Theorem lcfr 39599

Description: Reconstruction of a subspace from a dual subspace of functionals with closed kernels. Our proof was suggested by Mario Carneiro, 20-Feb-2015. (Contributed by NM, 5-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfr.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
lcfr.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfr.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfr.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
lcfr.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfr.q	⊢ 𝑄 = ∪ 𝑔 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
lcfr.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
lcfr.rs	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lcfr	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑔,𝐿   ⊥ ,𝑓,𝑔   𝑅,𝑔   𝑈,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓,𝑔)   𝑄(𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem lcfr

Dummy variables ℎ 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfr.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ∪ 𝑔 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
2		2fveq3 6779	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
3	2	cbviunv 4970	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑔 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) = ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ))
4	1, 3	eqtri 2766	. . 3 ⊢ 𝑄 = ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ))
5		lcfr.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
8		lcfr.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9		lcfr.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10		lcfr.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		lcfr.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12	10, 11, 5	dvhlmod 39124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → 𝑈 ∈ LMod)
14		lcfr.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
15		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
16		lcfr.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
17	15, 16	lssss 20198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑇 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
19		lcfr.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
20	8, 19, 15, 12	ldualvbase 37140	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
21	18, 20	sseqtrd 3961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐹)
22	21	sselda 3921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → ℎ ∈ 𝐹)
23	7, 8, 9, 13, 22	lkrssv 37110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → (𝐿‘ℎ) ⊆ (Base‘𝑈))
24		lcfr.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
25	10, 11, 7, 24	dochssv 39369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘ℎ) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
26	6, 23, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
27	26	ralrimiva 3103	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
28		iunss 4975	. . . 4 ⊢ (∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈) ↔ ∀ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
29	27, 28	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
30	4, 29	eqsstrid 3969	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
31	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
32	19, 12	lduallmod 37167	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
33		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
34	33, 16	lss0cl 20208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝑇) → (0g‘𝐷) ∈ 𝑅)
35	32, 14, 34	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐷) ∈ 𝑅)
36	8, 19, 33, 12	ldual0vcl 37165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐷) ∈ 𝐹)
37	7, 8, 9, 12, 36	lkrssv 37110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(0g‘𝐷)) ⊆ (Base‘𝑈))
38		lcfr.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
39	10, 11, 7, 38, 24	dochlss 39368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘(0g‘𝐷)) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))) ∈ 𝑆)
40	5, 37, 39	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))) ∈ 𝑆)
41		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
42	41, 38	lss0cl 20208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))) ∈ 𝑆) → (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))))
43	12, 40, 42	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))))
44		2fveq3 6779	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (0g‘𝐷) → ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))))
45	44	eleq2d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = (0g‘𝐷) → ((0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ↔ (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷)))))
46	45	rspcev 3561	. . . . . 6 ⊢ (((0g‘𝐷) ∈ 𝑅 ∧ (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷)))) → ∃ℎ ∈ 𝑅 (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
47	35, 43, 46	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝑅 (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
48		eliun 4928	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝑈) ∈ ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ↔ ∃ℎ ∈ 𝑅 (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
49	47, 48	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
50	49	ne0d 4269	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ≠ ∅)
51	31, 50	eqnetrd 3011	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ ∅)
52		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
53		lcfr.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
54		rabeq 3418	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = (LFnl‘𝑈) → {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
55	8, 54	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
56	53, 55	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
57	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
58	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑅 ∈ 𝑇)
59		lcfr.rs	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐶)
60	59	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑅 ⊆ 𝐶)
61		simpr2 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑎 ∈ 𝑄)
62		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
63		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
64		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
65		simpr1 1193	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
66	10, 24, 11, 7, 8, 9, 19, 16, 57, 58, 4, 61, 62, 63, 64, 65	lcfrlem5 39560	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎) ∈ 𝑄)
67		simpr3 1195	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑏 ∈ 𝑄)
68	10, 24, 11, 52, 8, 9, 19, 16, 56, 4, 57, 58, 60, 66, 67	lcfrlem42 39598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ 𝑄)
69	68	ralrimivvva 3127	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∀𝑎 ∈ 𝑄 ∀𝑏 ∈ 𝑄 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ 𝑄)
70	62, 63, 7, 52, 64, 38	islss 20196	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑆 ↔ (𝑄 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑄 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∀𝑎 ∈ 𝑄 ∀𝑏 ∈ 𝑄 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ 𝑄))
71	30, 51, 69, 70	syl3anbrc 1342	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ∪ ciun 4924  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LFnlclfn 37071  LKerclk 37099  LDualcld 37137  HLchlt 37364  LHypclh 37998  DVecHcdvh 39092  ocHcoch 39361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-lshyp 36991  df-lcv 37033  df-lfl 37072  df-lkr 37100  df-ldual 37138  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tgrp 38757  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-dveca 39017  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153  df-dic 39187  df-dih 39243  df-doch 39362  df-djh 39409

This theorem is referenced by:  mapdrval  39661  mapd1o  39662