Theorem islidl 20395

Description: Predicate of being a (left) ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islidl.s	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
islidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
islidl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
islidl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islidl	⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝐼,𝑎,𝑏,𝑥   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑥,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmsca2 20384	. 2 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
2		baseid 16843	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
3		islidl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	strfvi 16819	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘( I ‘𝑅))
5		rlmbas 20378	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
6	3, 5	eqtri 2766	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
7		islidl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
8		rlmplusg 20379	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
9	7, 8	eqtri 2766	. 2 ⊢ + = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
10		islidl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		rlmvsca 20385	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
12	10, 11	eqtri 2766	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
13		islidl.s	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
14		lidlval 20375	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
15	13, 14	eqtri 2766	. 2 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
16	1, 4, 6, 9, 12, 15	islss 20111	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   I cid 5479  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889   ·_𝑠 cvsca 16892  LSubSpclss 20108  ringLModcrglmod 20346  LIdealclidl 20347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-lidl 20351

This theorem is referenced by:  intlidl  31504  rhmpreimaidl  31505  idlinsubrg  31510  rhmimaidl  31511  ssmxidllem  31543  hbtlem2  40865  2zlidl  45380