Theorem xrs10 21490

Description: The zero of the extended real number monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrs1mnd.1	⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
xrs10	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Proof of Theorem xrs10

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4089	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
2		xrs1mnd.1	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
3		xrsbas 17636	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	ressbas2 17274	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7		xrex 12988	. . . . 5 ⊢ ℝ* ∈ V
8	7	difexi 5286	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
9		xrsadd 21439	. . . . 5 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
10	2, 9	ressplusg 17320	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑅))
11	8, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝑅)
12		0re 11183	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		rexr 11228	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
14		renemnf 11231	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
15		eldifsn 4746	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞))
16	13, 14, 15	sylanbrc 592	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
17	12, 16	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
18		eldifi 4084	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
19	18	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20		xaddlid 13245	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
22	19	xaddridd 13246	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
23	5, 6, 11, 17, 21, 22	ismgmid2 18702	. 2 ⊢ (⊤ → 0 = (0g‘𝑅))
24	23	mptru 1567	1 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1560  ⊤wtru 1561   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {csn 4582  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  -∞cmnf 11214  ℝ^*cxr 11215   +_𝑒 cxad 13112  Basecbs 17245   ↾_s cress 17266  +_gcplusg 17286  0_gc0g 17468  ℝ^*_𝑠cxrs 17530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-xadd 13115  df-fz 13513  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-0g 17470  df-xrs 17532

This theorem is referenced by:  xrge0subm  21492  imasdsf1olem  24430  xrge0gsumle  24891  xrge0tsms  24892  xrge00  33189  xrge0tsmsd  33250  gsumge0cl  46942