Theorem lclkrs 40115

Description: The set of functionals having closed kernels and majorizing the orthocomplement of a given subspace 𝑅 is a subspace of the dual space. TODO: This proof repeats large parts of the lclkr 40109 proof. Do we achieve overall shortening by breaking them out as subtheorems? Or make lclkr 40109 a special case of this? (Contributed by NM, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrs.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrs.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrs.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrs.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
lclkrs.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrs.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrs.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrs.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
lclkrs.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑅)}
lclkrs.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrs.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lclkrs	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿   𝑅,𝑓   𝑈,𝑓   ⊥ ,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lclkrs

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4064	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑅)} ⊆ 𝐹
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑅)} ⊆ 𝐹)
3		lclkrs.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑅)}
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑅)})
5		lclkrs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		lclkrs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
8		lclkrs.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		lclkrs.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		lclkrs.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	8, 9, 10	dvhlmod 39686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12	5, 6, 7, 11	ldualvbase 37701	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
13	2, 4, 12	3sstr4d 4016	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ (Base‘𝐷))
14		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
15		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
16		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
17	14, 15, 16, 5	lfl0f 37644	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐹)
18	11, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐹)
19		lclkrs.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
20	8, 9, 19, 16, 10	dochoc1 39937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(Base‘𝑈))) = (Base‘𝑈))
21		eqidd 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) = ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))
22		lclkrs.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
23	14, 15, 16, 5, 22	lkr0f 37669	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐹) → ((𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) = (Base‘𝑈) ↔ ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) = ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))
24	11, 18, 23	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) = (Base‘𝑈) ↔ ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) = ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))
25	21, 24	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) = (Base‘𝑈))
26	25	fveq2d 6873	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))) = ( ⊥ ‘(Base‘𝑈)))
27	26	fveq2d 6873	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(Base‘𝑈))))
28	20, 27, 25	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))) = (𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))
29		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
30	8, 9, 19, 16, 29	doch1 39935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘(Base‘𝑈)) = {(0g‘𝑈)})
31	10, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(Base‘𝑈)) = {(0g‘𝑈)})
32	26, 31	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))) = {(0g‘𝑈)})
33		lclkrs.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
34		lclkrs.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
35	29, 34	lss0ss 20488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) → {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑅)
36	11, 33, 35	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑅)
37	32, 36	eqsstrd 4007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))) ⊆ 𝑅)
38	3	lcfls1lem 40110	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐶 ↔ (((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐹 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))) = (𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))) ⊆ 𝑅))
39	18, 28, 37, 38	syl3anbrc 1343	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐶)
40	39	ne0d 4322	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅)
41		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
42		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
43	10	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
44	33	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
45		simpr3 1196	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑏 ∈ 𝐶)
46		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
47		simpr2 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑎 ∈ 𝐶)
48		simpr1 1194	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
49		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
50		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
51	14, 41, 6, 49, 50, 11	ldualsbase 37708	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
52	51	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
53	48, 52	eleqtrd 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
54	8, 19, 9, 34, 5, 22, 6, 14, 41, 42, 3, 43, 44, 47, 53	lclkrslem1 40113	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐷)𝑎) ∈ 𝐶)
55	8, 19, 9, 34, 5, 22, 6, 14, 41, 42, 3, 43, 44, 45, 46, 54	lclkrslem2 40114	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐷)𝑎)(+g‘𝐷)𝑏) ∈ 𝐶)
56	55	ralrimivvva 3202	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐷)𝑎)(+g‘𝐷)𝑏) ∈ 𝐶)
57		lclkrs.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
58	49, 50, 7, 46, 42, 57	islss 20474	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑇 ↔ (𝐶 ⊆ (Base‘𝐷) ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐷)𝑎)(+g‘𝐷)𝑏) ∈ 𝐶))
59	13, 40, 56, 58	syl3anbrc 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  {crab 3425   ⊆ wss 3935  ∅c0 4309  {csn 4613   × cxp 5658  ‘cfv 6523  (class class class)co 7384  Basecbs 17116  +_gcplusg 17169  Scalarcsca 17172   ·_𝑠 cvsca 17173  0_gc0g 17357  LModclmod 20400  LSubSpclss 20471  LFnlclfn 37632  LKerclk 37660  LDualcld 37698  HLchlt 37925  LHypclh 38560  DVecHcdvh 39654  ocHcoch 39923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5269  ax-sep 5283  ax-nul 5290  ax-pow 5347  ax-pr 5411  ax-un 7699  ax-cnex 11138  ax-resscn 11139  ax-1cn 11140  ax-icn 11141  ax-addcl 11142  ax-addrcl 11143  ax-mulcl 11144  ax-mulrcl 11145  ax-mulcom 11146  ax-addass 11147  ax-mulass 11148  ax-distr 11149  ax-i2m1 11150  ax-1ne0 11151  ax-1rid 11152  ax-rnegex 11153  ax-rrecex 11154  ax-cnre 11155  ax-pre-lttri 11156  ax-pre-lttrn 11157  ax-pre-ltadd 11158  ax-pre-mulgt0 11159  ax-riotaBAD 37528

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3426  df-v 3468  df-sbc 3765  df-csb 3881  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4310  df-if 4514  df-pw 4589  df-sn 4614  df-pr 4616  df-tp 4618  df-op 4620  df-uni 4893  df-int 4935  df-iun 4983  df-iin 4984  df-br 5133  df-opab 5195  df-mpt 5216  df-tr 5250  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6280  df-ord 6347  df-on 6348  df-lim 6349  df-suc 6350  df-iota 6475  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7340  df-ov 7387  df-oprab 7388  df-mpo 7389  df-of 7644  df-om 7830  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-tpos 8184  df-undef 8231  df-frecs 8239  df-wrecs 8270  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8677  df-map 8796  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-pnf 11222  df-mnf 11223  df-xr 11224  df-ltxr 11225  df-le 11226  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12185  df-2 12247  df-3 12248  df-4 12249  df-5 12250  df-6 12251  df-n0 12445  df-z 12531  df-uz 12795  df-fz 13457  df-struct 17052  df-sets 17069  df-slot 17087  df-ndx 17099  df-base 17117  df-ress 17146  df-plusg 17182  df-mulr 17183  df-sca 17185  df-vsca 17186  df-0g 17359  df-mre 17502  df-mrc 17503  df-acs 17505  df-proset 18220  df-poset 18238  df-plt 18255  df-lub 18271  df-glb 18272  df-join 18273  df-meet 18274  df-p0 18350  df-p1 18351  df-lat 18357  df-clat 18424  df-mgm 18533  df-sgrp 18582  df-mnd 18593  df-submnd 18638  df-grp 18787  df-minusg 18788  df-sbg 18789  df-subg 18961  df-cntz 19133  df-oppg 19160  df-lsm 19454  df-cmn 19600  df-abl 19601  df-mgp 19933  df-ur 19950  df-ring 20002  df-oppr 20085  df-dvdsr 20106  df-unit 20107  df-invr 20137  df-dvr 20148  df-drng 20249  df-lmod 20402  df-lss 20472  df-lsp 20512  df-lvec 20643  df-lsatoms 37551  df-lshyp 37552  df-lcv 37594  df-lfl 37633  df-lkr 37661  df-ldual 37699  df-oposet 37751  df-ol 37753  df-oml 37754  df-covers 37841  df-ats 37842  df-atl 37873  df-cvlat 37897  df-hlat 37926  df-llines 38074  df-lplanes 38075  df-lvols 38076  df-lines 38077  df-psubsp 38079  df-pmap 38080  df-padd 38372  df-lhyp 38564  df-laut 38565  df-ldil 38680  df-ltrn 38681  df-trl 38735  df-tgrp 39319  df-tendo 39331  df-edring 39333  df-dveca 39579  df-disoa 39605  df-dvech 39655  df-dib 39715  df-dic 39749  df-dih 39805  df-doch 39924  df-djh 39971

This theorem is referenced by:  lclkrs2  40116  mapddlssN  40216