Theorem cnaddid 19780

Description: The group identity element of complex number addition is zero. See also cnfld0 21170. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnaddabl.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
cnaddid	⊢ (0g‘𝐺) = 0

Proof of Theorem cnaddid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11211	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		cnex 11194	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
3		cnaddabl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
4	3	grpbase 17236	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘𝐺))
5	2, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘𝐺)
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
7		addex 12977	. . . . 5 ⊢ + ∈ V
8	3	grpplusg 17238	. . . . 5 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘𝐺))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
10		id 22	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
11		addlid 11402	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
13		addrid 11399	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
15	5, 6, 9, 10, 12, 14	ismgmid2 18594	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → 0 = (0g‘𝐺))
16	1, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
17	16	eqcomi 2740	1 ⊢ (0g‘𝐺) = 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  {cpr 4630  ⟨cop 4634  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11111  0cc0 11113   + caddc 11116  ndxcnx 17131  Basecbs 17149  +_gcplusg 17202  0_gc0g 17390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-addf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392

This theorem is referenced by:  cnaddinv  19781