MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islssd 19219
Description: Properties that determine a subspace of a left module or left vector space. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssd.f (𝜑𝐹 = (Scalar‘𝑊))
islssd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝐹))
islssd.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑊))
islssd.p (𝜑+ = (+g𝑊))
islssd.t (𝜑· = ( ·𝑠𝑊))
islssd.s (𝜑𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
islssd.u (𝜑𝑈𝑉)
islssd.z (𝜑𝑈 ≠ ∅)
islssd.c ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
islssd (𝜑𝑈𝑆)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥,𝜑   𝑈,𝑎,𝑏,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏,𝑥   𝐵,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   + (𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islssd
StepHypRef Expression
1 islssd.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
2 islssd.v . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑊))
31, 2sseqtrd 3803 . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4 islssd.z . . 3 (𝜑𝑈 ≠ ∅)
5 islssd.c . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
653exp2 1463 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐵 → (𝑎𝑈 → (𝑏𝑈 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))))
76imp43 418 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑎𝑈𝑏𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
87ralrimivva 3118 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
98ex 401 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐵 → ∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
10 islssd.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐹))
11 islssd.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (Scalar‘𝑊))
1211fveq2d 6383 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1310, 12eqtrd 2799 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1413eleq2d 2830 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
15 islssd.p . . . . . . . . 9 (𝜑+ = (+g𝑊))
1615oveqd 6863 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏))
17 islssd.t . . . . . . . . . 10 (𝜑· = ( ·𝑠𝑊))
1817oveqd 6863 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎))
1918oveq1d 6861 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏))
2016, 19eqtrd 2799 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏))
2120eleq1d 2829 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
22212ralbidv 3136 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
239, 14, 223imtr3d 284 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → ∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
2423ralrimiv 3112 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑈)
25 eqid 2765 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
26 eqid 2765 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
27 eqid 2765 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
28 eqid 2765 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
29 eqid 2765 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
30 eqid 2765 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3125, 26, 27, 28, 29, 30islss 19218 . . 3 (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
323, 4, 24, 31syl3anbrc 1443 . 2 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
33 islssd.s . 2 (𝜑𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
3432, 33eleqtrrd 2847 1 (𝜑𝑈𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wss 3734  c0 4081  cfv 6070  (class class class)co 6846  Basecbs 16144  +gcplusg 16228  Scalarcsca 16231   ·𝑠 cvsca 16232  LSubSpclss 19215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fv 6078  df-ov 6849  df-lss 19216
This theorem is referenced by:  lss1  19222  lsssn0  19231  islss3  19245  lss1d  19249  lssintcl  19250  lspsolvlem  19429  lbsextlem2  19447  mpllsslem  19723  scmatlss  20622  dialss  37023  diblss  37147  diclss  37170  lincolss  42916
  Copyright terms: Public domain W3C validator