MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmd0 18781
Description: The identity of the free monoid is the empty word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frmd0 βˆ… = (0gβ€˜π‘€)

Proof of Theorem frmd0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . 3 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
2 eqid 2724 . . 3 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
3 eqid 2724 . . 3 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
4 wrd0 14491 . . . 4 βˆ… ∈ Word 𝐼
5 frmdmnd.m . . . . 5 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
65, 1frmdbas 18773 . . . 4 (𝐼 ∈ V β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
74, 6eleqtrrid 2832 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€))
85, 1, 3frmdadd 18776 . . . . 5 ((βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ…(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (βˆ… ++ π‘₯))
97, 8sylan 579 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ…(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (βˆ… ++ π‘₯))
105, 1frmdelbas 18774 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
12 ccatlid 14538 . . . . 5 (π‘₯ ∈ Word 𝐼 β†’ (βˆ… ++ π‘₯) = π‘₯)
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ… ++ π‘₯) = π‘₯)
149, 13eqtrd 2764 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ…(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = π‘₯)
155, 1, 3frmdadd 18776 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = (π‘₯ ++ βˆ…))
1615ancoms 458 . . . . 5 ((βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = (π‘₯ ++ βˆ…))
177, 16sylan 579 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = (π‘₯ ++ βˆ…))
18 ccatrid 14539 . . . . 5 (π‘₯ ∈ Word 𝐼 β†’ (π‘₯ ++ βˆ…) = π‘₯)
1911, 18syl 17 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯ ++ βˆ…) = π‘₯)
2017, 19eqtrd 2764 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = π‘₯)
211, 2, 3, 7, 14, 20ismgmid2 18597 . 2 (𝐼 ∈ V β†’ βˆ… = (0gβ€˜π‘€))
22 0g0 18593 . . 3 βˆ… = (0gβ€˜βˆ…)
23 fvprc 6874 . . . . 5 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (freeMndβ€˜πΌ) = βˆ…)
245, 23eqtrid 2776 . . . 4 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ 𝑀 = βˆ…)
2524fveq2d 6886 . . 3 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜βˆ…))
2622, 25eqtr4id 2783 . 2 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ βˆ… = (0gβ€˜π‘€))
2721, 26pm2.61i 182 1 βˆ… = (0gβ€˜π‘€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  βˆ…c0 4315  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Word cword 14466   ++ cconcat 14522  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  0gc0g 17390  freeMndcfrmd 18768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-hash 14292  df-word 14467  df-concat 14523  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-frmd 18770
This theorem is referenced by:  frmdsssubm  18782  frmdgsum  18783  frmdup1  18785  frgpmhm  19681  mrsub0  35025  elmrsubrn  35029
  Copyright terms: Public domain W3C validator