impbida 801	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  SubGrpcsubg 19087  LModclmod 20846  LSubSpclss 20917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20848  df-lss 20918

This theorem is referenced by:  lssacs  20953  lmhmima  21034  lmhmpreima  21035  lmhmeql  21042  lsmcl  21070  dsmmlss  21734  issubassa2  21882  mplind  22058  mhplss  22131  fedgmullem2  33790