Theorem cnaddid 20084

Description: The group identity element of complex number addition is zero. See also cnfld0 21702. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnaddabl.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
cnaddid	⊢ (0g‘𝐺) = 0

Proof of Theorem cnaddid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11298	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		cnex 11281	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
3		cnaddabl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
4	3	grpbase 17460	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘𝐺))
5	2, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘𝐺)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
7		addex 13117	. . . . 5 ⊢ + ∈ V
8	3	grpplusg 17461	. . . . 5 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘𝐺))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
10		id 23	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
11		addlid 11493	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
13		addrid 11490	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
14	13	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
15	5, 6, 9, 10, 12, 14	ismgmid2 18849	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → 0 = (0g‘𝐺))
16	1, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
17	16	eqcomi 2769	1 ⊢ (0g‘𝐺) = 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {cpr 4585  ⟨cop 4589  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200   + caddc 11203  ndxcnx 17371  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612

This theorem is used by:  cnaddinv  20085