Theorem islidl 21145

Description: Predicate of being a (left) ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islidl.s	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
islidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
islidl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
islidl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islidl	⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝐼,𝑎,𝑏,𝑥   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑥,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmsca2 21126	. 2 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
2		baseid 17115	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
3		islidl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	strfvi 17093	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘( I ‘𝑅))
5		rlmbas 21120	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
6	3, 5	eqtri 2753	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
7		islidl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
8		rlmplusg 21121	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
9	7, 8	eqtri 2753	. 2 ⊢ + = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
10		islidl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		rlmvsca 21127	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
12	10, 11	eqtri 2753	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
13		islidl.s	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
14		lidlval 21140	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
15	13, 14	eqtri 2753	. 2 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
16	1, 4, 6, 9, 12, 15	islss 20860	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∀wral 3045   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   I cid 5508  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ndxcnx 17096  Basecbs 17112  +_gcplusg 17153  ._rcmulr 17154   ·_𝑠 cvsca 17157  LSubSpclss 20857  ringLModcrglmod 21099  LIdealclidl 21136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-lss 20858  df-sra 21100  df-rgmod 21101  df-lidl 21138

This theorem is referenced by:  rnglidlmcl  21146  dflidl2rng  21148  rnglidl0  21159  rnglidl1  21162  rhmpreimaidl  21207  intlidl  33375  idlinsubrg  33386  rhmimaidl  33387  ssdifidllem  33411  ssmxidllem  33428  opprlidlabs  33440  hbtlem2  43136  2zlidl  48250