Theorem phtpyid 24258

Description: A homotopy from a path to itself. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phtpyid.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥))
phtpyid.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
phtpyid	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem phtpyid

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpyid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		phtpyid.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥))
3		iitopon 24148	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
5	2, 4, 1	htpyid 24246	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐹))
6		0elunit 13302	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
7		fveq2 6825	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘0))
8		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝐹‘0) = (𝐹‘0))
9		fvex 6838	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘0) ∈ V
10	7, 8, 2, 9	ovmpo 7495	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐺𝑠) = (𝐹‘0))
11	6, 10	mpan 687	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,]1) → (0𝐺𝑠) = (𝐹‘0))
12	11	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐺𝑠) = (𝐹‘0))
13		1elunit 13303	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
14		fveq2 6825	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
15		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝐹‘1) = (𝐹‘1))
16		fvex 6838	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘1) ∈ V
17	14, 15, 2, 16	ovmpo 7495	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐺𝑠) = (𝐹‘1))
18	13, 17	mpan 687	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,]1) → (1𝐺𝑠) = (𝐹‘1))
19	18	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐺𝑠) = (𝐹‘1))
20	1, 1, 5, 12, 19	isphtpyd 24255	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337   ∈ cmpo 7339  0cc0 10972  1c1 10973  [,]cicc 13183  TopOnctopon 22165   Cn ccn 22481  IIcii 24144  PHtpycphtpy 24237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-inf 9300  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-xneg 12949  df-xadd 12950  df-xmul 12951  df-icc 13187  df-seq 13823  df-exp 13884  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-topgen 17251  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-top 22149  df-topon 22166  df-bases 22202  df-cn 22484  df-tx 22819  df-ii 24146  df-htpy 24239  df-phtpy 24240

This theorem is referenced by:  phtpcer  24264