Theorem cnaddid 19788

Description: The group identity element of complex number addition is zero. See also cnfld0 21335. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnaddabl.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
cnaddid	⊢ (0g‘𝐺) = 0

Proof of Theorem cnaddid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11110	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		cnex 11093	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
3		cnaddabl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
4	3	grpbase 17199	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘𝐺))
5	2, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘𝐺)
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
7		addex 12893	. . . . 5 ⊢ + ∈ V
8	3	grpplusg 17200	. . . . 5 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘𝐺))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
10		id 22	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
11		addlid 11302	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
13		addrid 11299	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
15	5, 6, 9, 10, 12, 14	ismgmid2 18582	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → 0 = (0g‘𝐺))
16	1, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
17	16	eqcomi 2740	1 ⊢ (0g‘𝐺) = 0

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  {cpr 4577  ⟨cop 4581  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℂcc 11010  0cc0 11012   + caddc 11015  ndxcnx 17110  Basecbs 17126  +_gcplusg 17167  0_gc0g 17349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-addf 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-fz 13414  df-struct 17064  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-plusg 17180  df-0g 17351

This theorem is referenced by:  cnaddinv  19789