MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islss4 20846
Description: A linear subspace is a subgroup which respects scalar multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
islss4.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
islss4.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
islss4.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
islss4.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
islss4.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islss4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ)))
Distinct variable groups:   𝐹,π‘Ž,𝑏   π‘Š,π‘Ž,𝑏   𝐡,π‘Ž,𝑏   𝑉,π‘Ž,𝑏   Β· ,π‘Ž,𝑏   𝑆,π‘Ž,𝑏   π‘ˆ,π‘Ž,𝑏

Proof of Theorem islss4
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss4.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
21lsssubg 20841 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
3 islss4.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 islss4.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
5 islss4.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
63, 4, 5, 1lssvscl 20839 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ)
76ralrimivva 3197 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ)
82, 7jca 511 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ))
9 islss4.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
109subgss 19082 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
1110ad2antrl 727 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
12 eqid 2728 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
1312subg0cl 19089 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ π‘ˆ)
1413ne0d 4336 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
1514ad2antrl 727 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
16 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
1716subgcl 19091 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏)(+gβ€˜π‘Š)𝑐) ∈ π‘ˆ)
18173exp 1117 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ β†’ (𝑐 ∈ π‘ˆ β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏)(+gβ€˜π‘Š)𝑐) ∈ π‘ˆ)))
1918adantl 481 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ β†’ (𝑐 ∈ π‘ˆ β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏)(+gβ€˜π‘Š)𝑐) ∈ π‘ˆ)))
2019ralrimdv 3149 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘Ž Β· 𝑏)(+gβ€˜π‘Š)𝑐) ∈ π‘ˆ))
2120ralimdv 3166 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘Ž Β· 𝑏)(+gβ€˜π‘Š)𝑐) ∈ π‘ˆ))
2221ralimdv 3166 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘Ž Β· 𝑏)(+gβ€˜π‘Š)𝑐) ∈ π‘ˆ))
2322impr 454 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘Ž Β· 𝑏)(+gβ€˜π‘Š)𝑐) ∈ π‘ˆ)
243, 5, 9, 16, 4, 1islss 20818 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘Ž Β· 𝑏)(+gβ€˜π‘Š)𝑐) ∈ π‘ˆ))
2511, 15, 23, 24syl3anbrc 1341 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
268, 25impbida 800 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  Scalarcsca 17236   ·𝑠 cvsca 17237  0gc0g 17421  SubGrpcsubg 19075  LModclmod 20743  LSubSpclss 20815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-lmod 20745  df-lss 20816
This theorem is referenced by:  lssacs  20851  lmhmima  20932  lmhmpreima  20933  lmhmeql  20940  lsmcl  20968  dsmmlss  21678  issubassa2  21825  mplind  22014  mhplss  22079  fedgmullem2  33328
  Copyright terms: Public domain W3C validator