MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islssd 20411
Description: Properties that determine a subspace of a left module or left vector space. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssd.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š))
islssd.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ))
islssd.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š))
islssd.p (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜π‘Š))
islssd.t (πœ‘ β†’ Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
islssd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š))
islssd.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
islssd.z (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
islssd.c ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
islssd (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,π‘₯,πœ‘   π‘ˆ,π‘Ž,𝑏,π‘₯   π‘Š,π‘Ž,𝑏,π‘₯   𝐡,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   + (π‘₯,π‘Ž,𝑏)   𝑆(π‘₯,π‘Ž,𝑏)   Β· (π‘₯,π‘Ž,𝑏)   𝐹(π‘₯,π‘Ž,𝑏)   𝑉(π‘₯,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem islssd
StepHypRef Expression
1 islssd.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
2 islssd.v . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š))
31, 2sseqtrd 3985 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
4 islssd.z . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
5 islssd.c . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ)
653exp2 1355 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘Ž ∈ π‘ˆ β†’ (𝑏 ∈ π‘ˆ β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))))
76imp43 429 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ)
87ralrimivva 3194 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ)
98ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
10 islssd.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ))
11 islssd.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š))
1211fveq2d 6847 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1310, 12eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1413eleq2d 2820 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
15 islssd.p . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜π‘Š))
1615oveqd 7375 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) = ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏))
17 islssd.t . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
1817oveqd 7375 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ Β· π‘Ž) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž))
1918oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏))
2016, 19eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏))
2120eleq1d 2819 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ ↔ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ π‘ˆ))
22212ralbidv 3209 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ π‘ˆ))
239, 14, 223imtr3d 293 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ π‘ˆ))
2423ralrimiv 3139 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ π‘ˆ)
25 eqid 2733 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
26 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
27 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
28 eqid 2733 . . . 4 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
29 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
30 eqid 2733 . . . 4 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3125, 26, 27, 28, 29, 30islss 20410 . . 3 (π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ↔ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ π‘ˆ))
323, 4, 24, 31syl3anbrc 1344 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
33 islssd.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š))
3432, 33eleqtrrd 2837 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  LSubSpclss 20407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-lss 20408
This theorem is referenced by:  lss1  20414  lsssn0  20423  islss3  20435  lss1d  20439  lssintcl  20440  lspsolvlem  20619  lbsextlem2  20636  mpllsslem  21422  scmatlss  21890  ply1degltlss  32337  drgextlsp  32350  dialss  39555  diblss  39679  diclss  39702  lincolss  46601
  Copyright terms: Public domain W3C validator