Theorem isepi 16785

Description: Definition of an epimorphism in a category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isepi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isepi.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isepi.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
isepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
isepi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isepi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isepi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isepi	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑔,𝐵   𝐶,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑋,𝑧   𝑔,𝐹,𝑧   𝜑,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑧,𝑔)

Proof of Theorem isepi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
2		isepi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3	1, 2	oppcbas 16763	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppCat‘𝐶))
4		eqid 2778	. . 3 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘𝐶)) = (Hom ‘(oppCat‘𝐶))
5		eqid 2778	. . 3 ⊢ (comp‘(oppCat‘𝐶)) = (comp‘(oppCat‘𝐶))
6		eqid 2778	. . 3 ⊢ (Mono‘(oppCat‘𝐶)) = (Mono‘(oppCat‘𝐶))
7		isepi.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	1	oppccat 16767	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
10		isepi.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		isepi.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	3, 4, 5, 6, 9, 10, 11	ismon 16778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)))))
13		isepi.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
14	1, 7, 6, 13	oppcmon 16783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐸𝑌))
15	14	eleq2d 2845	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌)))
16		isepi.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
17	16, 1	oppchom 16760	. . . . 5 ⊢ (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐻𝑌)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐻𝑌))
19	18	eleq2d 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))
20	16, 1	oppchom 16760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) = (𝑌𝐻𝑧)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) = (𝑌𝐻𝑧))
22		isepi.o	. . . . . . . 8 ⊢ · = (comp‘𝐶)
23		simpr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
24	10	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	11	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	2, 22, 1, 23, 24, 25	oppcco 16762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔) = (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))
27	21, 26	mpteq12dv 4969	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)))
28	27	cnveqd 5543	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ◡(𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)) = ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)))
29	28	funeqd 6157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)) ↔ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))))
30	29	ralbidva 3167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))))
31	19, 30	anbi12d 624	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)))))
32	12, 15, 31	3bitr3d 301	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  ⟨cop 4404   ↦ cmpt 4965  ^◡ccnv 5354  Fun wfun 6129  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  Hom chom 16349  compcco 16350  Catccat 16710  oppCatcoppc 16756  Monocmon 16773  Epicepi 16774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-hom 16362  df-cco 16363  df-cat 16714  df-cid 16715  df-oppc 16757  df-mon 16775  df-epi 16776

This theorem is referenced by:  isepi2  16786  epihom  16787