Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efmndid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efmndid 18029
 Description: The identity function restricted to a set 𝐴 is the identity element of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 25-Jan-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
ielefmnd.g 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
efmndid (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g𝐺))

Proof of Theorem efmndid
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2820 . 2 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 eqid 2820 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 eqid 2820 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 ielefmnd.g . . 3 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
54ielefmnd 18028 . 2 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
64, 1, 3efmndov 18022 . . . 4 ((( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
75, 6sylan 582 . . 3 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
84, 1efmndbasf 18016 . . . . 5 (𝑓 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑓:𝐴𝐴)
98adantl 484 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑓:𝐴𝐴)
10 fcoi2 6527 . . . 4 (𝑓:𝐴𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
119, 10syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
127, 11eqtrd 2855 . 2 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = 𝑓)
135anim1ci 617 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)))
144, 1, 3efmndov 18022 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)))
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)))
16 fcoi1 6526 . . . 4 (𝑓:𝐴𝐴 → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)
179, 16syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)
1815, 17eqtrd 2855 . 2 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)
191, 2, 3, 5, 12, 18ismgmid2 17854 1 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   I cid 5433   ↾ cres 5531   ∘ ccom 5533  ⟶wf 6325  ‘cfv 6329  (class class class)co 7131  Basecbs 16459  +gcplusg 16541  0gc0g 16689  EndoFMndcefmnd 18009 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-1o 8078  df-oadd 8082  df-er 8265  df-map 8384  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-fin 8489  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-nn 11615  df-2 11677  df-3 11678  df-4 11679  df-5 11680  df-6 11681  df-7 11682  df-8 11683  df-9 11684  df-n0 11875  df-z 11959  df-uz 12221  df-fz 12875  df-struct 16461  df-ndx 16462  df-slot 16463  df-base 16465  df-plusg 16554  df-tset 16560  df-0g 16691  df-efmnd 18010 This theorem is referenced by:  sursubmefmnd  18037  injsubmefmnd  18038  idressubmefmnd  18039  smndex1n0mnd  18053  smndex2dnrinv  18056  smndex2dlinvh  18058  symgid  18505  symgsubmefmndALT  18507
 Copyright terms: Public domain W3C validator