Theorem lcfr 41542

Description: Reconstruction of a subspace from a dual subspace of functionals with closed kernels. Our proof was suggested by Mario Carneiro, 20-Feb-2015. (Contributed by NM, 5-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfr.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
lcfr.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfr.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfr.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
lcfr.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfr.q	⊢ 𝑄 = ∪ 𝑔 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
lcfr.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
lcfr.rs	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lcfr	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑔,𝐿   ⊥ ,𝑓,𝑔   𝑅,𝑔   𝑈,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓,𝑔)   𝑄(𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem lcfr

Dummy variables ℎ 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfr.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ∪ 𝑔 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
2		2fveq3 6925	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
3	2	cbviunv 5063	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑔 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) = ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ))
4	1, 3	eqtri 2768	. . 3 ⊢ 𝑄 = ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ))
5		lcfr.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
8		lcfr.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9		lcfr.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10		lcfr.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		lcfr.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12	10, 11, 5	dvhlmod 41067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → 𝑈 ∈ LMod)
14		lcfr.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
15		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
16		lcfr.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
17	15, 16	lssss 20957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑇 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
19		lcfr.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
20	8, 19, 15, 12	ldualvbase 39082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
21	18, 20	sseqtrd 4049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐹)
22	21	sselda 4008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → ℎ ∈ 𝐹)
23	7, 8, 9, 13, 22	lkrssv 39052	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → (𝐿‘ℎ) ⊆ (Base‘𝑈))
24		lcfr.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
25	10, 11, 7, 24	dochssv 41312	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘ℎ) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
26	6, 23, 25	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑅) → ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
27	26	ralrimiva 3152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
28		iunss 5068	. . . 4 ⊢ (∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈) ↔ ∀ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
29	27, 28	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ⊆ (Base‘𝑈))
30	4, 29	eqsstrid 4057	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
31	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
32	19, 12	lduallmod 39109	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
33		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
34	33, 16	lss0cl 20968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝑇) → (0g‘𝐷) ∈ 𝑅)
35	32, 14, 34	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐷) ∈ 𝑅)
36	8, 19, 33, 12	ldual0vcl 39107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐷) ∈ 𝐹)
37	7, 8, 9, 12, 36	lkrssv 39052	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(0g‘𝐷)) ⊆ (Base‘𝑈))
38		lcfr.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
39	10, 11, 7, 38, 24	dochlss 41311	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘(0g‘𝐷)) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))) ∈ 𝑆)
40	5, 37, 39	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))) ∈ 𝑆)
41		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
42	41, 38	lss0cl 20968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))) ∈ 𝑆) → (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))))
43	12, 40, 42	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))))
44		2fveq3 6925	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (0g‘𝐷) → ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷))))
45	44	eleq2d 2830	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = (0g‘𝐷) → ((0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ↔ (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷)))))
46	45	rspcev 3635	. . . . . 6 ⊢ (((0g‘𝐷) ∈ 𝑅 ∧ (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘(0g‘𝐷)))) → ∃ℎ ∈ 𝑅 (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
47	35, 43, 46	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝑅 (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
48		eliun 5019	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝑈) ∈ ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ↔ ∃ℎ ∈ 𝑅 (0g‘𝑈) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
49	47, 48	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)))
50	49	ne0d 4365	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ℎ ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘ℎ)) ≠ ∅)
51	31, 50	eqnetrd 3014	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ ∅)
52		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
53		lcfr.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
54		rabeq 3458	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = (LFnl‘𝑈) → {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
55	8, 54	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
56	53, 55	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
57	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
58	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑅 ∈ 𝑇)
59		lcfr.rs	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐶)
60	59	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑅 ⊆ 𝐶)
61		simpr2 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑎 ∈ 𝑄)
62		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
63		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
64		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
65		simpr1 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
66	10, 24, 11, 7, 8, 9, 19, 16, 57, 58, 4, 61, 62, 63, 64, 65	lcfrlem5 41503	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎) ∈ 𝑄)
67		simpr3 1196	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → 𝑏 ∈ 𝑄)
68	10, 24, 11, 52, 8, 9, 19, 16, 56, 4, 57, 58, 60, 66, 67	lcfrlem42 41541	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑄 ∧ 𝑏 ∈ 𝑄)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ 𝑄)
69	68	ralrimivvva 3211	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∀𝑎 ∈ 𝑄 ∀𝑏 ∈ 𝑄 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ 𝑄)
70	62, 63, 7, 52, 64, 38	islss 20955	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑆 ↔ (𝑄 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑄 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∀𝑎 ∈ 𝑄 ∀𝑏 ∈ 𝑄 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ 𝑄))
71	30, 51, 69, 70	syl3anbrc 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ∪ ciun 5015  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  LFnlclfn 39013  LKerclk 39041  LDualcld 39079  HLchlt 39306  LHypclh 39941  DVecHcdvh 41035  ocHcoch 41304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-riotaBAD 38909

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-undef 8314  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17501  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-nzr 20539  df-rlreg 20716  df-domn 20717  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125  df-lsatoms 38932  df-lshyp 38933  df-lcv 38975  df-lfl 39014  df-lkr 39042  df-ldual 39080  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456  df-lvols 39457  df-lines 39458  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116  df-tgrp 40700  df-tendo 40712  df-edring 40714  df-dveca 40960  df-disoa 40986  df-dvech 41036  df-dib 41096  df-dic 41130  df-dih 41186  df-doch 41305  df-djh 41352

This theorem is referenced by:  mapdrval  41604  mapd1o  41605