Theorem idlsrg0g 33587

Description: The zero ideal is the additive identity of the semiring of ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrg0g.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrg0g.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
idlsrg0g	⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } = (0g‘𝑆))

Proof of Theorem idlsrg0g

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
3		eqid 2736	. 2 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5		idlsrg0g.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	4, 5	lidl0 21185	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
7		idlsrg0g.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
8	7, 4	idlsrgbas 33585	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (Base‘𝑆))
9	6, 8	eleqtrd 2838	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (Base‘𝑆))
10		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘𝑅)
11	7, 10	idlsrgplusg 33586	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LSSum‘𝑅) = (+g‘𝑆))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (LSSum‘𝑅) = (+g‘𝑆))
13	12	oveqd 7375	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → ({ 0 } (LSSum‘𝑅)𝑖) = ({ 0 } (+g‘𝑆)𝑖))
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑖 ∈ (Base‘𝑆))
15	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (LIdeal‘𝑅) = (Base‘𝑆))
16	14, 15	eleqtrrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
17	4	lidlsubg 21178	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅))
18	16, 17	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅))
19	5, 10	lsm02 19601	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅) → ({ 0 } (LSSum‘𝑅)𝑖) = 𝑖)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → ({ 0 } (LSSum‘𝑅)𝑖) = 𝑖)
21	13, 20	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → ({ 0 } (+g‘𝑆)𝑖) = 𝑖)
22	12	oveqd 7375	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑖(LSSum‘𝑅){ 0 }) = (𝑖(+g‘𝑆){ 0 }))
23	5, 10	lsm01 19600	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑖(LSSum‘𝑅){ 0 }) = 𝑖)
24	18, 23	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑖(LSSum‘𝑅){ 0 }) = 𝑖)
25	22, 24	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑖(+g‘𝑆){ 0 }) = 𝑖)
26	1, 2, 3, 9, 21, 25	ismgmid2 18593	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } = (0g‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4580  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  0_gc0g 17359  SubGrpcsubg 19050  LSSumclsm 19563  Ringcrg 20168  LIdealclidl 21161  IDLsrgcidlsrg 33581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-lsm 19565  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-idlsrg 33582

This theorem is referenced by: (None)