Theorem lclkr 40342

Description: The set of functionals with closed kernels is a subspace. Part of proof of Theorem 3.6 of [Holland95] p. 218, line 20, stating "The f_M that arise this way generate a subspace F of E'". Our proof was suggested by Mario Carneiro, 5-Jan-2015. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkr.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkr.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkr.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
lclkr.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lclkr.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lclkr	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   ⊥ ,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿   𝑈,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lclkr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4076	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} ⊆ 𝐹
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} ⊆ 𝐹)
3		lclkr.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
5		lclkr.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		lclkr.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
7		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
8		lclkr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		lclkr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		lclkr.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	8, 9, 10	dvhlmod 39919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12	5, 6, 7, 11	ldualvbase 37934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
13	2, 4, 12	3sstr4d 4028	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ (Base‘𝐷))
14		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
15		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
16		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
17	14, 15, 16, 5	lfl0f 37877	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐹)
18	11, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐹)
19		lclkr.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
20	8, 9, 19, 16, 10	dochoc1 40170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(Base‘𝑈))) = (Base‘𝑈))
21		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) = ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})
22		lclkr.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
23	14, 15, 16, 5, 22	lkr0f 37902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐹) → ((𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) = (Base‘𝑈) ↔ ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) = ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))
24	11, 17, 23	syl2anc2 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) = (Base‘𝑈) ↔ ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) = ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))
25	21, 24	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) = (Base‘𝑈))
26	25	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))) = ( ⊥ ‘(Base‘𝑈)))
27	26	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(Base‘𝑈))))
28	20, 27, 25	3eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))) = (𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))
29	3	lcfl1lem 40300	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐶 ↔ (((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐹 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))) = (𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))))
30	18, 28, 29	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐶)
31	30	ne0d 4334	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅)
32		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
33	10	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
34		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
35		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
36		simpr1 1195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
37		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
38		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
39	14, 34, 6, 37, 38, 11	ldualsbase 37941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
40	39	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
41	36, 40	eleqtrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
42		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑎 ∈ 𝐶)
43	8, 19, 9, 5, 22, 6, 14, 34, 35, 3, 33, 41, 42	lclkrlem1 40315	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐷)𝑎) ∈ 𝐶)
44		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑏 ∈ 𝐶)
45	8, 19, 9, 5, 22, 6, 32, 3, 33, 43, 44	lclkrlem2 40341	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐷)𝑎)(+g‘𝐷)𝑏) ∈ 𝐶)
46	45	ralrimivvva 3204	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐷)𝑎)(+g‘𝐷)𝑏) ∈ 𝐶)
47		lclkr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
48	37, 38, 7, 32, 35, 47	islss 20533	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 ↔ (𝐶 ⊆ (Base‘𝐷) ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐷)𝑎)(+g‘𝐷)𝑏) ∈ 𝐶))
49	13, 31, 46, 48	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  {crab 3433   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  {csn 4627   × cxp 5673  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381  LModclmod 20459  LSubSpclss 20530  LFnlclfn 37865  LKerclk 37893  LDualcld 37931  HLchlt 38158  LHypclh 38793  DVecHcdvh 39887  ocHcoch 40156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37761

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-oppg 19203  df-lsm 19497  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-dvr 20204  df-drng 20306  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-lsp 20571  df-lvec 20702  df-lsatoms 37784  df-lshyp 37785  df-lcv 37827  df-lfl 37866  df-lkr 37894  df-ldual 37932  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-llines 38307  df-lplanes 38308  df-lvols 38309  df-lines 38310  df-psubsp 38312  df-pmap 38313  df-padd 38605  df-lhyp 38797  df-laut 38798  df-ldil 38913  df-ltrn 38914  df-trl 38968  df-tgrp 39552  df-tendo 39564  df-edring 39566  df-dveca 39812  df-disoa 39838  df-dvech 39888  df-dib 39948  df-dic 39982  df-dih 40038  df-doch 40157  df-djh 40204

This theorem is referenced by:  lcdlvec  40400  lcd0v  40420  lcdlss  40428  lcdlsp  40430  mapdunirnN  40459