Theorem islssd 20197

Description: Properties that determine a subspace of a left module or left vector space. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
islssd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐹))
islssd.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑊))
islssd.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑊))
islssd.t	⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
islssd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
islssd.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
islssd.z	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
islssd.c	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
islssd	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥,𝜑   𝑈,𝑎,𝑏,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏,𝑥   𝐵,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   + (𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islssd.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
2		islssd.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑊))
3	1, 2	sseqtrd 3961	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4		islssd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
5		islssd.c	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
6	5	3exp2 1353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑎 ∈ 𝑈 → (𝑏 ∈ 𝑈 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))))
7	6	imp43 428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
8	7	ralrimivva 3123	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
9	8	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
10		islssd.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐹))
11		islssd.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
12	11	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13	10, 12	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
14	13	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
15		islssd.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑊))
16	15	oveqd 7292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏))
17		islssd.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
18	17	oveqd 7292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎))
19	18	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏))
20	16, 19	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏))
21	20	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
22	21	2ralbidv 3129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
23	9, 14, 22	3imtr3d 293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
24	23	ralrimiv 3102	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈)
25		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
26		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
27		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
28		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
29		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
30		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
31	25, 26, 27, 28, 29, 30	islss 20196	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
32	3, 4, 24, 31	syl3anbrc 1342	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
33		islssd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
34	32, 33	eleqtrrd 2842	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  LSubSpclss 20193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-ov 7278  df-lss 20194

This theorem is referenced by:  lss1  20200  lsssn0  20209  islss3  20221  lss1d  20225  lssintcl  20226  lspsolvlem  20404  lbsextlem2  20421  mpllsslem  21206  scmatlss  21674  drgextlsp  31681  dialss  39060  diblss  39184  diclss  39207  lincolss  45775