Theorem isphtpyd 24726

Description: Deduction for membership in the class of path homotopies. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isphtpy.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpy.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpyd.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
isphtpyd.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘0))
isphtpyd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1))

Assertion

Ref	Expression
isphtpyd	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝐻,𝑠   𝐽,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem isphtpyd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isphtpyd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
2		isphtpyd.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘0))
3		isphtpyd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1))
4	2, 3	jca 512	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1)))
5	4	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (0[,]1)((0𝐻𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1)))
6		isphtpy.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7		isphtpy.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
8	6, 7	isphtpy 24721	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ↔ (𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺) ∧ ∀𝑠 ∈ (0[,]1)((0𝐻𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1)))))
9	1, 5, 8	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113  [,]cicc 13331   Cn ccn 22948  IIcii 24615   Htpy chtpy 24707  PHtpycphtpy 24708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824  df-top 22616  df-topon 22633  df-cn 22951  df-phtpy 24711

This theorem is referenced by:  isphtpy2d  24727  phtpycom  24728  phtpyid  24729  phtpyco2  24730  phtpycc  24731