MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrs10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrs10 21289
Description: The zero of the extended real number monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrs1mnd.1 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
Assertion
Ref Expression
xrs10 0 = (0g𝑅)

Proof of Theorem xrs10
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 4124 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
2 xrs1mnd.1 . . . . 5 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
3 xrsbas 21266 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
42, 3ressbas2 17187 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
51, 4ax-mp 5 . . 3 (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2724 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
7 xrex 12970 . . . . 5 * ∈ V
87difexi 5319 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
9 xrsadd 21267 . . . . 5 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
102, 9ressplusg 17240 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g𝑅))
118, 10ax-mp 5 . . 3 +𝑒 = (+g𝑅)
12 0re 11215 . . . 4 0 ∈ ℝ
13 rexr 11259 . . . . 5 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
14 renemnf 11262 . . . . 5 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
15 eldifsn 4783 . . . . 5 (0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞))
1613, 14, 15sylanbrc 582 . . . 4 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
1712, 16mp1i 13 . . 3 (⊤ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
18 eldifi 4119 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1918adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20 xaddlid 13222 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
2119, 20syl 17 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
2219xaddridd 13223 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
235, 6, 11, 17, 21, 22ismgmid2 18597 . 2 (⊤ → 0 = (0g𝑅))
2423mptru 1540 1 0 = (0g𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  wne 2932  Vcvv 3466  cdif 3938  wss 3941  {csn 4621  cfv 6534  (class class class)co 7402  cr 11106  0cc0 11107  -∞cmnf 11245  *cxr 11246   +𝑒 cxad 13091  Basecbs 17149  s cress 17178  +gcplusg 17202  0gc0g 17390  *𝑠cxrs 17451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-xadd 13094  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-0g 17392  df-xrs 17453
This theorem is referenced by:  xrge0subm  21291  imasdsf1olem  24223  xrge0gsumle  24693  xrge0tsms  24694  xrge00  32677  xrge0tsmsd  32702  gsumge0cl  45632
  Copyright terms: Public domain W3C validator