MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpycom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phtpycom 23591
Description: Given a homotopy from 𝐹 to 𝐺, produce a homotopy from 𝐺 to 𝐹. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphtpy.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpy.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycom.6 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦)))
phtpycom.7 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
Assertion
Ref Expression
phtpycom (𝜑𝐾 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐻   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem phtpycom
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isphtpy.3 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
2 isphtpy.2 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3 iitopon 23486 . . . 4 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
5 phtpycom.6 . . 3 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦)))
62, 1phtpyhtpy 23585 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
7 phtpycom.7 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
86, 7sseldd 3967 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
94, 2, 1, 5, 8htpycom 23579 . 2 (𝜑𝐾 ∈ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐹))
10 0elunit 12854 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
11 simpr 487 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
12 oveq1 7162 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐻(1 − 𝑦)) = (0𝐻(1 − 𝑦)))
13 oveq2 7163 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑡 → (1 − 𝑦) = (1 − 𝑡))
1413oveq2d 7171 . . . . 5 (𝑦 = 𝑡 → (0𝐻(1 − 𝑦)) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
15 ovex 7188 . . . . 5 (0𝐻(1 − 𝑡)) ∈ V
1612, 14, 5, 15ovmpo 7309 . . . 4 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
1710, 11, 16sylancr 589 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
18 iirev 23532 . . . . 5 (𝑡 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1))
192, 1, 7phtpyi 23587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1)))
2018, 19sylan2 594 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1)))
2120simpld 497 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0))
222, 1, 7phtpy01 23588 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
2322adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
2423simpld 497 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
2517, 21, 243eqtrd 2860 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (𝐺‘0))
26 1elunit 12855 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
27 oveq1 7162 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝑥𝐻(1 − 𝑦)) = (1𝐻(1 − 𝑦)))
2813oveq2d 7171 . . . . 5 (𝑦 = 𝑡 → (1𝐻(1 − 𝑦)) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
29 ovex 7188 . . . . 5 (1𝐻(1 − 𝑡)) ∈ V
3027, 28, 5, 29ovmpo 7309 . . . 4 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
3126, 11, 30sylancr 589 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
3220simprd 498 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1))
3323simprd 498 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
3431, 32, 333eqtrd 2860 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (𝐺‘1))
351, 2, 9, 25, 34isphtpyd 23589 1 (𝜑𝐾 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  cfv 6354  (class class class)co 7155  cmpo 7157  0cc0 10536  1c1 10537  cmin 10869  [,]cicc 12740  TopOnctopon 21517   Cn ccn 21831  IIcii 23482   Htpy chtpy 23570  PHtpycphtpy 23571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931  df-ii 23484  df-htpy 23573  df-phtpy 23574
This theorem is referenced by:  phtpcer  23598
  Copyright terms: Public domain W3C validator