Theorem ismgmid2 18849

Description: Show that a given element is the identity element of a magma. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismgmid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ismgmid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ismgmid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ismgmid2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
ismgmid2.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑈 + 𝑥) = 𝑥)
ismgmid2.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑈) = 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
ismgmid2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = 0 )

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥, 0   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Proof of Theorem ismgmid2

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismgmid2.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
2		ismgmid2.l	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑈 + 𝑥) = 𝑥)
3		ismgmid2.r	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑈) = 𝑥)
4	2, 3	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑈 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑈) = 𝑥))
5	4	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑈 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑈) = 𝑥))
6		ismgmid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		ismgmid.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		ismgmid.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑈 → (𝑒 + 𝑥) = (𝑈 + 𝑥))
10	9	eqeq1d 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝑈 → ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑈 + 𝑥) = 𝑥))
11	10	ovanraleqv 7444	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝑈 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑈 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑈) = 𝑥)))
12	11	rspcev 3577	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑈 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑈) = 𝑥)) → ∃𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
13	1, 5, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
14	6, 7, 8, 13	ismgmid 18845	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑈 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑈) = 𝑥)) ↔ 0 = 𝑈))
15	1, 5, 14	mpbi2and 725	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 = 𝑈)
16	15	eqcomd 2767	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-0g 17612

This theorem is used by:  lidrididd  18851  grpidd  18852  submnd0OLD  18957  xpsmnd0  18972  mnd1id  18974  frmd0  19056  efmndid  19084  pwmndid  19142  mhmid  19273  cnaddid  20084  ringidss  20506  xpsring1d  20563  xrs10  21747  rloccring  33832  idlsrg0g  34038