Theorem phtpyco2 23841

Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phtpyco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyco2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyco2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
phtpyco2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
phtpyco2	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem phtpyco2

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpyco2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		phtpyco2.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		cnco 22117	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
4	1, 2, 3	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
5		phtpyco2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6		cnco 22117	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
7	5, 2, 6	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
8	1, 5	phtpyhtpy 23833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
9		phtpyco2.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
10	8, 9	sseldd 3888	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
11	1, 5, 2, 10	htpyco2 23830	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(II Htpy 𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))
12	1, 5, 9	phtpyi 23835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1)))
13	12	simpld 498	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘0))
14	13	fveq2d 6699	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑃‘(0𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
15		iitopon 23730	. . . . . . 7 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
16		txtopon 22442	. . . . . . 7 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))) → (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))))
17	15, 15, 16	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1)))
18		cntop2 22092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
19	1, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
20		toptopon2 21769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
21	19, 20	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
22	1, 5	phtpycn 23834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ ((II ×t II) Cn 𝐽))
23	22, 9	sseldd 3888	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
24		cnf2 22100	. . . . . 6 ⊢ (((II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽)) → 𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽)
25	17, 21, 23, 24	mp3an2i 1468	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽)
26		0elunit 13022	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
27		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
28		opelxpi 5573	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
29	26, 27, 28	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
30		fvco3 6788	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽 ∧ ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)))
31	25, 29, 30	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)))
32		df-ov 7194	. . . 4 ⊢ (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩)
33		df-ov 7194	. . . . 5 ⊢ (0𝐻𝑠) = (𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)
34	33	fveq2i 6698	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(0𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩))
35	31, 32, 34	3eqtr4g 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = (𝑃‘(0𝐻𝑠)))
36		iiuni 23732	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
37		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
38	36, 37	cnf 22097	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
39	1, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
40	39	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
41		fvco3 6788	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘0) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
42	40, 26, 41	sylancl 589	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘0) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
43	14, 35, 42	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐹)‘0))
44	12	simprd 499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1))
45	44	fveq2d 6699	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑃‘(1𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
46		1elunit 13023	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
47		opelxpi 5573	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
48	46, 27, 47	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
49		fvco3 6788	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽 ∧ ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)))
50	25, 48, 49	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)))
51		df-ov 7194	. . . 4 ⊢ (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩)
52		df-ov 7194	. . . . 5 ⊢ (1𝐻𝑠) = (𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)
53	52	fveq2i 6698	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(1𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩))
54	50, 51, 53	3eqtr4g 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = (𝑃‘(1𝐻𝑠)))
55		fvco3 6788	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘1) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
56	40, 46, 55	sylancl 589	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘1) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
57	45, 54, 56	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐹)‘1))
58	4, 7, 11, 43, 57	isphtpyd 23837	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ⟨cop 4533  ∪ cuni 4805   × cxp 5534   ∘ ccom 5540  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  0cc0 10694  1c1 10695  [,]cicc 12903  Topctop 21744  TopOnctopon 21761   Cn ccn 22075   ×_t ctx 22411  IIcii 23726   Htpy chtpy 23818  PHtpycphtpy 23819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-sup 9036  df-inf 9037  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-q 12510  df-rp 12552  df-xneg 12669  df-xadd 12670  df-xmul 12671  df-icc 12907  df-seq 13540  df-exp 13601  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-topgen 16902  df-psmet 20309  df-xmet 20310  df-met 20311  df-bl 20312  df-mopn 20313  df-top 21745  df-topon 21762  df-bases 21797  df-cn 22078  df-tx 22413  df-ii 23728  df-htpy 23821  df-phtpy 23822

This theorem is referenced by:  phtpcco2  23850