Theorem idlsrg0g 33919

Description: The zero ideal is the additive identity of the semiring of ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrg0g.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrg0g.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
idlsrg0g	⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } = (0g‘𝑆))

Proof of Theorem idlsrg0g

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5		idlsrg0g.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	4, 5	lidl0 21422	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
7		idlsrg0g.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
8	7, 4	idlsrgbas 33917	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (Base‘𝑆))
9	6, 8	eleqtrd 2862	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (Base‘𝑆))
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘𝑅)
11	7, 10	idlsrgplusg 33918	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LSSum‘𝑅) = (+g‘𝑆))
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (LSSum‘𝑅) = (+g‘𝑆))
13	12	oveqd 7431	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → ({ 0 } (LSSum‘𝑅)𝑖) = ({ 0 } (+g‘𝑆)𝑖))
14		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑖 ∈ (Base‘𝑆))
15	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (LIdeal‘𝑅) = (Base‘𝑆))
16	14, 15	eleqtrrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
17	4	lidlsubg 21414	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅))
18	16, 17	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅))
19	5, 10	lsm02 19802	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅) → ({ 0 } (LSSum‘𝑅)𝑖) = 𝑖)
20	18, 19	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → ({ 0 } (LSSum‘𝑅)𝑖) = 𝑖)
21	13, 20	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → ({ 0 } (+g‘𝑆)𝑖) = 𝑖)
22	12	oveqd 7431	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑖(LSSum‘𝑅){ 0 }) = (𝑖(+g‘𝑆){ 0 }))
23	5, 10	lsm01 19801	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑖(LSSum‘𝑅){ 0 }) = 𝑖)
24	18, 23	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑖(LSSum‘𝑅){ 0 }) = 𝑖)
25	22, 24	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑖(+g‘𝑆){ 0 }) = 𝑖)
26	1, 2, 3, 9, 21, 25	ismgmid2 18765	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } = (0g‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  +_gcplusg 17345  0_gc0g 17527  SubGrpcsubg 19246  LSSumclsm 19764  Ringcrg 20375  LIdealclidl 21396  IDLsrgcidlsrg 33913

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-subg 19249  df-lsm 19766  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-subrg 20735  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-sra 21360  df-rgmod 21361  df-lidl 21398  df-idlsrg 33914

This theorem is used by: (None)