MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmd0 18850
Description: The identity of the free monoid is the empty word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmd0 ∅ = (0g𝑀)

Proof of Theorem frmd0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2 eqid 2726 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
3 eqid 2726 . . 3 (+g𝑀) = (+g𝑀)
4 wrd0 14547 . . . 4 ∅ ∈ Word 𝐼
5 frmdmnd.m . . . . 5 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
65, 1frmdbas 18842 . . . 4 (𝐼 ∈ V → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
74, 6eleqtrrid 2833 . . 3 (𝐼 ∈ V → ∅ ∈ (Base‘𝑀))
85, 1, 3frmdadd 18845 . . . . 5 ((∅ ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g𝑀)𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
97, 8sylan 578 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g𝑀)𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
105, 1frmdelbas 18843 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
1110adantl 480 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
12 ccatlid 14594 . . . . 5 (𝑥 ∈ Word 𝐼 → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
149, 13eqtrd 2766 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g𝑀)𝑥) = 𝑥)
155, 1, 3frmdadd 18845 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
1615ancoms 457 . . . . 5 ((∅ ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
177, 16sylan 578 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
18 ccatrid 14595 . . . . 5 (𝑥 ∈ Word 𝐼 → (𝑥 ++ ∅) = 𝑥)
1911, 18syl 17 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥 ++ ∅) = 𝑥)
2017, 19eqtrd 2766 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)∅) = 𝑥)
211, 2, 3, 7, 14, 20ismgmid2 18661 . 2 (𝐼 ∈ V → ∅ = (0g𝑀))
22 0g0 18657 . . 3 ∅ = (0g‘∅)
23 fvprc 6893 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (freeMnd‘𝐼) = ∅)
245, 23eqtrid 2778 . . . 4 𝐼 ∈ V → 𝑀 = ∅)
2524fveq2d 6905 . . 3 𝐼 ∈ V → (0g𝑀) = (0g‘∅))
2622, 25eqtr4id 2785 . 2 𝐼 ∈ V → ∅ = (0g𝑀))
2721, 26pm2.61i 182 1 ∅ = (0g𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  c0 4325  cfv 6554  (class class class)co 7424  Word cword 14522   ++ cconcat 14578  Basecbs 17213  +gcplusg 17266  0gc0g 17454  freeMndcfrmd 18837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-concat 14579  df-struct 17149  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-plusg 17279  df-0g 17456  df-frmd 18839
This theorem is referenced by:  frmdsssubm  18851  frmdgsum  18852  frmdup1  18854  frgpmhm  19763  mrsub0  35344  elmrsubrn  35348
  Copyright terms: Public domain W3C validator