MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islssd 19985
Description: Properties that determine a subspace of a left module or left vector space. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssd.f (𝜑𝐹 = (Scalar‘𝑊))
islssd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝐹))
islssd.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑊))
islssd.p (𝜑+ = (+g𝑊))
islssd.t (𝜑· = ( ·𝑠𝑊))
islssd.s (𝜑𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
islssd.u (𝜑𝑈𝑉)
islssd.z (𝜑𝑈 ≠ ∅)
islssd.c ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
islssd (𝜑𝑈𝑆)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥,𝜑   𝑈,𝑎,𝑏,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏,𝑥   𝐵,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   + (𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islssd
StepHypRef Expression
1 islssd.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
2 islssd.v . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑊))
31, 2sseqtrd 3950 . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4 islssd.z . . 3 (𝜑𝑈 ≠ ∅)
5 islssd.c . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
653exp2 1356 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐵 → (𝑎𝑈 → (𝑏𝑈 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))))
76imp43 431 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑎𝑈𝑏𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
87ralrimivva 3113 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
98ex 416 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐵 → ∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
10 islssd.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐹))
11 islssd.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (Scalar‘𝑊))
1211fveq2d 6730 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1310, 12eqtrd 2778 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1413eleq2d 2824 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
15 islssd.p . . . . . . . . 9 (𝜑+ = (+g𝑊))
1615oveqd 7239 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏))
17 islssd.t . . . . . . . . . 10 (𝜑· = ( ·𝑠𝑊))
1817oveqd 7239 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎))
1918oveq1d 7237 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏))
2016, 19eqtrd 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏))
2120eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
22212ralbidv 3121 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
239, 14, 223imtr3d 296 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → ∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
2423ralrimiv 3105 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑈)
25 eqid 2738 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
26 eqid 2738 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
27 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
28 eqid 2738 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
29 eqid 2738 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
30 eqid 2738 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3125, 26, 27, 28, 29, 30islss 19984 . . 3 (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
323, 4, 24, 31syl3anbrc 1345 . 2 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
33 islssd.s . 2 (𝜑𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
3432, 33eleqtrrd 2842 1 (𝜑𝑈𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2111  wne 2941  wral 3062  wss 3875  c0 4246  cfv 6389  (class class class)co 7222  Basecbs 16773  +gcplusg 16815  Scalarcsca 16818   ·𝑠 cvsca 16819  LSubSpclss 19981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5201  ax-nul 5208  ax-pow 5267  ax-pr 5331
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3067  df-rex 3068  df-rab 3071  df-v 3417  df-dif 3878  df-un 3880  df-in 3882  df-ss 3892  df-nul 4247  df-if 4449  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4829  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5145  df-id 5464  df-xp 5566  df-rel 5567  df-cnv 5568  df-co 5569  df-dm 5570  df-iota 6347  df-fun 6391  df-fv 6397  df-ov 7225  df-lss 19982
This theorem is referenced by:  lss1  19988  lsssn0  19997  islss3  20009  lss1d  20013  lssintcl  20014  lspsolvlem  20192  lbsextlem2  20209  mpllsslem  20975  scmatlss  21435  drgextlsp  31408  dialss  38810  diblss  38934  diclss  38957  lincolss  45463
  Copyright terms: Public domain W3C validator