Theorem phtpycom 24504

Description: Given a homotopy from 𝐹 to 𝐺, produce a homotopy from 𝐺 to 𝐹. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isphtpy.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpy.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycom.6	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦)))
phtpycom.7	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
phtpycom	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐻   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem phtpycom

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isphtpy.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
2		isphtpy.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3		iitopon 24395	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
5		phtpycom.6	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦)))
6	2, 1	phtpyhtpy 24498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
7		phtpycom.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
8	6, 7	sseldd 3984	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
9	4, 2, 1, 5, 8	htpycom 24492	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐹))
10		0elunit 13446	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
11		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
12		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐻(1 − 𝑦)) = (0𝐻(1 − 𝑦)))
13		oveq2 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (1 − 𝑦) = (1 − 𝑡))
14	13	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (0𝐻(1 − 𝑦)) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
15		ovex 7442	. . . . 5 ⊢ (0𝐻(1 − 𝑡)) ∈ V
16	12, 14, 5, 15	ovmpo 7568	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
17	10, 11, 16	sylancr 588	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
18		iirev 24445	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1))
19	2, 1, 7	phtpyi 24500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1)))
20	18, 19	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1)))
21	20	simpld 496	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0))
22	2, 1, 7	phtpy01 24501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
23	22	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
24	23	simpld 496	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
25	17, 21, 24	3eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (𝐺‘0))
26		1elunit 13447	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
27		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥𝐻(1 − 𝑦)) = (1𝐻(1 − 𝑦)))
28	13	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (1𝐻(1 − 𝑦)) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
29		ovex 7442	. . . . 5 ⊢ (1𝐻(1 − 𝑡)) ∈ V
30	27, 28, 5, 29	ovmpo 7568	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
31	26, 11, 30	sylancr 588	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
32	20	simprd 497	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1))
33	23	simprd 497	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
34	31, 32, 33	3eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (𝐺‘1))
35	1, 2, 9, 25, 34	isphtpyd 24502	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  0cc0 11110  1c1 11111   − cmin 11444  [,]cicc 13327  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728  IIcii 24391   Htpy chtpy 24483  PHtpycphtpy 24484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-ii 24393  df-htpy 24486  df-phtpy 24487

This theorem is referenced by:  phtpcer  24511