Theorem frmd0 18828

Description: The identity of the free monoid is the empty word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
frmdmnd.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmd0	⊢ ∅ = (0g‘𝑀)

Proof of Theorem frmd0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
4		wrd0 14501	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐼
5		frmdmnd.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
6	5, 1	frmdbas 18820	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
7	4, 6	eleqtrrid 2843	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → ∅ ∈ (Base‘𝑀))
8	5, 1, 3	frmdadd 18823	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g‘𝑀)𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
9	7, 8	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g‘𝑀)𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
10	5, 1	frmdelbas 18821	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
12		ccatlid 14549	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐼 → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
14	9, 13	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g‘𝑀)𝑥) = 𝑥)
15	5, 1, 3	frmdadd 18823	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
16	15	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
17	7, 16	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
18		ccatrid 14550	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐼 → (𝑥 ++ ∅) = 𝑥)
19	11, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥 ++ ∅) = 𝑥)
20	17, 19	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)∅) = 𝑥)
21	1, 2, 3, 7, 14, 20	ismgmid2 18636	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ V → ∅ = (0g‘𝑀))
22		0g0 18632	. . 3 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
23		fvprc 6832	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (freeMnd‘𝐼) = ∅)
24	5, 23	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → 𝑀 = ∅)
25	24	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (0g‘𝑀) = (0g‘∅))
26	22, 25	eqtr4id 2790	. 2 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → ∅ = (0g‘𝑀))
27	21, 26	pm2.61i 182	1 ⊢ ∅ = (0g‘𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  ∅c0 4273  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Word cword 14475   ++ cconcat 14532  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  freeMndcfrmd 18815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-frmd 18817

This theorem is referenced by:  frmdsssubm  18829  frmdgsum  18830  frmdup1  18832  frgpmhm  19740  mrsub0  35698  elmrsubrn  35702