MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpycom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phtpycom 24934
Description: Given a homotopy from 𝐹 to 𝐺, produce a homotopy from 𝐺 to 𝐹. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphtpy.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpy.3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycom.6 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐻(1 βˆ’ 𝑦)))
phtpycom.7 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐺))
Assertion
Ref Expression
phtpycom (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐺(PHtpyβ€˜π½)𝐹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐻   π‘₯,𝐽,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem phtpycom
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isphtpy.3 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
2 isphtpy.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3 iitopon 24819 . . . 4 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
5 phtpycom.6 . . 3 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐻(1 βˆ’ 𝑦)))
62, 1phtpyhtpy 24928 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐺) βŠ† (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
7 phtpycom.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐺))
86, 7sseldd 3983 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
94, 2, 1, 5, 8htpycom 24922 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐹))
10 0elunit 13486 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
11 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑑 ∈ (0[,]1))
12 oveq1 7433 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯𝐻(1 βˆ’ 𝑦)) = (0𝐻(1 βˆ’ 𝑦)))
13 oveq2 7434 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑑 β†’ (1 βˆ’ 𝑦) = (1 βˆ’ 𝑑))
1413oveq2d 7442 . . . . 5 (𝑦 = 𝑑 β†’ (0𝐻(1 βˆ’ 𝑦)) = (0𝐻(1 βˆ’ 𝑑)))
15 ovex 7459 . . . . 5 (0𝐻(1 βˆ’ 𝑑)) ∈ V
1612, 14, 5, 15ovmpo 7587 . . . 4 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐾𝑑) = (0𝐻(1 βˆ’ 𝑑)))
1710, 11, 16sylancr 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐾𝑑) = (0𝐻(1 βˆ’ 𝑑)))
18 iirev 24870 . . . . 5 (𝑑 ∈ (0[,]1) β†’ (1 βˆ’ 𝑑) ∈ (0[,]1))
192, 1, 7phtpyi 24930 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (1 βˆ’ 𝑑) ∈ (0[,]1)) β†’ ((0𝐻(1 βˆ’ 𝑑)) = (πΉβ€˜0) ∧ (1𝐻(1 βˆ’ 𝑑)) = (πΉβ€˜1)))
2018, 19sylan2 591 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((0𝐻(1 βˆ’ 𝑑)) = (πΉβ€˜0) ∧ (1𝐻(1 βˆ’ 𝑑)) = (πΉβ€˜1)))
2120simpld 493 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐻(1 βˆ’ 𝑑)) = (πΉβ€˜0))
222, 1, 7phtpy01 24931 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜0) = (πΊβ€˜0) ∧ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1)))
2322adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((πΉβ€˜0) = (πΊβ€˜0) ∧ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1)))
2423simpld 493 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜0) = (πΊβ€˜0))
2517, 21, 243eqtrd 2772 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐾𝑑) = (πΊβ€˜0))
26 1elunit 13487 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
27 oveq1 7433 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯𝐻(1 βˆ’ 𝑦)) = (1𝐻(1 βˆ’ 𝑦)))
2813oveq2d 7442 . . . . 5 (𝑦 = 𝑑 β†’ (1𝐻(1 βˆ’ 𝑦)) = (1𝐻(1 βˆ’ 𝑑)))
29 ovex 7459 . . . . 5 (1𝐻(1 βˆ’ 𝑑)) ∈ V
3027, 28, 5, 29ovmpo 7587 . . . 4 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐾𝑑) = (1𝐻(1 βˆ’ 𝑑)))
3126, 11, 30sylancr 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐾𝑑) = (1𝐻(1 βˆ’ 𝑑)))
3220simprd 494 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐻(1 βˆ’ 𝑑)) = (πΉβ€˜1))
3323simprd 494 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1))
3431, 32, 333eqtrd 2772 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐾𝑑) = (πΊβ€˜1))
351, 2, 9, 25, 34isphtpyd 24932 1 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐺(PHtpyβ€˜π½)𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  0cc0 11146  1c1 11147   βˆ’ cmin 11482  [,]cicc 13367  TopOnctopon 22832   Cn ccn 23148  IIcii 24815   Htpy chtpy 24913  PHtpycphtpy 24914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-ii 24817  df-htpy 24916  df-phtpy 24917
This theorem is referenced by:  phtpcer  24941
  Copyright terms: Public domain W3C validator