Theorem islssd 20951

Description: Properties that determine a subspace of a left module or left vector space. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
islssd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐹))
islssd.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑊))
islssd.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑊))
islssd.t	⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
islssd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
islssd.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
islssd.z	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
islssd.c	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
islssd	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥,𝜑   𝑈,𝑎,𝑏,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏,𝑥   𝐵,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   + (𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islssd.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
2		islssd.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑊))
3	1, 2	sseqtrd 4036	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4		islssd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
5		islssd.c	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
6	5	3exp2 1353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑎 ∈ 𝑈 → (𝑏 ∈ 𝑈 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))))
7	6	imp43 427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
8	7	ralrimivva 3200	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
9	8	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
10		islssd.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐹))
11		islssd.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
12	11	fveq2d 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13	10, 12	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
14	13	eleq2d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
15		islssd.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑊))
16	15	oveqd 7448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏))
17		islssd.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
18	17	oveqd 7448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎))
19	18	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏))
20	16, 19	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏))
21	20	eleq1d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
22	21	2ralbidv 3219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
23	9, 14, 22	3imtr3d 293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
24	23	ralrimiv 3143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈)
25		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
26		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
27		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
28		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
29		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
30		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
31	25, 26, 27, 28, 29, 30	islss 20950	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
32	3, 4, 24, 31	syl3anbrc 1342	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
33		islssd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
34	32, 33	eleqtrrd 2842	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  LSubSpclss 20947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-lss 20948

This theorem is referenced by:  lss1  20954  lsssn0  20964  islss3  20975  lss1d  20979  lssintcl  20980  lspsolvlem  21162  lbsextlem2  21179  mpllsslem  22038  scmatlss  22547  ply1degltlss  33597  drgextlsp  33623  dialss  41029  diblss  41153  diclss  41176  lincolss  48280