Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfr 39578
Description: Reconstruction of a subspace from a dual subspace of functionals with closed kernels. Our proof was suggested by Mario Carneiro, 20-Feb-2015. (Contributed by NM, 5-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfr.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfr.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfr.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
lcfr.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfr.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfr.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfr.t 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
lcfr.c 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcfr.q 𝑄 = 𝑔𝑅 ( ‘(𝐿𝑔))
lcfr.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfr.r (𝜑𝑅𝑇)
lcfr.rs (𝜑𝑅𝐶)
Assertion
Ref Expression
lcfr (𝜑𝑄𝑆)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑔,𝐿   ,𝑓,𝑔   𝑅,𝑔   𝑈,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓,𝑔)   𝑄(𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem lcfr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfr.q . . . 4 𝑄 = 𝑔𝑅 ( ‘(𝐿𝑔))
2 2fveq3 6773 . . . . 5 (𝑔 = → ( ‘(𝐿𝑔)) = ( ‘(𝐿)))
32cbviunv 4974 . . . 4 𝑔𝑅 ( ‘(𝐿𝑔)) = 𝑅 ( ‘(𝐿))
41, 3eqtri 2767 . . 3 𝑄 = 𝑅 ( ‘(𝐿))
5 lcfr.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
65adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑅) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 eqid 2739 . . . . . . 7 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
8 lcfr.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9 lcfr.l . . . . . . 7 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10 lcfr.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 lcfr.u . . . . . . . . 9 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
1210, 11, 5dvhlmod 39103 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅) → 𝑈 ∈ LMod)
14 lcfr.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅𝑇)
15 eqid 2739 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
16 lcfr.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
1715, 16lssss 20179 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝑇𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
1814, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
19 lcfr.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (LDual‘𝑈)
208, 19, 15, 12ldualvbase 37119 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
2118, 20sseqtrd 3965 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅𝐹)
2221sselda 3925 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅) → 𝐹)
237, 8, 9, 13, 22lkrssv 37089 . . . . . 6 ((𝜑𝑅) → (𝐿) ⊆ (Base‘𝑈))
24 lcfr.o . . . . . . 7 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
2510, 11, 7, 24dochssv 39348 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ‘(𝐿)) ⊆ (Base‘𝑈))
266, 23, 25syl2anc 583 . . . . 5 ((𝜑𝑅) → ( ‘(𝐿)) ⊆ (Base‘𝑈))
2726ralrimiva 3109 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑅 ( ‘(𝐿)) ⊆ (Base‘𝑈))
28 iunss 4979 . . . 4 ( 𝑅 ( ‘(𝐿)) ⊆ (Base‘𝑈) ↔ ∀𝑅 ( ‘(𝐿)) ⊆ (Base‘𝑈))
2927, 28sylibr 233 . . 3 (𝜑 𝑅 ( ‘(𝐿)) ⊆ (Base‘𝑈))
304, 29eqsstrid 3973 . 2 (𝜑𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
314a1i 11 . . 3 (𝜑𝑄 = 𝑅 ( ‘(𝐿)))
3219, 12lduallmod 37146 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
33 eqid 2739 . . . . . . . 8 (0g𝐷) = (0g𝐷)
3433, 16lss0cl 20189 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑅𝑇) → (0g𝐷) ∈ 𝑅)
3532, 14, 34syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝐷) ∈ 𝑅)
368, 19, 33, 12ldual0vcl 37144 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g𝐷) ∈ 𝐹)
377, 8, 9, 12, 36lkrssv 37089 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿‘(0g𝐷)) ⊆ (Base‘𝑈))
38 lcfr.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
3910, 11, 7, 38, 24dochlss 39347 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿‘(0g𝐷)) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ‘(𝐿‘(0g𝐷))) ∈ 𝑆)
405, 37, 39syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ‘(𝐿‘(0g𝐷))) ∈ 𝑆)
41 eqid 2739 . . . . . . . 8 (0g𝑈) = (0g𝑈)
4241, 38lss0cl 20189 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘(𝐿‘(0g𝐷))) ∈ 𝑆) → (0g𝑈) ∈ ( ‘(𝐿‘(0g𝐷))))
4312, 40, 42syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑈) ∈ ( ‘(𝐿‘(0g𝐷))))
44 2fveq3 6773 . . . . . . . 8 ( = (0g𝐷) → ( ‘(𝐿)) = ( ‘(𝐿‘(0g𝐷))))
4544eleq2d 2825 . . . . . . 7 ( = (0g𝐷) → ((0g𝑈) ∈ ( ‘(𝐿)) ↔ (0g𝑈) ∈ ( ‘(𝐿‘(0g𝐷)))))
4645rspcev 3560 . . . . . 6 (((0g𝐷) ∈ 𝑅 ∧ (0g𝑈) ∈ ( ‘(𝐿‘(0g𝐷)))) → ∃𝑅 (0g𝑈) ∈ ( ‘(𝐿)))
4735, 43, 46syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑅 (0g𝑈) ∈ ( ‘(𝐿)))
48 eliun 4933 . . . . 5 ((0g𝑈) ∈ 𝑅 ( ‘(𝐿)) ↔ ∃𝑅 (0g𝑈) ∈ ( ‘(𝐿)))
4947, 48sylibr 233 . . . 4 (𝜑 → (0g𝑈) ∈ 𝑅 ( ‘(𝐿)))
5049ne0d 4274 . . 3 (𝜑 𝑅 ( ‘(𝐿)) ≠ ∅)
5131, 50eqnetrd 3012 . 2 (𝜑𝑄 ≠ ∅)
52 eqid 2739 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
53 lcfr.c . . . . 5 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
54 rabeq 3416 . . . . . 6 (𝐹 = (LFnl‘𝑈) → {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
558, 54ax-mp 5 . . . . 5 {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
5653, 55eqtri 2767 . . . 4 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
575adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎𝑄𝑏𝑄)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5814adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎𝑄𝑏𝑄)) → 𝑅𝑇)
59 lcfr.rs . . . . 5 (𝜑𝑅𝐶)
6059adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎𝑄𝑏𝑄)) → 𝑅𝐶)
61 simpr2 1193 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎𝑄𝑏𝑄)) → 𝑎𝑄)
62 eqid 2739 . . . . 5 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
63 eqid 2739 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
64 eqid 2739 . . . . 5 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
65 simpr1 1192 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎𝑄𝑏𝑄)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
6610, 24, 11, 7, 8, 9, 19, 16, 57, 58, 4, 61, 62, 63, 64, 65lcfrlem5 39539 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎𝑄𝑏𝑄)) → (𝑥( ·𝑠𝑈)𝑎) ∈ 𝑄)
67 simpr3 1194 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎𝑄𝑏𝑄)) → 𝑏𝑄)
6810, 24, 11, 52, 8, 9, 19, 16, 56, 4, 57, 58, 60, 66, 67lcfrlem42 39577 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎𝑄𝑏𝑄)) → ((𝑥( ·𝑠𝑈)𝑎)(+g𝑈)𝑏) ∈ 𝑄)
6968ralrimivvva 3117 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∀𝑎𝑄𝑏𝑄 ((𝑥( ·𝑠𝑈)𝑎)(+g𝑈)𝑏) ∈ 𝑄)
7062, 63, 7, 52, 64, 38islss 20177 . 2 (𝑄𝑆 ↔ (𝑄 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑄 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∀𝑎𝑄𝑏𝑄 ((𝑥( ·𝑠𝑈)𝑎)(+g𝑈)𝑏) ∈ 𝑄))
7130, 51, 69, 70syl3anbrc 1341 1 (𝜑𝑄𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  wne 2944  wral 3065  wrex 3066  {crab 3069  wss 3891  c0 4261   ciun 4929  cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893  +gcplusg 16943  Scalarcsca 16946   ·𝑠 cvsca 16947  0gc0g 17131  LModclmod 20104  LSubSpclss 20174  LFnlclfn 37050  LKerclk 37078  LDualcld 37116  HLchlt 37343  LHypclh 37977  DVecHcdvh 39071  ocHcoch 39340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-riotaBAD 36946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-tpos 8026  df-undef 8073  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-0g 17133  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-proset 17994  df-poset 18012  df-plt 18029  df-lub 18045  df-glb 18046  df-join 18047  df-meet 18048  df-p0 18124  df-p1 18125  df-lat 18131  df-clat 18198  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-submnd 18412  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-subg 18733  df-cntz 18904  df-oppg 18931  df-lsm 19222  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-oppr 19843  df-dvdsr 19864  df-unit 19865  df-invr 19895  df-dvr 19906  df-drng 19974  df-lmod 20106  df-lss 20175  df-lsp 20215  df-lvec 20346  df-lsatoms 36969  df-lshyp 36970  df-lcv 37012  df-lfl 37051  df-lkr 37079  df-ldual 37117  df-oposet 37169  df-ol 37171  df-oml 37172  df-covers 37259  df-ats 37260  df-atl 37291  df-cvlat 37315  df-hlat 37344  df-llines 37491  df-lplanes 37492  df-lvols 37493  df-lines 37494  df-psubsp 37496  df-pmap 37497  df-padd 37789  df-lhyp 37981  df-laut 37982  df-ldil 38097  df-ltrn 38098  df-trl 38152  df-tgrp 38736  df-tendo 38748  df-edring 38750  df-dveca 38996  df-disoa 39022  df-dvech 39072  df-dib 39132  df-dic 39166  df-dih 39222  df-doch 39341  df-djh 39388
This theorem is referenced by:  mapdrval  39640  mapd1o  39641
  Copyright terms: Public domain W3C validator