Theorem xrs10 20254

Description: The zero of the extended real number monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrs1mnd.1	⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
xrs10	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Proof of Theorem xrs10

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4024	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
2		xrs1mnd.1	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
3		xrsbas 20231	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	ressbas2 16372	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2793	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7		xrex 12225	. . . . 5 ⊢ ℝ* ∈ V
8	7	difexi 5116	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
9		xrsadd 20232	. . . . 5 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
10	2, 9	ressplusg 16429	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑅))
11	8, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝑅)
12		0re 10478	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		rexr 10522	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
14		renemnf 10525	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
15		eldifsn 4620	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞))
16	13, 14, 15	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
17	12, 16	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
18		eldifi 4019	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
19	18	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20		xaddid2 12474	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
22	19	xaddid1d 12475	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
23	5, 6, 11, 17, 21, 22	ismgmid2 17694	. 2 ⊢ (⊤ → 0 = (0g‘𝑅))
24	23	mptru 1527	1 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1520  ⊤wtru 1521   ∈ wcel 2079   ≠ wne 2982  Vcvv 3432   ∖ cdif 3851   ⊆ wss 3854  {csn 4466  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  ℝcr 10371  0cc0 10372  -∞cmnf 10508  ℝ^*cxr 10509   +_𝑒 cxad 12344  Basecbs 16300   ↾_s cress 16301  +_gcplusg 16382  0_gc0g 16530  ℝ^*_𝑠cxrs 16590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-xadd 12347  df-fz 12732  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-0g 16532  df-xrs 16592

This theorem is referenced by:  xrge0subm  20256  imasdsf1olem  22654  xrge0gsumle  23112  xrge0tsms  23113  xrge00  30317  xrge0tsmsd  30460  gsumge0cl  42149