Theorem isphtpyd 25045

Description: Deduction for membership in the class of path homotopies. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isphtpy.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpy.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpyd.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
isphtpyd.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘0))
isphtpyd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1))

Assertion

Ref	Expression
isphtpyd	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝐻,𝑠   𝐽,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem isphtpyd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isphtpyd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
2		isphtpyd.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘0))
3		isphtpyd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1))
4	2, 3	jca 519	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1)))
5	4	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (0[,]1)((0𝐻𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1)))
6		isphtpy.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7		isphtpy.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
8	6, 7	isphtpy 25040	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ↔ (𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺) ∧ ∀𝑠 ∈ (0[,]1)((0𝐻𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1)))))
9	1, 5, 8	mpbir2and 723	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11073  1c1 11074  [,]cicc 13352   Cn ccn 23281  IIcii 24934   Htpy chtpy 25026  PHtpycphtpy 25027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-map 8810  df-top 22951  df-topon 22968  df-cn 23284  df-phtpy 25030

This theorem is referenced by:  isphtpy2d  25046  phtpycom  25047  phtpyid  25048  phtpyco2  25049  phtpycc  25050