Theorem lcfr 39526

Description: Reconstruction of a subspace from a dual subspace of functionals with closed kernels. Our proof was suggested by Mario Carneiro, 20-Feb-2015. (Contributed by NM, 5-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfr.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
lcfr.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfr.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfr.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
lcfr.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfr.q	⊢ 𝑄 = ∪ 𝑔 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
lcfr.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
lcfr.rs	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lcfr	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑔,𝐿   ⊥ ,𝑓,𝑔   𝑅,𝑔   𝑈,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓,𝑔)   𝑄(𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem lcfr

Dummy variables ℎ 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfr.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ∪ 𝑔 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
2		2fveq3 6761	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
3	2	cbviunv 4966	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑔 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) = ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ))
4	1, 3	eqtri 2766	. . 3 ⊢ 𝑄 = ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ))
5		lcfr.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
8		lcfr.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9		lcfr.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10		lcfr.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		lcfr.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12	10, 11, 5	dvhlmod 39051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → 𝑈 ∈ LMod)
14		lcfr.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
15		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
16		lcfr.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
17	15, 16	lssss 20113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑇 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
19		lcfr.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
20	8, 19, 15, 12	ldualvbase 37067	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
21	18, 20	sseqtrd 3957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐹)
22	21	sselda 3917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → ℎ ∈ 𝐹)
23	7, 8, 9, 13, 22	lkrssv 37037	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → (𝐿‘ℎ) ⊆ (Base‘𝑈))
24		lcfr.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
25	10, 11, 7, 24	dochssv 39296	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘ℎ) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
26	6, 23, 25	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
27	26	ralrimiva 3107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
28		iunss 4971	. . . 4 ⊢ (∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈) ↔ ∀ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
29	27, 28	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
30	4, 29	eqsstrid 3965	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
31	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
32	19, 12	lduallmod 37094	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
33		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
34	33, 16	lss0cl 20123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝑇) → (0g‘𝐷) ∈ 𝑅)
35	32, 14, 34	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐷) ∈ 𝑅)
36	8, 19, 33, 12	ldual0vcl 37092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐷) ∈ 𝐹)
37	7, 8, 9, 12, 36	lkrssv 37037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(0g‘𝐷)) ⊆ (Base‘𝑈))
38		lcfr.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
39	10, 11, 7, 38, 24	dochlss 39295	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘(0g‘𝐷)) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))) ∈ 𝑆)
40	5, 37, 39	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))) ∈ 𝑆)
41		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
42	41, 38	lss0cl 20123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))) ∈ 𝑆) → (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))))
43	12, 40, 42	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))))
44		2fveq3 6761	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (0g‘𝐷) → ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))))
45	44	eleq2d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = (0g‘𝐷) → ((0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ↔ (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷)))))
46	45	rspcev 3552	. . . . . 6 ⊢ (((0g‘𝐷) ∈ 𝑅 ∧ (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷)))) → ∃ℎ ∈ 𝑅 (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
47	35, 43, 46	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝑅 (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
48		eliun 4925	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝑈) ∈ ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ↔ ∃ℎ ∈ 𝑅 (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
49	47, 48	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
50	49	ne0d 4266	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ≠ ∅)
51	31, 50	eqnetrd 3010	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ ∅)
52		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
53		lcfr.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
54		rabeq 3408	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = (LFnl‘𝑈) → {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
55	8, 54	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
56	53, 55	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
57	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
58	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑅 ∈ 𝑇)
59		lcfr.rs	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐶)
60	59	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑅 ⊆ 𝐶)
61		simpr2 1193	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑎 ∈ 𝑄)
62		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
63		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
64		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
65		simpr1 1192	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
66	10, 24, 11, 7, 8, 9, 19, 16, 57, 58, 4, 61, 62, 63, 64, 65	lcfrlem5 39487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎) ∈ 𝑄)
67		simpr3 1194	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑏 ∈ 𝑄)
68	10, 24, 11, 52, 8, 9, 19, 16, 56, 4, 57, 58, 60, 66, 67	lcfrlem42 39525	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ 𝑄)
69	68	ralrimivvva 3115	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∀𝑎 ∈ 𝑄 ∀𝑏 ∈ 𝑄 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ 𝑄)
70	62, 63, 7, 52, 64, 38	islss 20111	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑆 ↔ (𝑄 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑄 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∀𝑎 ∈ 𝑄 ∀𝑏 ∈ 𝑄 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ 𝑄))
71	30, 51, 69, 70	syl3anbrc 1341	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ∪ ciun 4921  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LFnlclfn 36998  LKerclk 37026  LDualcld 37064  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  ocHcoch 39288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-lshyp 36918  df-lcv 36960  df-lfl 36999  df-lkr 37027  df-ldual 37065  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289  df-djh 39336

This theorem is referenced by:  mapdrval  39588  mapd1o  39589