MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpycom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phtpycom 23114
Description: Given a homotopy from 𝐹 to 𝐺, produce a homotopy from 𝐺 to 𝐹. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphtpy.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpy.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycom.6 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦)))
phtpycom.7 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
Assertion
Ref Expression
phtpycom (𝜑𝐾 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐻   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem phtpycom
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isphtpy.3 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
2 isphtpy.2 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3 iitopon 23009 . . . 4 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
5 phtpycom.6 . . 3 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦)))
62, 1phtpyhtpy 23108 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
7 phtpycom.7 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
86, 7sseldd 3800 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
94, 2, 1, 5, 8htpycom 23102 . 2 (𝜑𝐾 ∈ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐹))
10 0elunit 12541 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
11 simpr 478 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
12 oveq1 6886 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐻(1 − 𝑦)) = (0𝐻(1 − 𝑦)))
13 oveq2 6887 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑡 → (1 − 𝑦) = (1 − 𝑡))
1413oveq2d 6895 . . . . 5 (𝑦 = 𝑡 → (0𝐻(1 − 𝑦)) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
15 ovex 6911 . . . . 5 (0𝐻(1 − 𝑡)) ∈ V
1612, 14, 5, 15ovmpt2 7031 . . . 4 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
1710, 11, 16sylancr 582 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
18 iirev 23055 . . . . 5 (𝑡 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1))
192, 1, 7phtpyi 23110 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1)))
2018, 19sylan2 587 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1)))
2120simpld 489 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0))
222, 1, 7phtpy01 23111 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
2322adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
2423simpld 489 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
2517, 21, 243eqtrd 2838 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (𝐺‘0))
26 1elunit 12542 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
27 oveq1 6886 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝑥𝐻(1 − 𝑦)) = (1𝐻(1 − 𝑦)))
2813oveq2d 6895 . . . . 5 (𝑦 = 𝑡 → (1𝐻(1 − 𝑦)) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
29 ovex 6911 . . . . 5 (1𝐻(1 − 𝑡)) ∈ V
3027, 28, 5, 29ovmpt2 7031 . . . 4 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
3126, 11, 30sylancr 582 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
3220simprd 490 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1))
3323simprd 490 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
3431, 32, 333eqtrd 2838 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (𝐺‘1))
351, 2, 9, 25, 34isphtpyd 23112 1 (𝜑𝐾 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  cfv 6102  (class class class)co 6879  cmpt2 6881  0cc0 10225  1c1 10226  cmin 10557  [,]cicc 12426  TopOnctopon 21042   Cn ccn 21356  IIcii 23005   Htpy chtpy 23093  PHtpycphtpy 23094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-iin 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-of 7132  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-supp 7534  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-2o 7801  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-ixp 8150  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-fsupp 8519  df-fi 8560  df-sup 8591  df-inf 8592  df-oi 8658  df-card 9052  df-cda 9279  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-q 12033  df-rp 12074  df-xneg 12192  df-xadd 12193  df-xmul 12194  df-ioo 12427  df-icc 12430  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-seq 13055  df-exp 13114  df-hash 13370  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-ress 16191  df-plusg 16279  df-mulr 16280  df-starv 16281  df-sca 16282  df-vsca 16283  df-ip 16284  df-tset 16285  df-ple 16286  df-ds 16288  df-unif 16289  df-hom 16290  df-cco 16291  df-rest 16397  df-topn 16398  df-0g 16416  df-gsum 16417  df-topgen 16418  df-pt 16419  df-prds 16422  df-xrs 16476  df-qtop 16481  df-imas 16482  df-xps 16484  df-mre 16560  df-mrc 16561  df-acs 16563  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-submnd 17650  df-mulg 17856  df-cntz 18061  df-cmn 18509  df-psmet 20059  df-xmet 20060  df-met 20061  df-bl 20062  df-mopn 20063  df-cnfld 20068  df-top 21026  df-topon 21043  df-topsp 21065  df-bases 21078  df-cn 21359  df-cnp 21360  df-tx 21693  df-hmeo 21886  df-xms 22452  df-ms 22453  df-tms 22454  df-ii 23007  df-htpy 23096  df-phtpy 23097
This theorem is referenced by:  phtpcer  23121
  Copyright terms: Public domain W3C validator