Theorem idlsrg0g 33484

Description: The zero ideal is the additive identity of the semiring of ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrg0g.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrg0g.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
idlsrg0g	⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } = (0g‘𝑆))

Proof of Theorem idlsrg0g

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. 2 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2730	. 2 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
3		eqid 2730	. 2 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5		idlsrg0g.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	4, 5	lidl0 21147	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
7		idlsrg0g.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
8	7, 4	idlsrgbas 33482	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (Base‘𝑆))
9	6, 8	eleqtrd 2831	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (Base‘𝑆))
10		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘𝑅)
11	7, 10	idlsrgplusg 33483	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LSSum‘𝑅) = (+g‘𝑆))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (LSSum‘𝑅) = (+g‘𝑆))
13	12	oveqd 7407	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → ({ 0 } (LSSum‘𝑅)𝑖) = ({ 0 } (+g‘𝑆)𝑖))
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑖 ∈ (Base‘𝑆))
15	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (LIdeal‘𝑅) = (Base‘𝑆))
16	14, 15	eleqtrrd 2832	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
17	4	lidlsubg 21140	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅))
18	16, 17	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅))
19	5, 10	lsm02 19609	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅) → ({ 0 } (LSSum‘𝑅)𝑖) = 𝑖)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → ({ 0 } (LSSum‘𝑅)𝑖) = 𝑖)
21	13, 20	eqtr3d 2767	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → ({ 0 } (+g‘𝑆)𝑖) = 𝑖)
22	12	oveqd 7407	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑖(LSSum‘𝑅){ 0 }) = (𝑖(+g‘𝑆){ 0 }))
23	5, 10	lsm01 19608	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑖(LSSum‘𝑅){ 0 }) = 𝑖)
24	18, 23	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑖(LSSum‘𝑅){ 0 }) = 𝑖)
25	22, 24	eqtr3d 2767	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑖(+g‘𝑆){ 0 }) = 𝑖)
26	1, 2, 3, 9, 21, 25	ismgmid2 18602	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } = (0g‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4592  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409  SubGrpcsubg 19059  LSSumclsm 19571  Ringcrg 20149  LIdealclidl 21123  IDLsrgcidlsrg 33478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-lsm 19573  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-lidl 21125  df-idlsrg 33479

This theorem is referenced by: (None)