Theorem xrs10 20976

Description: The zero of the extended real number monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrs1mnd.1	⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
xrs10	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Proof of Theorem xrs10

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4130	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
2		xrs1mnd.1	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
3		xrsbas 20953	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	ressbas2 17178	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2732	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7		xrex 12967	. . . . 5 ⊢ ℝ* ∈ V
8	7	difexi 5327	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
9		xrsadd 20954	. . . . 5 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
10	2, 9	ressplusg 17231	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑅))
11	8, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝑅)
12		0re 11212	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		rexr 11256	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
14		renemnf 11259	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
15		eldifsn 4789	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞))
16	13, 14, 15	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
17	12, 16	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
18		eldifi 4125	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
19	18	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20		xaddlid 13217	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
22	19	xaddridd 13218	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
23	5, 6, 11, 17, 21, 22	ismgmid2 18583	. 2 ⊢ (⊤ → 0 = (0g‘𝑅))
24	23	mptru 1548	1 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  {csn 4627  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243   +_𝑒 cxad 13086  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  +_gcplusg 17193  0_gc0g 17381  ℝ^*_𝑠cxrs 17442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-xadd 13089  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-0g 17383  df-xrs 17444

This theorem is referenced by:  xrge0subm  20978  imasdsf1olem  23870  xrge0gsumle  24340  xrge0tsms  24341  xrge00  32174  xrge0tsmsd  32196  gsumge0cl  45073