Theorem isepi 17452

Description: Definition of an epimorphism in a category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isepi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isepi.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isepi.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
isepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
isepi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isepi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isepi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isepi	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑔,𝐵   𝐶,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑋,𝑧   𝑔,𝐹,𝑧   𝜑,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑧,𝑔)

Proof of Theorem isepi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
2		isepi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3	1, 2	oppcbas 17428	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppCat‘𝐶))
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘𝐶)) = (Hom ‘(oppCat‘𝐶))
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (comp‘(oppCat‘𝐶)) = (comp‘(oppCat‘𝐶))
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Mono‘(oppCat‘𝐶)) = (Mono‘(oppCat‘𝐶))
7		isepi.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	1	oppccat 17433	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
10		isepi.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		isepi.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	3, 4, 5, 6, 9, 10, 11	ismon 17445	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)))))
13		isepi.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
14	1, 7, 6, 13	oppcmon 17450	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐸𝑌))
15	14	eleq2d 2824	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌)))
16		isepi.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
17	16, 1	oppchom 17425	. . . . 5 ⊢ (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐻𝑌)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐻𝑌))
19	18	eleq2d 2824	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))
20	16, 1	oppchom 17425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) = (𝑌𝐻𝑧)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) = (𝑌𝐻𝑧))
22		isepi.o	. . . . . . . 8 ⊢ · = (comp‘𝐶)
23		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
24	10	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	11	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	2, 22, 1, 23, 24, 25	oppcco 17427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔) = (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))
27	21, 26	mpteq12dv 5165	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)))
28	27	cnveqd 5784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ◡(𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)) = ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)))
29	28	funeqd 6456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)) ↔ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))))
30	29	ralbidva 3111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))))
31	19, 30	anbi12d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)))))
32	12, 15, 31	3bitr3d 309	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ⟨cop 4567   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588  Fun wfun 6427  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Hom chom 16973  compcco 16974  Catccat 17373  oppCatcoppc 17420  Monocmon 17440  Epicepi 17441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-hom 16986  df-cco 16987  df-cat 17377  df-cid 17378  df-oppc 17421  df-mon 17442  df-epi 17443

This theorem is referenced by:  isepi2  17453  epihom  17454