Theorem submnd0 18746

Description: The zero of a submonoid is the same as the zero in the parent monoid. (Note that we must add the condition that the zero of the parent monoid is actually contained in the submonoid, because it is possible to have "subsets that are monoids" which are not submonoids because they have a different identity element. See, for example, smndex1mnd 18893 and smndex1n0mnd 18895). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
submnd0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
submnd0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
submnd0.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
submnd0	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 0 = (0g‘𝐻))

Proof of Theorem submnd0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
3		eqid 2736	. 2 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
4		simprr 772	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 0 ∈ 𝑆)
5		submnd0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
6		submnd0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7	5, 6	ressbas2 17264	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
8	7	ad2antrl 728	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
9	4, 8	eleqtrd 2837	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 0 ∈ (Base‘𝐻))
10		fvex 6894	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) ∈ V
11	8, 10	eqeltrdi 2843	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ V)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑆 ∈ V)
13		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
14	5, 13	ressplusg 17310	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
16	15	oveqd 7427	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑥) = ( 0 (+g‘𝐻)𝑥))
17		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 𝐺 ∈ Mnd)
18	5, 6	ressbasss 17265	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) ⊆ 𝐵
19	18	sseli 3959	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20		submnd0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
21	6, 13, 20	mndlid 18737	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
22	17, 19, 21	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
23	16, 22	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → ( 0 (+g‘𝐻)𝑥) = 𝑥)
24	15	oveqd 7427	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = (𝑥(+g‘𝐻) 0 ))
25	6, 13, 20	mndrid 18738	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑥)
26	17, 19, 25	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑥)
27	24, 26	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐻) 0 ) = 𝑥)
28	1, 2, 3, 9, 23, 27	ismgmid2 18651	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 0 = (0g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233   ↾_s cress 17256  +_gcplusg 17276  0_gc0g 17458  Mndcmnd 18717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718

This theorem is referenced by:  subm0  18798  xrge00  33012  gsumge0cl  46367