Theorem phtpyid 25148

Description: A homotopy from a path to itself. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phtpyid.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥))
phtpyid.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
phtpyid	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem phtpyid

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpyid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		phtpyid.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥))
3		iitopon 25038	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
5	2, 4, 1	htpyid 25136	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐹))
6		0elunit 13491	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
7		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘0))
8		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝐹‘0) = (𝐹‘0))
9		fvex 6894	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘0) ∈ V
10	7, 8, 2, 9	ovmpo 7570	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐺𝑠) = (𝐹‘0))
11	6, 10	mpan 702	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,]1) → (0𝐺𝑠) = (𝐹‘0))
12	11	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐺𝑠) = (𝐹‘0))
13		1elunit 13492	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
14		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
15		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝐹‘1) = (𝐹‘1))
16		fvex 6894	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘1) ∈ V
17	14, 15, 2, 16	ovmpo 7570	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐺𝑠) = (𝐹‘1))
18	13, 17	mpan 702	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,]1) → (1𝐺𝑠) = (𝐹‘1))
19	18	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐺𝑠) = (𝐹‘1))
20	1, 1, 5, 12, 19	isphtpyd 25145	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  0cc0 11095  1c1 11096  [,]cicc 13370  TopOnctopon 23067   Cn ccn 23381  IIcii 25034  PHtpycphtpy 25127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-icc 13374  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-topgen 17491  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-top 23051  df-topon 23068  df-bases 23103  df-cn 23384  df-tx 23719  df-ii 25036  df-htpy 25129  df-phtpy 25130

This theorem is referenced by:  phtpcer  25154