Theorem frmd0 18894

Description: The identity of the free monoid is the empty word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
frmdmnd.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmd0	⊢ ∅ = (0g‘𝑀)

Proof of Theorem frmd0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
4		wrd0 14552	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐼
5		frmdmnd.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
6	5, 1	frmdbas 18886	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
7	4, 6	eleqtrrid 2869	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → ∅ ∈ (Base‘𝑀))
8	5, 1, 3	frmdadd 18889	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g‘𝑀)𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
9	7, 8	sylan 589	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g‘𝑀)𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
10	5, 1	frmdelbas 18887	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
11	10	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
12		ccatlid 14600	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐼 → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
14	9, 13	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g‘𝑀)𝑥) = 𝑥)
15	5, 1, 3	frmdadd 18889	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
16	15	ancoms 462	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
17	7, 16	sylan 589	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
18		ccatrid 14601	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐼 → (𝑥 ++ ∅) = 𝑥)
19	11, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥 ++ ∅) = 𝑥)
20	17, 19	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)∅) = 𝑥)
21	1, 2, 3, 7, 14, 20	ismgmid2 18702	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ V → ∅ = (0g‘𝑀))
22		0g0 18698	. . 3 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
23		fvprc 6859	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (freeMnd‘𝐼) = ∅)
24	5, 23	eqtrid 2809	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → 𝑀 = ∅)
25	24	fveq2d 6871	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (0g‘𝑀) = (0g‘∅))
26	22, 25	eqtr4id 2816	. 2 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → ∅ = (0g‘𝑀))
27	21, 26	pm2.61i 183	1 ⊢ ∅ = (0g‘𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  ∅c0 4285  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Word cword 14526   ++ cconcat 14583  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  0_gc0g 17468  freeMndcfrmd 18881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-hash 14344  df-word 14527  df-concat 14584  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-0g 17470  df-frmd 18883

This theorem is referenced by:  frmdsssubm  18895  frmdgsum  18896  frmdup1  18898  frgpmhm  19805  mrsub0  35866  elmrsubrn  35870