Theorem frmd0 18972

Description: The identity of the free monoid is the empty word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
frmdmnd.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmd0	⊢ ∅ = (0g‘𝑀)

Proof of Theorem frmd0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
4		wrd0 14607	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐼
5		frmdmnd.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
6	5, 1	frmdbas 18964	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
7	4, 6	eleqtrrid 2867	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → ∅ ∈ (Base‘𝑀))
8	5, 1, 3	frmdadd 18967	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g‘𝑀)𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
9	7, 8	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g‘𝑀)𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
10	5, 1	frmdelbas 18965	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
11	10	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
12		ccatlid 14655	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐼 → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
13	11, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
14	9, 13	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g‘𝑀)𝑥) = 𝑥)
15	5, 1, 3	frmdadd 18967	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
16	15	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
17	7, 16	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
18		ccatrid 14656	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐼 → (𝑥 ++ ∅) = 𝑥)
19	11, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥 ++ ∅) = 𝑥)
20	17, 19	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)∅) = 𝑥)
21	1, 2, 3, 7, 14, 20	ismgmid2 18765	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ V → ∅ = (0g‘𝑀))
22		0g0 18760	. . 3 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
23		fvprc 6871	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (freeMnd‘𝐼) = ∅)
24	5, 23	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → 𝑀 = ∅)
25	24	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (0g‘𝑀) = (0g‘∅))
26	22, 25	eqtr4id 2814	. 2 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → ∅ = (0g‘𝑀))
27	21, 26	pm2.61i 184	1 ⊢ ∅ = (0g‘𝑀)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ∅c0 4279  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Word cword 14581   ++ cconcat 14638  Basecbs 17304  +_gcplusg 17345  0_gc0g 17527  freeMndcfrmd 18959

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-concat 14639  df-struct 17242  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-plusg 17358  df-0g 17529  df-frmd 18961

This theorem is used by:  frmdsssubm  18973  frmdgsum  18974  frmdup1  18976  frgpmhm  19895  mrsub0  36098  elmrsubrn  36102