MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islssd 20546
Description: Properties that determine a subspace of a left module or left vector space. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssd.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š))
islssd.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ))
islssd.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š))
islssd.p (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜π‘Š))
islssd.t (πœ‘ β†’ Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
islssd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š))
islssd.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
islssd.z (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
islssd.c ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
islssd (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,π‘₯,πœ‘   π‘ˆ,π‘Ž,𝑏,π‘₯   π‘Š,π‘Ž,𝑏,π‘₯   𝐡,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   + (π‘₯,π‘Ž,𝑏)   𝑆(π‘₯,π‘Ž,𝑏)   Β· (π‘₯,π‘Ž,𝑏)   𝐹(π‘₯,π‘Ž,𝑏)   𝑉(π‘₯,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem islssd
StepHypRef Expression
1 islssd.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
2 islssd.v . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š))
31, 2sseqtrd 4023 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
4 islssd.z . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
5 islssd.c . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ)
653exp2 1355 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘Ž ∈ π‘ˆ β†’ (𝑏 ∈ π‘ˆ β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))))
76imp43 429 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ)
87ralrimivva 3201 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ)
98ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
10 islssd.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ))
11 islssd.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š))
1211fveq2d 6896 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1310, 12eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1413eleq2d 2820 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
15 islssd.p . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜π‘Š))
1615oveqd 7426 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) = ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏))
17 islssd.t . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
1817oveqd 7426 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ Β· π‘Ž) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž))
1918oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏))
2016, 19eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏))
2120eleq1d 2819 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ ↔ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ π‘ˆ))
22212ralbidv 3219 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ π‘ˆ))
239, 14, 223imtr3d 293 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ π‘ˆ))
2423ralrimiv 3146 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ π‘ˆ)
25 eqid 2733 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
26 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
27 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
28 eqid 2733 . . . 4 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
29 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
30 eqid 2733 . . . 4 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3125, 26, 27, 28, 29, 30islss 20545 . . 3 (π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ↔ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ π‘ˆ))
323, 4, 24, 31syl3anbrc 1344 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
33 islssd.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š))
3432, 33eleqtrrd 2837 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  LSubSpclss 20542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-lss 20543
This theorem is referenced by:  lss1  20549  lsssn0  20558  islss3  20570  lss1d  20574  lssintcl  20575  lspsolvlem  20755  lbsextlem2  20772  mpllsslem  21559  scmatlss  22027  ply1degltlss  32667  drgextlsp  32681  dialss  39917  diblss  40041  diclss  40064  lincolss  47115
  Copyright terms: Public domain W3C validator