MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isepi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isepi 17010
Description: Definition of an epimorphism in a category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isepi.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
isepi.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isepi.o · = (comp‘𝐶)
isepi.e 𝐸 = (Epi‘𝐶)
isepi.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
isepi.x (𝜑𝑋𝐵)
isepi.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
isepi (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑔,𝐵   𝐶,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑋,𝑧   𝑔,𝐹,𝑧   𝜑,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑧,𝑔)

Proof of Theorem isepi
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . 4 (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
2 isepi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
31, 2oppcbas 16988 . . 3 𝐵 = (Base‘(oppCat‘𝐶))
4 eqid 2824 . . 3 (Hom ‘(oppCat‘𝐶)) = (Hom ‘(oppCat‘𝐶))
5 eqid 2824 . . 3 (comp‘(oppCat‘𝐶)) = (comp‘(oppCat‘𝐶))
6 eqid 2824 . . 3 (Mono‘(oppCat‘𝐶)) = (Mono‘(oppCat‘𝐶))
7 isepi.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
81oppccat 16992 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
10 isepi.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
11 isepi.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
123, 4, 5, 6, 9, 10, 11ismon 17003 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ∧ ∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)))))
13 isepi.e . . . 4 𝐸 = (Epi‘𝐶)
141, 7, 6, 13oppcmon 17008 . . 3 (𝜑 → (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐸𝑌))
1514eleq2d 2901 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌)))
16 isepi.h . . . . . 6 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
1716, 1oppchom 16985 . . . . 5 (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐻𝑌)
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐻𝑌))
1918eleq2d 2901 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))
2016, 1oppchom 16985 . . . . . . . 8 (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) = (𝑌𝐻𝑧)
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) = (𝑌𝐻𝑧))
22 isepi.o . . . . . . . 8 · = (comp‘𝐶)
23 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
2410adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑌𝐵)
2511adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑋𝐵)
262, 22, 1, 23, 24, 25oppcco 16987 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔) = (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹))
2721, 26mpteq12dv 5137 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)))
2827cnveqd 5733 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)))
2928funeqd 6365 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐵) → (Fun (𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)) ↔ Fun (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹))))
3029ralbidva 3191 . . 3 (𝜑 → (∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)) ↔ ∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹))))
3119, 30anbi12d 633 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ∧ ∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)))))
3212, 15, 313bitr3d 312 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  cop 4556  cmpt 5132  ccnv 5541  Fun wfun 6337  cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  Hom chom 16576  compcco 16577  Catccat 16935  oppCatcoppc 16981  Monocmon 16998  Epicepi 16999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-hom 16589  df-cco 16590  df-cat 16939  df-cid 16940  df-oppc 16982  df-mon 17000  df-epi 17001
This theorem is referenced by:  isepi2  17011  epihom  17012
  Copyright terms: Public domain W3C validator