Theorem phtpycom 25020

Description: Given a homotopy from 𝐹 to 𝐺, produce a homotopy from 𝐺 to 𝐹. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isphtpy.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpy.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycom.6	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦)))
phtpycom.7	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
phtpycom	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐻   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem phtpycom

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isphtpy.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
2		isphtpy.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3		iitopon 24905	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
5		phtpycom.6	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦)))
6	2, 1	phtpyhtpy 25014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
7		phtpycom.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
8	6, 7	sseldd 3984	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
9	4, 2, 1, 5, 8	htpycom 25008	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐹))
10		0elunit 13509	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
12		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐻(1 − 𝑦)) = (0𝐻(1 − 𝑦)))
13		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (1 − 𝑦) = (1 − 𝑡))
14	13	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (0𝐻(1 − 𝑦)) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
15		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ (0𝐻(1 − 𝑡)) ∈ V
16	12, 14, 5, 15	ovmpo 7593	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
17	10, 11, 16	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
18		iirev 24956	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1))
19	2, 1, 7	phtpyi 25016	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1)))
20	18, 19	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1)))
21	20	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0))
22	2, 1, 7	phtpy01 25017	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
24	23	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
25	17, 21, 24	3eqtrd 2781	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (𝐺‘0))
26		1elunit 13510	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
27		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥𝐻(1 − 𝑦)) = (1𝐻(1 − 𝑦)))
28	13	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (1𝐻(1 − 𝑦)) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
29		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ (1𝐻(1 − 𝑡)) ∈ V
30	27, 28, 5, 29	ovmpo 7593	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
31	26, 11, 30	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
32	20	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1))
33	23	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
34	31, 32, 33	3eqtrd 2781	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (𝐺‘1))
35	1, 2, 9, 25, 34	isphtpyd 25018	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  0cc0 11155  1c1 11156   − cmin 11492  [,]cicc 13390  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232  IIcii 24901   Htpy chtpy 24999  PHtpycphtpy 25000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-ii 24903  df-htpy 25002  df-phtpy 25003

This theorem is referenced by:  phtpcer  25027