Theorem lcfr 40445

Description: Reconstruction of a subspace from a dual subspace of functionals with closed kernels. Our proof was suggested by Mario Carneiro, 20-Feb-2015. (Contributed by NM, 5-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfr.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
lcfr.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfr.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfr.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
lcfr.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfr.q	⊢ 𝑄 = ∪ 𝑔 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
lcfr.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
lcfr.rs	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lcfr	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑔,𝐿   ⊥ ,𝑓,𝑔   𝑅,𝑔   𝑈,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓,𝑔)   𝑄(𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem lcfr

Dummy variables ℎ 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfr.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ∪ 𝑔 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
2		2fveq3 6894	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
3	2	cbviunv 5043	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑔 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) = ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ))
4	1, 3	eqtri 2761	. . 3 ⊢ 𝑄 = ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ))
5		lcfr.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	5	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
8		lcfr.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9		lcfr.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10		lcfr.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		lcfr.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12	10, 11, 5	dvhlmod 39970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	12	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → 𝑈 ∈ LMod)
14		lcfr.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
15		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
16		lcfr.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
17	15, 16	lssss 20540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑇 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
19		lcfr.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
20	8, 19, 15, 12	ldualvbase 37985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
21	18, 20	sseqtrd 4022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐹)
22	21	sselda 3982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → ℎ ∈ 𝐹)
23	7, 8, 9, 13, 22	lkrssv 37955	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → (𝐿‘ℎ) ⊆ (Base‘𝑈))
24		lcfr.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
25	10, 11, 7, 24	dochssv 40215	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘ℎ) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
26	6, 23, 25	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
27	26	ralrimiva 3147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
28		iunss 5048	. . . 4 ⊢ (∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈) ↔ ∀ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
29	27, 28	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
30	4, 29	eqsstrid 4030	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
31	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
32	19, 12	lduallmod 38012	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
33		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
34	33, 16	lss0cl 20550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝑇) → (0g‘𝐷) ∈ 𝑅)
35	32, 14, 34	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐷) ∈ 𝑅)
36	8, 19, 33, 12	ldual0vcl 38010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐷) ∈ 𝐹)
37	7, 8, 9, 12, 36	lkrssv 37955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(0g‘𝐷)) ⊆ (Base‘𝑈))
38		lcfr.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
39	10, 11, 7, 38, 24	dochlss 40214	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘(0g‘𝐷)) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))) ∈ 𝑆)
40	5, 37, 39	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))) ∈ 𝑆)
41		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
42	41, 38	lss0cl 20550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))) ∈ 𝑆) → (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))))
43	12, 40, 42	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))))
44		2fveq3 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (0g‘𝐷) → ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))))
45	44	eleq2d 2820	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = (0g‘𝐷) → ((0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ↔ (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷)))))
46	45	rspcev 3613	. . . . . 6 ⊢ (((0g‘𝐷) ∈ 𝑅 ∧ (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷)))) → ∃ℎ ∈ 𝑅 (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
47	35, 43, 46	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝑅 (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
48		eliun 5001	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝑈) ∈ ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ↔ ∃ℎ ∈ 𝑅 (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
49	47, 48	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
50	49	ne0d 4335	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ≠ ∅)
51	31, 50	eqnetrd 3009	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ ∅)
52		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
53		lcfr.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
54		rabeq 3447	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = (LFnl‘𝑈) → {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
55	8, 54	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
56	53, 55	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
57	5	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
58	14	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑅 ∈ 𝑇)
59		lcfr.rs	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐶)
60	59	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑅 ⊆ 𝐶)
61		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑎 ∈ 𝑄)
62		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
63		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
64		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
65		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
66	10, 24, 11, 7, 8, 9, 19, 16, 57, 58, 4, 61, 62, 63, 64, 65	lcfrlem5 40406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎) ∈ 𝑄)
67		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑏 ∈ 𝑄)
68	10, 24, 11, 52, 8, 9, 19, 16, 56, 4, 57, 58, 60, 66, 67	lcfrlem42 40444	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ 𝑄)
69	68	ralrimivvva 3204	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∀𝑎 ∈ 𝑄 ∀𝑏 ∈ 𝑄 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ 𝑄)
70	62, 63, 7, 52, 64, 38	islss 20538	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑆 ↔ (𝑄 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑄 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∀𝑎 ∈ 𝑄 ∀𝑏 ∈ 𝑄 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ 𝑄))
71	30, 51, 69, 70	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ∪ ciun 4997  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141  +_gcplusg 17194  Scalarcsca 17197   ·_𝑠 cvsca 17198  0_gc0g 17382  LModclmod 20464  LSubSpclss 20535  LFnlclfn 37916  LKerclk 37944  LDualcld 37982  HLchlt 38209  LHypclh 38844  DVecHcdvh 39938  ocHcoch 40207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 37812

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-undef 8255  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-0g 17384  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-proset 18245  df-poset 18263  df-plt 18280  df-lub 18296  df-glb 18297  df-join 18298  df-meet 18299  df-p0 18375  df-p1 18376  df-lat 18382  df-clat 18449  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-subg 18998  df-cntz 19176  df-oppg 19205  df-lsm 19499  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-dvr 20208  df-drng 20310  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-lvec 20707  df-lsatoms 37835  df-lshyp 37836  df-lcv 37878  df-lfl 37917  df-lkr 37945  df-ldual 37983  df-oposet 38035  df-ol 38037  df-oml 38038  df-covers 38125  df-ats 38126  df-atl 38157  df-cvlat 38181  df-hlat 38210  df-llines 38358  df-lplanes 38359  df-lvols 38360  df-lines 38361  df-psubsp 38363  df-pmap 38364  df-padd 38656  df-lhyp 38848  df-laut 38849  df-ldil 38964  df-ltrn 38965  df-trl 39019  df-tgrp 39603  df-tendo 39615  df-edring 39617  df-dveca 39863  df-disoa 39889  df-dvech 39939  df-dib 39999  df-dic 40033  df-dih 40089  df-doch 40208  df-djh 40255

This theorem is referenced by:  mapdrval  40507  mapd1o  40508