MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmd0 18812
Description: The identity of the free monoid is the empty word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frmd0 βˆ… = (0gβ€˜π‘€)

Proof of Theorem frmd0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
2 eqid 2728 . . 3 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
3 eqid 2728 . . 3 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
4 wrd0 14522 . . . 4 βˆ… ∈ Word 𝐼
5 frmdmnd.m . . . . 5 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
65, 1frmdbas 18804 . . . 4 (𝐼 ∈ V β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
74, 6eleqtrrid 2836 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€))
85, 1, 3frmdadd 18807 . . . . 5 ((βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ…(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (βˆ… ++ π‘₯))
97, 8sylan 579 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ…(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (βˆ… ++ π‘₯))
105, 1frmdelbas 18805 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
12 ccatlid 14569 . . . . 5 (π‘₯ ∈ Word 𝐼 β†’ (βˆ… ++ π‘₯) = π‘₯)
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ… ++ π‘₯) = π‘₯)
149, 13eqtrd 2768 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ…(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = π‘₯)
155, 1, 3frmdadd 18807 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = (π‘₯ ++ βˆ…))
1615ancoms 458 . . . . 5 ((βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = (π‘₯ ++ βˆ…))
177, 16sylan 579 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = (π‘₯ ++ βˆ…))
18 ccatrid 14570 . . . . 5 (π‘₯ ∈ Word 𝐼 β†’ (π‘₯ ++ βˆ…) = π‘₯)
1911, 18syl 17 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯ ++ βˆ…) = π‘₯)
2017, 19eqtrd 2768 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = π‘₯)
211, 2, 3, 7, 14, 20ismgmid2 18628 . 2 (𝐼 ∈ V β†’ βˆ… = (0gβ€˜π‘€))
22 0g0 18624 . . 3 βˆ… = (0gβ€˜βˆ…)
23 fvprc 6889 . . . . 5 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (freeMndβ€˜πΌ) = βˆ…)
245, 23eqtrid 2780 . . . 4 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ 𝑀 = βˆ…)
2524fveq2d 6901 . . 3 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜βˆ…))
2622, 25eqtr4id 2787 . 2 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ βˆ… = (0gβ€˜π‘€))
2721, 26pm2.61i 182 1 βˆ… = (0gβ€˜π‘€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  βˆ…c0 4323  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Word cword 14497   ++ cconcat 14553  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  0gc0g 17421  freeMndcfrmd 18799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-hash 14323  df-word 14498  df-concat 14554  df-struct 17116  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-frmd 18801
This theorem is referenced by:  frmdsssubm  18813  frmdgsum  18814  frmdup1  18816  frgpmhm  19720  mrsub0  35126  elmrsubrn  35130
  Copyright terms: Public domain W3C validator