Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrs 38780
Description: The set of functionals having closed kernels and majorizing the orthocomplement of a given subspace 𝑅 is a subspace of the dual space. TODO: This proof repeats large parts of the lclkr 38774 proof. Do we achieve overall shortening by breaking them out as subtheorems? Or make lclkr 38774 a special case of this? (Contributed by NM, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrs.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrs.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrs.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrs.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
lclkrs.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrs.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrs.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrs.t 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
lclkrs.c 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ (( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ( ‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑅)}
lclkrs.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrs.r (𝜑𝑅𝑆)
Assertion
Ref Expression
lclkrs (𝜑𝐶𝑇)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿   𝑅,𝑓   𝑈,𝑓   ,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lclkrs
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4042 . . . 4 {𝑓𝐹 ∣ (( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ( ‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑅)} ⊆ 𝐹
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑓𝐹 ∣ (( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ( ‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑅)} ⊆ 𝐹)
3 lclkrs.c . . . 4 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ (( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ( ‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑅)}
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ (( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ( ‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑅)})
5 lclkrs.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6 lclkrs.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑈)
7 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
8 lclkrs.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 lclkrs.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 lclkrs.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
118, 9, 10dvhlmod 38351 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
125, 6, 7, 11ldualvbase 36367 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
132, 4, 123sstr4d 4000 . 2 (𝜑𝐶 ⊆ (Base‘𝐷))
14 eqid 2824 . . . . . 6 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
15 eqid 2824 . . . . . 6 (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
16 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
1714, 15, 16, 5lfl0f 36310 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐹)
1811, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐹)
19 lclkrs.o . . . . . 6 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
208, 9, 19, 16, 10dochoc1 38602 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘( ‘(Base‘𝑈))) = (Base‘𝑈))
21 eqidd 2825 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) = ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))
22 lclkrs.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (LKer‘𝑈)
2314, 15, 16, 5, 22lkr0f 36335 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐹) → ((𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) = (Base‘𝑈) ↔ ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) = ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))
2411, 18, 23syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) = (Base‘𝑈) ↔ ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) = ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))
2521, 24mpbird 260 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) = (Base‘𝑈))
2625fveq2d 6665 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))) = ( ‘(Base‘𝑈)))
2726fveq2d 6665 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))) = ( ‘( ‘(Base‘𝑈))))
2820, 27, 253eqtr4d 2869 . . . 4 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))) = (𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))
29 eqid 2824 . . . . . . . 8 (0g𝑈) = (0g𝑈)
308, 9, 19, 16, 29doch1 38600 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( ‘(Base‘𝑈)) = {(0g𝑈)})
3110, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘(Base‘𝑈)) = {(0g𝑈)})
3226, 31eqtrd 2859 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))) = {(0g𝑈)})
33 lclkrs.r . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑆)
34 lclkrs.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
3529, 34lss0ss 19720 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑅𝑆) → {(0g𝑈)} ⊆ 𝑅)
3611, 33, 35syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → {(0g𝑈)} ⊆ 𝑅)
3732, 36eqsstrd 3991 . . . 4 (𝜑 → ( ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))) ⊆ 𝑅)
383lcfls1lem 38775 . . . 4 (((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐶 ↔ (((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐹 ∧ ( ‘( ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))) = (𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ ( ‘(𝐿‘((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))) ⊆ 𝑅))
3918, 28, 37, 38syl3anbrc 1340 . . 3 (𝜑 → ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∈ 𝐶)
4039ne0d 4284 . 2 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
41 eqid 2824 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
42 eqid 2824 . . . 4 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
4310adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎𝐶𝑏𝐶)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4433adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎𝐶𝑏𝐶)) → 𝑅𝑆)
45 simpr3 1193 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎𝐶𝑏𝐶)) → 𝑏𝐶)
46 eqid 2824 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
47 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎𝐶𝑏𝐶)) → 𝑎𝐶)
48 simpr1 1191 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎𝐶𝑏𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
49 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
50 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
5114, 41, 6, 49, 50, 11ldualsbase 36374 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5251adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎𝐶𝑏𝐶)) → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5348, 52eleqtrd 2918 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎𝐶𝑏𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
548, 19, 9, 34, 5, 22, 6, 14, 41, 42, 3, 43, 44, 47, 53lclkrslem1 38778 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎𝐶𝑏𝐶)) → (𝑥( ·𝑠𝐷)𝑎) ∈ 𝐶)
558, 19, 9, 34, 5, 22, 6, 14, 41, 42, 3, 43, 44, 45, 46, 54lclkrslem2 38779 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑎𝐶𝑏𝐶)) → ((𝑥( ·𝑠𝐷)𝑎)(+g𝐷)𝑏) ∈ 𝐶)
5655ralrimivvva 3187 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))∀𝑎𝐶𝑏𝐶 ((𝑥( ·𝑠𝐷)𝑎)(+g𝐷)𝑏) ∈ 𝐶)
57 lclkrs.t . . 3 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
5849, 50, 7, 46, 42, 57islss 19706 . 2 (𝐶𝑇 ↔ (𝐶 ⊆ (Base‘𝐷) ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))∀𝑎𝐶𝑏𝐶 ((𝑥( ·𝑠𝐷)𝑎)(+g𝐷)𝑏) ∈ 𝐶))
5913, 40, 56, 58syl3anbrc 1340 1 (𝜑𝐶𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  {crab 3137  wss 3919  c0 4276  {csn 4550   × cxp 5540  cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  Scalarcsca 16568   ·𝑠 cvsca 16569  0gc0g 16713  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  LFnlclfn 36298  LKerclk 36326  LDualcld 36364  HLchlt 36591  LHypclh 37225  DVecHcdvh 38319  ocHcoch 38588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-riotaBAD 36194
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-undef 7935  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-0g 16715  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-oppg 18474  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875  df-lsatoms 36217  df-lshyp 36218  df-lcv 36260  df-lfl 36299  df-lkr 36327  df-ldual 36365  df-oposet 36417  df-ol 36419  df-oml 36420  df-covers 36507  df-ats 36508  df-atl 36539  df-cvlat 36563  df-hlat 36592  df-llines 36739  df-lplanes 36740  df-lvols 36741  df-lines 36742  df-psubsp 36744  df-pmap 36745  df-padd 37037  df-lhyp 37229  df-laut 37230  df-ldil 37345  df-ltrn 37346  df-trl 37400  df-tgrp 37984  df-tendo 37996  df-edring 37998  df-dveca 38244  df-disoa 38270  df-dvech 38320  df-dib 38380  df-dic 38414  df-dih 38470  df-doch 38589  df-djh 38636
This theorem is referenced by:  lclkrs2  38781  mapddlssN  38881
  Copyright terms: Public domain W3C validator