Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkr 38845
 Description: The set of functionals with closed kernels is a subspace. Part of proof of Theorem 3.6 of [Holland95] p. 218, line 20, stating "The fM that arise this way generate a subspace F of E'". Our proof was suggested by Mario Carneiro, 5-Jan-2015. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkr.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkr.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkr.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkr.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkr.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkr.s 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
lclkr.c 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lclkr.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
lclkr (𝜑𝐶𝑆)
Distinct variable groups:   ,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿   𝑈,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lclkr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4007 . . . 4 {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} ⊆ 𝐹
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} ⊆ 𝐹)
3 lclkr.c . . . 4 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
5 lclkr.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6 lclkr.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑈)
7 eqid 2798 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
8 lclkr.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 lclkr.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 lclkr.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
118, 9, 10dvhlmod 38422 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
125, 6, 7, 11ldualvbase 36438 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
132, 4, 123sstr4d 3962 . 2 (𝜑𝐶 ⊆ (Base‘𝐷))
14 eqid 2798 . . . . . 6 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
15 eqid 2798 . . . . . 6 (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
16 eqid 2798 . . . . . 6 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
1714, 15, 16, 5lfl0f 36381 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐹)
1811, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐹)
19 lclkr.o . . . . . 6 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
208, 9, 19, 16, 10dochoc1 38673 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘( ‘(Base‘𝑈))) = (Base‘𝑈))
21 eqid 2798 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) = ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})
22 lclkr.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (LKer‘𝑈)
2314, 15, 16, 5, 22lkr0f 36406 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐹) → ((𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) = (Base‘𝑈) ↔ ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) = ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))
2411, 17, 23syl2anc2 588 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) = (Base‘𝑈) ↔ ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) = ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))
2521, 24mpbiri 261 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) = (Base‘𝑈))
2625fveq2d 6649 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))) = ( ‘(Base‘𝑈)))
2726fveq2d 6649 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))) = ( ‘( ‘(Base‘𝑈))))
2820, 27, 253eqtr4d 2843 . . . 4 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))) = (𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))
293lcfl1lem 38803 . . . 4 (((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐶 ↔ (((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐹 ∧ ( ‘( ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))) = (𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))))
3018, 28, 29sylanbrc 586 . . 3 (𝜑 → ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐶)
3130ne0d 4251 . 2 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
32 eqid 2798 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
3310adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎𝐶𝑏𝐶)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
34 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
35 eqid 2798 . . . . 5 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
36 simpr1 1191 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎𝐶𝑏𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
37 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
38 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
3914, 34, 6, 37, 38, 11ldualsbase 36445 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
4039adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎𝐶𝑏𝐶)) → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
4136, 40eleqtrd 2892 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎𝐶𝑏𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
42 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎𝐶𝑏𝐶)) → 𝑎𝐶)
438, 19, 9, 5, 22, 6, 14, 34, 35, 3, 33, 41, 42lclkrlem1 38818 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎𝐶𝑏𝐶)) → (𝑥( ·𝑠𝐷)𝑎) ∈ 𝐶)
44 simpr3 1193 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎𝐶𝑏𝐶)) → 𝑏𝐶)
458, 19, 9, 5, 22, 6, 32, 3, 33, 43, 44lclkrlem2 38844 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎𝐶𝑏𝐶)) → ((𝑥( ·𝑠𝐷)𝑎)(+g𝐷)𝑏) ∈ 𝐶)
4645ralrimivvva 3157 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))∀𝑎𝐶𝑏𝐶 ((𝑥( ·𝑠𝐷)𝑎)(+g𝐷)𝑏) ∈ 𝐶)
47 lclkr.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
4837, 38, 7, 32, 35, 47islss 19702 . 2 (𝐶𝑆 ↔ (𝐶 ⊆ (Base‘𝐷) ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))∀𝑎𝐶𝑏𝐶 ((𝑥( ·𝑠𝐷)𝑎)(+g𝐷)𝑏) ∈ 𝐶))
4913, 31, 46, 48syl3anbrc 1340 1 (𝜑𝐶𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  {crab 3110   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525   × cxp 5517  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16477  +gcplusg 16559  Scalarcsca 16562   ·𝑠 cvsca 16563  0gc0g 16707  LModclmod 19630  LSubSpclss 19699  LFnlclfn 36369  LKerclk 36397  LDualcld 36435  HLchlt 36662  LHypclh 37296  DVecHcdvh 38390  ocHcoch 38659 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-riotaBAD 36265 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7390  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-tpos 7877  df-undef 7924  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-fz 12888  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-0g 16709  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-oppg 18469  df-lsm 18756  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19500  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-lvec 19871  df-lsatoms 36288  df-lshyp 36289  df-lcv 36331  df-lfl 36370  df-lkr 36398  df-ldual 36436  df-oposet 36488  df-ol 36490  df-oml 36491  df-covers 36578  df-ats 36579  df-atl 36610  df-cvlat 36634  df-hlat 36663  df-llines 36810  df-lplanes 36811  df-lvols 36812  df-lines 36813  df-psubsp 36815  df-pmap 36816  df-padd 37108  df-lhyp 37300  df-laut 37301  df-ldil 37416  df-ltrn 37417  df-trl 37471  df-tgrp 38055  df-tendo 38067  df-edring 38069  df-dveca 38315  df-disoa 38341  df-dvech 38391  df-dib 38451  df-dic 38485  df-dih 38541  df-doch 38660  df-djh 38707 This theorem is referenced by:  lcdlvec  38903  lcd0v  38923  lcdlss  38931  lcdlsp  38933  mapdunirnN  38962
 Copyright terms: Public domain W3C validator