Theorem idlsrg0g 32572

Description: The zero ideal is the additive identity of the semiring of ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrg0g.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrg0g.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
idlsrg0g	⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } = (0g‘𝑆))

Proof of Theorem idlsrg0g

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. 2 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2733	. 2 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
3		eqid 2733	. 2 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5		idlsrg0g.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	4, 5	lidl0 20831	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
7		idlsrg0g.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
8	7, 4	idlsrgbas 32570	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (Base‘𝑆))
9	6, 8	eleqtrd 2836	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (Base‘𝑆))
10		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘𝑅)
11	7, 10	idlsrgplusg 32571	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LSSum‘𝑅) = (+g‘𝑆))
12	11	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (LSSum‘𝑅) = (+g‘𝑆))
13	12	oveqd 7421	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → ({ 0 } (LSSum‘𝑅)𝑖) = ({ 0 } (+g‘𝑆)𝑖))
14		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑖 ∈ (Base‘𝑆))
15	8	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (LIdeal‘𝑅) = (Base‘𝑆))
16	14, 15	eleqtrrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
17	4	lidlsubg 20825	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅))
18	16, 17	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅))
19	5, 10	lsm02 19533	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅) → ({ 0 } (LSSum‘𝑅)𝑖) = 𝑖)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → ({ 0 } (LSSum‘𝑅)𝑖) = 𝑖)
21	13, 20	eqtr3d 2775	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → ({ 0 } (+g‘𝑆)𝑖) = 𝑖)
22	12	oveqd 7421	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑖(LSSum‘𝑅){ 0 }) = (𝑖(+g‘𝑆){ 0 }))
23	5, 10	lsm01 19532	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑖(LSSum‘𝑅){ 0 }) = 𝑖)
24	18, 23	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑖(LSSum‘𝑅){ 0 }) = 𝑖)
25	22, 24	eqtr3d 2775	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑖(+g‘𝑆){ 0 }) = 𝑖)
26	1, 2, 3, 9, 21, 25	ismgmid2 18583	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } = (0g‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4627  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  0_gc0g 17381  SubGrpcsubg 18994  LSSumclsm 19495  Ringcrg 20047  LIdealclidl 20771  IDLsrgcidlsrg 32566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-lsm 19497  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-subrg 20349  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-sra 20773  df-rgmod 20774  df-lidl 20775  df-idlsrg 32567

This theorem is referenced by: (None)