MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnd1id Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnd1id 18708
Description: The singleton element of a trivial monoid is its identity element. (Contributed by AV, 23-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
mnd1.m 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
Assertion
Ref Expression
mnd1id (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜π‘€) = 𝐼)

Proof of Theorem mnd1id
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5424 . . . 4 {𝐼} ∈ V
2 mnd1.m . . . . 5 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
32grpbase 17238 . . . 4 ({𝐼} ∈ V β†’ {𝐼} = (Baseβ€˜π‘€))
41, 3ax-mp 5 . . 3 {𝐼} = (Baseβ€˜π‘€)
5 eqid 2726 . . 3 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
6 snex 5424 . . . 4 {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
72grpplusg 17240 . . . 4 ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V β†’ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+gβ€˜π‘€))
86, 7ax-mp 5 . . 3 {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+gβ€˜π‘€)
9 snidg 4657 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
10 velsn 4639 . . . . 5 (π‘Ž ∈ {𝐼} ↔ π‘Ž = 𝐼)
11 df-ov 7407 . . . . . . 7 (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩)
12 opex 5457 . . . . . . . 8 ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
13 fvsng 7173 . . . . . . . 8 ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩) = 𝐼)
1412, 13mpan 687 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩) = 𝐼)
1511, 14eqtrid 2778 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
16 oveq2 7412 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}π‘Ž) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
17 id 22 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐼 β†’ π‘Ž = 𝐼)
1816, 17eqeq12d 2742 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐼 β†’ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}π‘Ž) = π‘Ž ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
1915, 18syl5ibrcom 246 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Ž = 𝐼 β†’ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}π‘Ž) = π‘Ž))
2010, 19biimtrid 241 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Ž ∈ {𝐼} β†’ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}π‘Ž) = π‘Ž))
2120imp 406 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ {𝐼}) β†’ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}π‘Ž) = π‘Ž)
22 oveq1 7411 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (π‘Ž{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
2322, 17eqeq12d 2742 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐼 β†’ ((π‘Ž{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = π‘Ž ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
2415, 23syl5ibrcom 246 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Ž = 𝐼 β†’ (π‘Ž{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = π‘Ž))
2510, 24biimtrid 241 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Ž ∈ {𝐼} β†’ (π‘Ž{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = π‘Ž))
2625imp 406 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ {𝐼}) β†’ (π‘Ž{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = π‘Ž)
274, 5, 8, 9, 21, 26ismgmid2 18599 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 = (0gβ€˜π‘€))
2827eqcomd 2732 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜π‘€) = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  {csn 4623  {cpr 4625  βŸ¨cop 4629  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  ndxcnx 17133  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  0gc0g 17392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394
This theorem is referenced by:  grp1  18973
  Copyright terms: Public domain W3C validator