Theorem xrs10 21759

Description: The zero of the extended real number monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrs1mnd.1	⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
xrs10	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Proof of Theorem xrs10

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4074	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
2		xrs1mnd.1	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
3		xrsbas 17790	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	ressbas2 17428	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7		xrex 13125	. . . . 5 ⊢ ℝ* ∈ V
8	7	difexi 5295	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
9		xrsadd 21708	. . . . 5 ⊢ +e = (+g‘ℝ*𝑠)
10	2, 9	ressplusg 17474	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +e = (+g‘𝑅))
11	8, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +e = (+g‘𝑅)
12		0re 11320	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		rexr 11365	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
14		renemnf 11368	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
15		eldifsn 4747	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞))
16	13, 14, 15	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
17	12, 16	mp1i 14	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
18		eldifi 4069	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
19	18	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20		xaddlid 13382	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +e 𝑥) = 𝑥)
21	19, 20	syl 18	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (0 +e 𝑥) = 𝑥)
22	19	xaddridd 13383	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +e 0) = 𝑥)
23	5, 6, 11, 17, 21, 22	ismgmid2 18861	. 2 ⊢ (⊤ → 0 = (0g‘𝑅))
24	23	mptru 1576	1 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899   ∖ cdif 4047  {csn 4587  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℝcr 11209  0cc0 11210  -∞cmnf 11351  ℝ^*cxr 11352   +_e cxad 13249  Basecbs 17399   ↾_s cress 17420  +_gcplusg 17440  0_gc0g 17622  ℝ^*_𝑠cxrs 17684

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-xadd 13252  df-fz 13650  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-0g 17624  df-xrs 17686

This theorem is used by:  xrge0subm  21761  imasdsf1olem  24704  xrge0gsumle  25165  xrge0tsms  25166  xrge00  33628  xrge0tsmsd  33687  gsumge0cl  47520