Theorem phtpyid 25319

Description: A homotopy from a path to itself. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phtpyid.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥))
phtpyid.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
phtpyid	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem phtpyid

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpyid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		phtpyid.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥))
3		iitopon 25209	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
5	2, 4, 1	htpyid 25307	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐹))
6		0elunit 13607	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
7		fveq2 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘0))
8		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝐹‘0) = (𝐹‘0))
9		fvex 6903	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘0) ∈ V
10	7, 8, 2, 9	ovmpo 7584	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐺𝑠) = (𝐹‘0))
11	6, 10	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,]1) → (0𝐺𝑠) = (𝐹‘0))
12	11	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐺𝑠) = (𝐹‘0))
13		1elunit 13608	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
14		fveq2 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
15		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝐹‘1) = (𝐹‘1))
16		fvex 6903	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘1) ∈ V
17	14, 15, 2, 16	ovmpo 7584	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐺𝑠) = (𝐹‘1))
18	13, 17	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,]1) → (1𝐺𝑠) = (𝐹‘1))
19	18	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐺𝑠) = (𝐹‘1))
20	1, 1, 5, 12, 19	isphtpyd 25316	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426  0cc0 11207  1c1 11208  [,]cicc 13486  TopOnctopon 23237   Cn ccn 23551  IIcii 25205  PHtpycphtpy 25298

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-icc 13490  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-topgen 17623  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-top 23221  df-topon 23238  df-bases 23273  df-cn 23554  df-tx 23890  df-ii 25207  df-htpy 25300  df-phtpy 25301

This theorem is used by:  phtpcer  25325