MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrs10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrs10 20512
Description: The zero of the extended real number monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrs1mnd.1 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
Assertion
Ref Expression
xrs10 0 = (0g𝑅)

Proof of Theorem xrs10
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 4105 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
2 xrs1mnd.1 . . . . 5 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
3 xrsbas 20489 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
42, 3ressbas2 16543 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
51, 4ax-mp 5 . . 3 (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2818 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
7 xrex 12374 . . . . 5 * ∈ V
87difexi 5223 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
9 xrsadd 20490 . . . . 5 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
102, 9ressplusg 16600 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g𝑅))
118, 10ax-mp 5 . . 3 +𝑒 = (+g𝑅)
12 0re 10631 . . . 4 0 ∈ ℝ
13 rexr 10675 . . . . 5 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
14 renemnf 10678 . . . . 5 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
15 eldifsn 4711 . . . . 5 (0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞))
1613, 14, 15sylanbrc 583 . . . 4 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
1712, 16mp1i 13 . . 3 (⊤ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
18 eldifi 4100 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1918adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20 xaddid2 12623 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
2119, 20syl 17 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
2219xaddid1d 12624 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
235, 6, 11, 17, 21, 22ismgmid2 17866 . 2 (⊤ → 0 = (0g𝑅))
2423mptru 1535 1 0 = (0g𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1528  wtru 1529  wcel 2105  wne 3013  Vcvv 3492  cdif 3930  wss 3933  {csn 4557  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   +𝑒 cxad 12493  Basecbs 16471  s cress 16472  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  *𝑠cxrs 16761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-xadd 12496  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-0g 16703  df-xrs 16763
This theorem is referenced by:  xrge0subm  20514  imasdsf1olem  22910  xrge0gsumle  23368  xrge0tsms  23369  xrge00  30600  xrge0tsmsd  30619  gsumge0cl  42530
  Copyright terms: Public domain W3C validator