Theorem phtpyid 25020

Description: A homotopy from a path to itself. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phtpyid.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥))
phtpyid.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
phtpyid	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem phtpyid

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpyid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		phtpyid.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥))
3		iitopon 24910	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
5	2, 4, 1	htpyid 25008	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐹))
6		0elunit 13459	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
7		fveq2 6852	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘0))
8		eqidd 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝐹‘0) = (𝐹‘0))
9		fvex 6865	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘0) ∈ V
10	7, 8, 2, 9	ovmpo 7541	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐺𝑠) = (𝐹‘0))
11	6, 10	mpan 698	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,]1) → (0𝐺𝑠) = (𝐹‘0))
12	11	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐺𝑠) = (𝐹‘0))
13		1elunit 13460	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
14		fveq2 6852	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
15		eqidd 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝐹‘1) = (𝐹‘1))
16		fvex 6865	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘1) ∈ V
17	14, 15, 2, 16	ovmpo 7541	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐺𝑠) = (𝐹‘1))
18	13, 17	mpan 698	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,]1) → (1𝐺𝑠) = (𝐹‘1))
19	18	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐺𝑠) = (𝐹‘1))
20	1, 1, 5, 12, 19	isphtpyd 25017	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381   ∈ cmpo 7383  0cc0 11059  1c1 11060  [,]cicc 13338  TopOnctopon 22939   Cn ccn 23253  IIcii 24906  PHtpycphtpy 24999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-q 12936  df-rp 12980  df-xneg 13100  df-xadd 13101  df-xmul 13102  df-icc 13342  df-seq 14001  df-exp 14061  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-topgen 17444  df-psmet 21385  df-xmet 21386  df-met 21387  df-bl 21388  df-mopn 21389  df-top 22923  df-topon 22940  df-bases 22975  df-cn 23256  df-tx 23591  df-ii 24908  df-htpy 25001  df-phtpy 25002

This theorem is referenced by:  phtpcer  25026