Theorem islidl 21319

Description: Predicate of being a (left) ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islidl.s	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
islidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
islidl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
islidl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islidl	⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝐼,𝑎,𝑏,𝑥   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑥,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmsca2 21299	. 2 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
2		baseid 17271	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
3		islidl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	strfvi 17249	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘( I ‘𝑅))
5		rlmbas 21293	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
6	3, 5	eqtri 2784	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
7		islidl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
8		rlmplusg 21294	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
9	7, 8	eqtri 2784	. 2 ⊢ + = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
10		islidl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		rlmvsca 21300	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
12	10, 11	eqtri 2784	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
13		islidl.s	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
14		lidlval 21313	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
15	13, 14	eqtri 2784	. 2 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
16	1, 4, 6, 9, 12, 15	islss 21034	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   I cid 5555  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ndxcnx 17252  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  ._rcmulr 17310   ·_𝑠 cvsca 17313  LSubSpclss 21031  ringLModcrglmod 21272  LIdealclidl 21309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-lss 21032  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-lidl 21311

This theorem is referenced by:  rnglidlmcl  21320  dflidl2rng  21322  rnglidl0  21334  rnglidl1  21337  unichnlidl  21341  rhmpreimaidl  21395  ssdifidllem  21463  intlidl  33694  idlinsubrg  33705  rhmimaidl  33706  ssmxidllem  33722  opprlidlabs  33733  dflringlem2  33751  hbtlem2  43799  2zlidl  48950