Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submnd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submnd0 18019
 Description: The zero of a submonoid is the same as the zero in the parent monoid. (Note that we must add the condition that the zero of the parent monoid is actually contained in the submonoid, because it is possible to have "subsets that are monoids" which are not submonoids because they have a different identity element. See, for example, smndex1mnd 18154 and smndex1n0mnd 18156). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
submnd0.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
submnd0.z 0 = (0g𝐺)
submnd0.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
submnd0 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) → 0 = (0g𝐻))

Proof of Theorem submnd0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . 2 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2 eqid 2758 . 2 (0g𝐻) = (0g𝐻)
3 eqid 2758 . 2 (+g𝐻) = (+g𝐻)
4 simprr 772 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) → 0𝑆)
5 submnd0.h . . . . 5 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
6 submnd0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
75, 6ressbas2 16626 . . . 4 (𝑆𝐵𝑆 = (Base‘𝐻))
87ad2antrl 727 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
94, 8eleqtrd 2854 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) → 0 ∈ (Base‘𝐻))
10 fvex 6676 . . . . . . 7 (Base‘𝐻) ∈ V
118, 10eqeltrdi 2860 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) → 𝑆 ∈ V)
1211adantr 484 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑆 ∈ V)
13 eqid 2758 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
145, 13ressplusg 16683 . . . . 5 (𝑆 ∈ V → (+g𝐺) = (+g𝐻))
1512, 14syl 17 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
1615oveqd 7173 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → ( 0 (+g𝐺)𝑥) = ( 0 (+g𝐻)𝑥))
17 simpll 766 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) → 𝐺 ∈ Mnd)
185, 6ressbasss 16627 . . . . 5 (Base‘𝐻) ⊆ 𝐵
1918sseli 3890 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑥𝐵)
20 submnd0.z . . . . 5 0 = (0g𝐺)
216, 13, 20mndlid 18010 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 (+g𝐺)𝑥) = 𝑥)
2217, 19, 21syl2an 598 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → ( 0 (+g𝐺)𝑥) = 𝑥)
2316, 22eqtr3d 2795 . 2 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → ( 0 (+g𝐻)𝑥) = 𝑥)
2415oveqd 7173 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g𝐺) 0 ) = (𝑥(+g𝐻) 0 ))
256, 13, 20mndrid 18011 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥(+g𝐺) 0 ) = 𝑥)
2617, 19, 25syl2an 598 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g𝐺) 0 ) = 𝑥)
2724, 26eqtr3d 2795 . 2 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g𝐻) 0 ) = 𝑥)
281, 2, 3, 9, 23, 27ismgmid2 17957 1 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) → 0 = (0g𝐻))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16554   ↾s cress 16555  +gcplusg 16636  0gc0g 16784  Mndcmnd 17990 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-0g 16786  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991 This theorem is referenced by:  subm0  18059  xrge00  30833  gsumge0cl  43411
 Copyright terms: Public domain W3C validator