Theorem efmndid 18822

Description: The identity function restricted to a set 𝐴 is the identity element of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 25-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ielefmnd.g	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
efmndid	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝐺))

Proof of Theorem efmndid

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2730	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		eqid 2730	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		ielefmnd.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
5	4	ielefmnd 18821	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
6	4, 1, 3	efmndov 18815	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
7	5, 6	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
8	4, 1	efmndbasf 18809	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
10		fcoi2 6738	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
12	7, 11	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓)
13	5	anim1ci 616	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)))
14	4, 1, 3	efmndov 18815	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)))
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)))
16		fcoi1 6737	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐴 → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)
17	9, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)
18	15, 17	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)
19	1, 2, 3, 5, 12, 18	ismgmid2 18602	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   I cid 5535   ↾ cres 5643   ∘ ccom 5645  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409  EndoFMndcefmnd 18802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-tset 17246  df-0g 17411  df-efmnd 18803

This theorem is referenced by:  sursubmefmnd  18830  injsubmefmnd  18831  idressubmefmnd  18832  smndex1n0mnd  18846  smndex2dnrinv  18849  smndex2dlinvh  18851  symgid  19338  symgsubmefmndALT  19340