Theorem lcfr 41707

Description: Reconstruction of a subspace from a dual subspace of functionals with closed kernels. Our proof was suggested by Mario Carneiro, 20-Feb-2015. (Contributed by NM, 5-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfr.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
lcfr.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfr.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfr.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
lcfr.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfr.q	⊢ 𝑄 = ∪ 𝑔 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
lcfr.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
lcfr.rs	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lcfr	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑔,𝐿   ⊥ ,𝑓,𝑔   𝑅,𝑔   𝑈,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓,𝑔)   𝑄(𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem lcfr

Dummy variables ℎ 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfr.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ∪ 𝑔 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
2		2fveq3 6835	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
3	2	cbviunv 4991	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑔 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) = ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ))
4	1, 3	eqtri 2756	. . 3 ⊢ 𝑄 = ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ))
5		lcfr.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
8		lcfr.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9		lcfr.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10		lcfr.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		lcfr.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12	10, 11, 5	dvhlmod 41232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → 𝑈 ∈ LMod)
14		lcfr.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
15		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
16		lcfr.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
17	15, 16	lssss 20873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑇 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
19		lcfr.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
20	8, 19, 15, 12	ldualvbase 39248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
21	18, 20	sseqtrd 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐹)
22	21	sselda 3930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → ℎ ∈ 𝐹)
23	7, 8, 9, 13, 22	lkrssv 39218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → (𝐿‘ℎ) ⊆ (Base‘𝑈))
24		lcfr.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
25	10, 11, 7, 24	dochssv 41477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘ℎ) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
26	6, 23, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
27	26	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
28		iunss 4997	. . . 4 ⊢ (∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈) ↔ ∀ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
29	27, 28	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
30	4, 29	eqsstrid 3969	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
31	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
32	19, 12	lduallmod 39275	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
33		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
34	33, 16	lss0cl 20884	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝑇) → (0g‘𝐷) ∈ 𝑅)
35	32, 14, 34	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐷) ∈ 𝑅)
36	8, 19, 33, 12	ldual0vcl 39273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐷) ∈ 𝐹)
37	7, 8, 9, 12, 36	lkrssv 39218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(0g‘𝐷)) ⊆ (Base‘𝑈))
38		lcfr.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
39	10, 11, 7, 38, 24	dochlss 41476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘(0g‘𝐷)) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))) ∈ 𝑆)
40	5, 37, 39	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))) ∈ 𝑆)
41		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
42	41, 38	lss0cl 20884	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))) ∈ 𝑆) → (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))))
43	12, 40, 42	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))))
44		2fveq3 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (0g‘𝐷) → ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))))
45	44	eleq2d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = (0g‘𝐷) → ((0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ↔ (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷)))))
46	45	rspcev 3573	. . . . . 6 ⊢ (((0g‘𝐷) ∈ 𝑅 ∧ (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷)))) → ∃ℎ ∈ 𝑅 (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
47	35, 43, 46	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝑅 (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
48		eliun 4947	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝑈) ∈ ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ↔ ∃ℎ ∈ 𝑅 (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
49	47, 48	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
50	49	ne0d 4291	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ≠ ∅)
51	31, 50	eqnetrd 2996	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ ∅)
52		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
53		lcfr.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
54		rabeq 3410	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = (LFnl‘𝑈) → {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
55	8, 54	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
56	53, 55	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
57	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
58	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑅 ∈ 𝑇)
59		lcfr.rs	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐶)
60	59	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑅 ⊆ 𝐶)
61		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑎 ∈ 𝑄)
62		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
63		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
64		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
65		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
66	10, 24, 11, 7, 8, 9, 19, 16, 57, 58, 4, 61, 62, 63, 64, 65	lcfrlem5 41668	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎) ∈ 𝑄)
67		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑏 ∈ 𝑄)
68	10, 24, 11, 52, 8, 9, 19, 16, 56, 4, 57, 58, 60, 66, 67	lcfrlem42 41706	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ 𝑄)
69	68	ralrimivvva 3179	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∀𝑎 ∈ 𝑄 ∀𝑏 ∈ 𝑄 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ 𝑄)
70	62, 63, 7, 52, 64, 38	islss 20871	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑆 ↔ (𝑄 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑄 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∀𝑎 ∈ 𝑄 ∀𝑏 ∈ 𝑄 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ 𝑄))
71	30, 51, 69, 70	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057  {crab 3396   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  ∪ ciun 4943  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  Basecbs 17124  +_gcplusg 17165  Scalarcsca 17168   ·_𝑠 cvsca 17169  0_gc0g 17347  LModclmod 20797  LSubSpclss 20868  LFnlclfn 39179  LKerclk 39207  LDualcld 39245  HLchlt 39472  LHypclh 40106  DVecHcdvh 41200  ocHcoch 41469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-riotaBAD 39075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-tpos 8164  df-undef 8211  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-map 8760  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-0g 17349  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-proset 18204  df-poset 18223  df-plt 18238  df-lub 18254  df-glb 18255  df-join 18256  df-meet 18257  df-p0 18333  df-p1 18334  df-lat 18342  df-clat 18409  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-submnd 18696  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19040  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-ring 20157  df-oppr 20259  df-dvdsr 20279  df-unit 20280  df-invr 20310  df-dvr 20323  df-nzr 20432  df-rlreg 20613  df-domn 20614  df-drng 20650  df-lmod 20799  df-lss 20869  df-lsp 20909  df-lvec 21041  df-lsatoms 39098  df-lshyp 39099  df-lcv 39141  df-lfl 39180  df-lkr 39208  df-ldual 39246  df-oposet 39298  df-ol 39300  df-oml 39301  df-covers 39388  df-ats 39389  df-atl 39420  df-cvlat 39444  df-hlat 39473  df-llines 39620  df-lplanes 39621  df-lvols 39622  df-lines 39623  df-psubsp 39625  df-pmap 39626  df-padd 39918  df-lhyp 40110  df-laut 40111  df-ldil 40226  df-ltrn 40227  df-trl 40281  df-tgrp 40865  df-tendo 40877  df-edring 40879  df-dveca 41125  df-disoa 41151  df-dvech 41201  df-dib 41261  df-dic 41295  df-dih 41351  df-doch 41470  df-djh 41517

This theorem is referenced by:  mapdrval  41769  mapd1o  41770