Theorem phtpycom 23733

Description: Given a homotopy from 𝐹 to 𝐺, produce a homotopy from 𝐺 to 𝐹. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isphtpy.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpy.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycom.6	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦)))
phtpycom.7	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
phtpycom	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐻   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem phtpycom

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isphtpy.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
2		isphtpy.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3		iitopon 23624	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
5		phtpycom.6	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦)))
6	2, 1	phtpyhtpy 23727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
7		phtpycom.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
8	6, 7	sseldd 3876	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
9	4, 2, 1, 5, 8	htpycom 23721	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐹))
10		0elunit 12936	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
11		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
12		oveq1 7171	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐻(1 − 𝑦)) = (0𝐻(1 − 𝑦)))
13		oveq2 7172	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (1 − 𝑦) = (1 − 𝑡))
14	13	oveq2d 7180	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (0𝐻(1 − 𝑦)) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
15		ovex 7197	. . . . 5 ⊢ (0𝐻(1 − 𝑡)) ∈ V
16	12, 14, 5, 15	ovmpo 7319	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
17	10, 11, 16	sylancr 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
18		iirev 23674	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1))
19	2, 1, 7	phtpyi 23729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1)))
20	18, 19	sylan2 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1)))
21	20	simpld 498	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0))
22	2, 1, 7	phtpy01 23730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
23	22	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
24	23	simpld 498	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
25	17, 21, 24	3eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (𝐺‘0))
26		1elunit 12937	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
27		oveq1 7171	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥𝐻(1 − 𝑦)) = (1𝐻(1 − 𝑦)))
28	13	oveq2d 7180	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (1𝐻(1 − 𝑦)) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
29		ovex 7197	. . . . 5 ⊢ (1𝐻(1 − 𝑡)) ∈ V
30	27, 28, 5, 29	ovmpo 7319	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
31	26, 11, 30	sylancr 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
32	20	simprd 499	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1))
33	23	simprd 499	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
34	31, 32, 33	3eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (𝐺‘1))
35	1, 2, 9, 25, 34	isphtpyd 23731	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164   ∈ cmpo 7166  0cc0 10608  1c1 10609   − cmin 10941  [,]cicc 12817  TopOnctopon 21654   Cn ccn 21968  IIcii 23620   Htpy chtpy 23712  PHtpycphtpy 23713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-map 8432  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-exp 13515  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-mulg 18336  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-ii 23622  df-htpy 23715  df-phtpy 23716

This theorem is referenced by:  phtpcer  23740