MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submnd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submnd0 18590
Description: The zero of a submonoid is the same as the zero in the parent monoid. (Note that we must add the condition that the zero of the parent monoid is actually contained in the submonoid, because it is possible to have "subsets that are monoids" which are not submonoids because they have a different identity element. See, for example, smndex1mnd 18725 and smndex1n0mnd 18727). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
submnd0.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
submnd0.z 0 = (0g𝐺)
submnd0.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
submnd0 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) → 0 = (0g𝐻))

Proof of Theorem submnd0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2 eqid 2733 . 2 (0g𝐻) = (0g𝐻)
3 eqid 2733 . 2 (+g𝐻) = (+g𝐻)
4 simprr 772 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) → 0𝑆)
5 submnd0.h . . . . 5 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
6 submnd0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
75, 6ressbas2 17125 . . . 4 (𝑆𝐵𝑆 = (Base‘𝐻))
87ad2antrl 727 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
94, 8eleqtrd 2836 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) → 0 ∈ (Base‘𝐻))
10 fvex 6856 . . . . . . 7 (Base‘𝐻) ∈ V
118, 10eqeltrdi 2842 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) → 𝑆 ∈ V)
1211adantr 482 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑆 ∈ V)
13 eqid 2733 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
145, 13ressplusg 17176 . . . . 5 (𝑆 ∈ V → (+g𝐺) = (+g𝐻))
1512, 14syl 17 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
1615oveqd 7375 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → ( 0 (+g𝐺)𝑥) = ( 0 (+g𝐻)𝑥))
17 simpll 766 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) → 𝐺 ∈ Mnd)
185, 6ressbasss 17126 . . . . 5 (Base‘𝐻) ⊆ 𝐵
1918sseli 3941 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑥𝐵)
20 submnd0.z . . . . 5 0 = (0g𝐺)
216, 13, 20mndlid 18581 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 (+g𝐺)𝑥) = 𝑥)
2217, 19, 21syl2an 597 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → ( 0 (+g𝐺)𝑥) = 𝑥)
2316, 22eqtr3d 2775 . 2 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → ( 0 (+g𝐻)𝑥) = 𝑥)
2415oveqd 7375 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g𝐺) 0 ) = (𝑥(+g𝐻) 0 ))
256, 13, 20mndrid 18582 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥(+g𝐺) 0 ) = 𝑥)
2617, 19, 25syl2an 597 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g𝐺) 0 ) = 𝑥)
2724, 26eqtr3d 2775 . 2 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g𝐻) 0 ) = 𝑥)
281, 2, 3, 9, 23, 27ismgmid2 18528 1 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) → 0 = (0g𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  wss 3911  cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  s cress 17117  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  Mndcmnd 18561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562
This theorem is referenced by:  subm0  18631  xrge00  31926  gsumge0cl  44698
  Copyright terms: Public domain W3C validator