MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnd1id Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnd1id 18737
Description: The singleton element of a trivial monoid is its identity element. (Contributed by AV, 23-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
mnd1.m 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
Assertion
Ref Expression
mnd1id (𝐼𝑉 → (0g𝑀) = 𝐼)

Proof of Theorem mnd1id
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5433 . . . 4 {𝐼} ∈ V
2 mnd1.m . . . . 5 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
32grpbase 17267 . . . 4 ({𝐼} ∈ V → {𝐼} = (Base‘𝑀))
41, 3ax-mp 5 . . 3 {𝐼} = (Base‘𝑀)
5 eqid 2728 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
6 snex 5433 . . . 4 {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
72grpplusg 17269 . . . 4 ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g𝑀))
86, 7ax-mp 5 . . 3 {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g𝑀)
9 snidg 4663 . . 3 (𝐼𝑉𝐼 ∈ {𝐼})
10 velsn 4645 . . . . 5 (𝑎 ∈ {𝐼} ↔ 𝑎 = 𝐼)
11 df-ov 7423 . . . . . . 7 (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
12 opex 5466 . . . . . . . 8 𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
13 fvsng 7189 . . . . . . . 8 ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
1412, 13mpan 689 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
1511, 14eqtrid 2780 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
16 oveq2 7428 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
17 id 22 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐼𝑎 = 𝐼)
1816, 17eqeq12d 2744 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = 𝑎 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
1915, 18syl5ibrcom 246 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑎 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = 𝑎))
2010, 19biimtrid 241 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝑎 ∈ {𝐼} → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = 𝑎))
2120imp 406 . . 3 ((𝐼𝑉𝑎 ∈ {𝐼}) → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = 𝑎)
22 oveq1 7427 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐼 → (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
2322, 17eqeq12d 2744 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑎 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
2415, 23syl5ibrcom 246 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑎 = 𝐼 → (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑎))
2510, 24biimtrid 241 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝑎 ∈ {𝐼} → (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑎))
2625imp 406 . . 3 ((𝐼𝑉𝑎 ∈ {𝐼}) → (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑎)
274, 5, 8, 9, 21, 26ismgmid2 18628 . 2 (𝐼𝑉𝐼 = (0g𝑀))
2827eqcomd 2734 1 (𝐼𝑉 → (0g𝑀) = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3471  {csn 4629  {cpr 4631  cop 4635  cfv 6548  (class class class)co 7420  ndxcnx 17162  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  0gc0g 17421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-0g 17423
This theorem is referenced by:  grp1  19003
  Copyright terms: Public domain W3C validator