Theorem idlsrg0g 32615

Description: The zero ideal is the additive identity of the semiring of ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrg0g.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrg0g.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
idlsrg0g	⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } = (0g‘𝑆))

Proof of Theorem idlsrg0g

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. 2 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2732	. 2 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
3		eqid 2732	. 2 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5		idlsrg0g.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	4, 5	lidl0 20843	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
7		idlsrg0g.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
8	7, 4	idlsrgbas 32613	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (Base‘𝑆))
9	6, 8	eleqtrd 2835	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (Base‘𝑆))
10		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘𝑅)
11	7, 10	idlsrgplusg 32614	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LSSum‘𝑅) = (+g‘𝑆))
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (LSSum‘𝑅) = (+g‘𝑆))
13	12	oveqd 7425	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → ({ 0 } (LSSum‘𝑅)𝑖) = ({ 0 } (+g‘𝑆)𝑖))
14		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑖 ∈ (Base‘𝑆))
15	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (LIdeal‘𝑅) = (Base‘𝑆))
16	14, 15	eleqtrrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
17	4	lidlsubg 20837	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅))
18	16, 17	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅))
19	5, 10	lsm02 19539	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅) → ({ 0 } (LSSum‘𝑅)𝑖) = 𝑖)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → ({ 0 } (LSSum‘𝑅)𝑖) = 𝑖)
21	13, 20	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → ({ 0 } (+g‘𝑆)𝑖) = 𝑖)
22	12	oveqd 7425	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑖(LSSum‘𝑅){ 0 }) = (𝑖(+g‘𝑆){ 0 }))
23	5, 10	lsm01 19538	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑖(LSSum‘𝑅){ 0 }) = 𝑖)
24	18, 23	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑖(LSSum‘𝑅){ 0 }) = 𝑖)
25	22, 24	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑖(+g‘𝑆){ 0 }) = 𝑖)
26	1, 2, 3, 9, 21, 25	ismgmid2 18586	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } = (0g‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4628  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +_gcplusg 17196  0_gc0g 17384  SubGrpcsubg 18999  LSSumclsm 19501  Ringcrg 20055  LIdealclidl 20782  IDLsrgcidlsrg 32609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-lsm 19503  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-idlsrg 32610

This theorem is referenced by: (None)