Theorem xrs10 21446

Description: The zero of the extended real number monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrs1mnd.1	⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
xrs10	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Proof of Theorem xrs10

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4159	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
2		xrs1mnd.1	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
3		xrsbas 21419	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	ressbas2 17296	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7		xrex 13052	. . . . 5 ⊢ ℝ* ∈ V
8	7	difexi 5348	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
9		xrsadd 21420	. . . . 5 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
10	2, 9	ressplusg 17349	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑅))
11	8, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝑅)
12		0re 11292	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		rexr 11336	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
14		renemnf 11339	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
15		eldifsn 4811	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞))
16	13, 14, 15	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
17	12, 16	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
18		eldifi 4154	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20		xaddlid 13304	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
22	19	xaddridd 13305	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
23	5, 6, 11, 17, 21, 22	ismgmid2 18706	. 2 ⊢ (⊤ → 0 = (0g‘𝑅))
24	23	mptru 1544	1 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323   +_𝑒 cxad 13173  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499  ℝ^*_𝑠cxrs 17560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-xadd 13176  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-0g 17501  df-xrs 17562

This theorem is referenced by:  xrge0subm  21448  imasdsf1olem  24404  xrge0gsumle  24874  xrge0tsms  24875  xrge00  32998  xrge0tsmsd  33041  gsumge0cl  46292