Theorem cnaddid 19471

Description: The group identity element of complex number addition is zero. See also cnfld0 20622. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnaddabl.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
cnaddid	⊢ (0g‘𝐺) = 0

Proof of Theorem cnaddid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 10967	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		cnex 10952	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
3		cnaddabl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
4	3	grpbase 16996	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘𝐺))
5	2, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘𝐺)
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
7		addex 12728	. . . . 5 ⊢ + ∈ V
8	3	grpplusg 16998	. . . . 5 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘𝐺))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
10		id 22	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
11		addid2 11158	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
12	11	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
13		addid1 11155	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
14	13	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
15	5, 6, 9, 10, 12, 14	ismgmid2 18352	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → 0 = (0g‘𝐺))
16	1, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
17	16	eqcomi 2747	1 ⊢ (0g‘𝐺) = 0

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  {cpr 4563  ⟨cop 4567  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   + caddc 10874  ndxcnx 16894  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  0_gc0g 17150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152

This theorem is referenced by:  cnaddinv  19472