MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpycom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phtpycom 24869
Description: Given a homotopy from 𝐹 to 𝐺, produce a homotopy from 𝐺 to 𝐹. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphtpy.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpy.3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycom.6 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐻(1 βˆ’ 𝑦)))
phtpycom.7 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐺))
Assertion
Ref Expression
phtpycom (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐺(PHtpyβ€˜π½)𝐹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐻   π‘₯,𝐽,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem phtpycom
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isphtpy.3 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
2 isphtpy.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3 iitopon 24754 . . . 4 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
5 phtpycom.6 . . 3 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐻(1 βˆ’ 𝑦)))
62, 1phtpyhtpy 24863 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐺) βŠ† (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
7 phtpycom.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐺))
86, 7sseldd 3978 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
94, 2, 1, 5, 8htpycom 24857 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐹))
10 0elunit 13452 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
11 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑑 ∈ (0[,]1))
12 oveq1 7412 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯𝐻(1 βˆ’ 𝑦)) = (0𝐻(1 βˆ’ 𝑦)))
13 oveq2 7413 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑑 β†’ (1 βˆ’ 𝑦) = (1 βˆ’ 𝑑))
1413oveq2d 7421 . . . . 5 (𝑦 = 𝑑 β†’ (0𝐻(1 βˆ’ 𝑦)) = (0𝐻(1 βˆ’ 𝑑)))
15 ovex 7438 . . . . 5 (0𝐻(1 βˆ’ 𝑑)) ∈ V
1612, 14, 5, 15ovmpo 7564 . . . 4 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐾𝑑) = (0𝐻(1 βˆ’ 𝑑)))
1710, 11, 16sylancr 586 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐾𝑑) = (0𝐻(1 βˆ’ 𝑑)))
18 iirev 24805 . . . . 5 (𝑑 ∈ (0[,]1) β†’ (1 βˆ’ 𝑑) ∈ (0[,]1))
192, 1, 7phtpyi 24865 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (1 βˆ’ 𝑑) ∈ (0[,]1)) β†’ ((0𝐻(1 βˆ’ 𝑑)) = (πΉβ€˜0) ∧ (1𝐻(1 βˆ’ 𝑑)) = (πΉβ€˜1)))
2018, 19sylan2 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((0𝐻(1 βˆ’ 𝑑)) = (πΉβ€˜0) ∧ (1𝐻(1 βˆ’ 𝑑)) = (πΉβ€˜1)))
2120simpld 494 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐻(1 βˆ’ 𝑑)) = (πΉβ€˜0))
222, 1, 7phtpy01 24866 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜0) = (πΊβ€˜0) ∧ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1)))
2322adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((πΉβ€˜0) = (πΊβ€˜0) ∧ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1)))
2423simpld 494 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜0) = (πΊβ€˜0))
2517, 21, 243eqtrd 2770 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐾𝑑) = (πΊβ€˜0))
26 1elunit 13453 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
27 oveq1 7412 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯𝐻(1 βˆ’ 𝑦)) = (1𝐻(1 βˆ’ 𝑦)))
2813oveq2d 7421 . . . . 5 (𝑦 = 𝑑 β†’ (1𝐻(1 βˆ’ 𝑦)) = (1𝐻(1 βˆ’ 𝑑)))
29 ovex 7438 . . . . 5 (1𝐻(1 βˆ’ 𝑑)) ∈ V
3027, 28, 5, 29ovmpo 7564 . . . 4 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐾𝑑) = (1𝐻(1 βˆ’ 𝑑)))
3126, 11, 30sylancr 586 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐾𝑑) = (1𝐻(1 βˆ’ 𝑑)))
3220simprd 495 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐻(1 βˆ’ 𝑑)) = (πΉβ€˜1))
3323simprd 495 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1))
3431, 32, 333eqtrd 2770 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐾𝑑) = (πΊβ€˜1))
351, 2, 9, 25, 34isphtpyd 24867 1 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐺(PHtpyβ€˜π½)𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  0cc0 11112  1c1 11113   βˆ’ cmin 11448  [,]cicc 13333  TopOnctopon 22767   Cn ccn 23083  IIcii 24750   Htpy chtpy 24848  PHtpycphtpy 24849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-ii 24752  df-htpy 24851  df-phtpy 24852
This theorem is referenced by:  phtpcer  24876
  Copyright terms: Public domain W3C validator