Theorem islidl 21351

Description: Predicate of being a (left) ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islidl.s	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
islidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
islidl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
islidl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islidl	⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝐼,𝑎,𝑏,𝑥   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎, 𝑏)   + (𝑥, 𝑎, 𝑏)   · (𝑥, 𝑎, 𝑏)   𝑈(𝑥, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem islidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmsca2 21331	. 2 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
2		baseid 17278	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
3		islidl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	strfvi 17256	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘( I ‘𝑅))
5		rlmbas 21325	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
6	3, 5	eqtri 2785	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
7		islidl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
8		rlmplusg 21326	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
9	7, 8	eqtri 2785	. 2 ⊢ + = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
10		islidl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		rlmvsca 21332	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
12	10, 11	eqtri 2785	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
13		islidl.s	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
14		lidlval 21345	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
15	13, 14	eqtri 2785	. 2 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
16	1, 4, 6, 9, 12, 15	islss 21066	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   I cid 5554  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ndxcnx 17259  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  ._rcmulr 17317   ·_𝑠 cvsca 17320  LSubSpclss 21063  ringLModcrglmod 21304  LIdealclidl 21341

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-lss 21064  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343

This theorem is used by:  rnglidlmcl  21352  dflidl2rng  21354  rnglidl0  21366  rnglidl1  21369  unichnlidl  21373  rhmpreimaidl  21427  ssdifidllem  21495  intlidl  33737  idlinsubrg  33748  rhmimaidl  33749  ssmxidllem  33765  opprlidlabs  33776  dflringlem2  33794  hbtlem2  43879  2zlidl  49033