Theorem phtpycom 24957

Description: Given a homotopy from 𝐹 to 𝐺, produce a homotopy from 𝐺 to 𝐹. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isphtpy.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpy.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycom.6	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦)))
phtpycom.7	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
phtpycom	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐻   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem phtpycom

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isphtpy.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
2		isphtpy.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3		iitopon 24842	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
5		phtpycom.6	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦)))
6	2, 1	phtpyhtpy 24951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
7		phtpycom.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
8	6, 7	sseldd 3964	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
9	4, 2, 1, 5, 8	htpycom 24945	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐹))
10		0elunit 13491	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
12		oveq1 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐻(1 − 𝑦)) = (0𝐻(1 − 𝑦)))
13		oveq2 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (1 − 𝑦) = (1 − 𝑡))
14	13	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (0𝐻(1 − 𝑦)) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
15		ovex 7446	. . . . 5 ⊢ (0𝐻(1 − 𝑡)) ∈ V
16	12, 14, 5, 15	ovmpo 7575	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
17	10, 11, 16	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
18		iirev 24893	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1))
19	2, 1, 7	phtpyi 24953	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1)))
20	18, 19	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1)))
21	20	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0))
22	2, 1, 7	phtpy01 24954	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
24	23	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
25	17, 21, 24	3eqtrd 2773	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (𝐺‘0))
26		1elunit 13492	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
27		oveq1 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥𝐻(1 − 𝑦)) = (1𝐻(1 − 𝑦)))
28	13	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (1𝐻(1 − 𝑦)) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
29		ovex 7446	. . . . 5 ⊢ (1𝐻(1 − 𝑡)) ∈ V
30	27, 28, 5, 29	ovmpo 7575	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
31	26, 11, 30	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
32	20	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1))
33	23	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
34	31, 32, 33	3eqtrd 2773	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (𝐺‘1))
35	1, 2, 9, 25, 34	isphtpyd 24955	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  0cc0 11137  1c1 11138   − cmin 11474  [,]cicc 13372  TopOnctopon 22865   Cn ccn 23179  IIcii 24838   Htpy chtpy 24936  PHtpycphtpy 24937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13373  df-icc 13376  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14353  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17254  df-plusg 17287  df-mulr 17288  df-starv 17289  df-sca 17290  df-vsca 17291  df-ip 17292  df-tset 17293  df-ple 17294  df-ds 17296  df-unif 17297  df-hom 17298  df-cco 17299  df-rest 17439  df-topn 17440  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-topgen 17460  df-pt 17461  df-prds 17464  df-xrs 17519  df-qtop 17524  df-imas 17525  df-xps 17527  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19769  df-psmet 21319  df-xmet 21320  df-met 21321  df-bl 21322  df-mopn 21323  df-cnfld 21328  df-top 22849  df-topon 22866  df-topsp 22888  df-bases 22901  df-cn 23182  df-cnp 23183  df-tx 23517  df-hmeo 23710  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-ii 24840  df-htpy 24939  df-phtpy 24940

This theorem is referenced by:  phtpcer  24964