Theorem frmd0 18785

Description: The identity of the free monoid is the empty word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
frmdmnd.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmd0	⊢ ∅ = (0g‘𝑀)

Proof of Theorem frmd0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
4		wrd0 14462	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐼
5		frmdmnd.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
6	5, 1	frmdbas 18777	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
7	4, 6	eleqtrrid 2843	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → ∅ ∈ (Base‘𝑀))
8	5, 1, 3	frmdadd 18780	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g‘𝑀)𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
9	7, 8	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g‘𝑀)𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
10	5, 1	frmdelbas 18778	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
12		ccatlid 14510	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐼 → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
14	9, 13	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g‘𝑀)𝑥) = 𝑥)
15	5, 1, 3	frmdadd 18780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
16	15	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
17	7, 16	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
18		ccatrid 14511	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐼 → (𝑥 ++ ∅) = 𝑥)
19	11, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥 ++ ∅) = 𝑥)
20	17, 19	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)∅) = 𝑥)
21	1, 2, 3, 7, 14, 20	ismgmid2 18593	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ V → ∅ = (0g‘𝑀))
22		0g0 18589	. . 3 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
23		fvprc 6826	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (freeMnd‘𝐼) = ∅)
24	5, 23	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → 𝑀 = ∅)
25	24	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (0g‘𝑀) = (0g‘∅))
26	22, 25	eqtr4id 2790	. 2 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → ∅ = (0g‘𝑀))
27	21, 26	pm2.61i 182	1 ⊢ ∅ = (0g‘𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ∅c0 4285  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Word cword 14436   ++ cconcat 14493  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  0_gc0g 17359  freeMndcfrmd 18772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-frmd 18774

This theorem is referenced by:  frmdsssubm  18786  frmdgsum  18787  frmdup1  18789  frgpmhm  19694  mrsub0  35710  elmrsubrn  35714