MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpyco2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phtpyco2 25036
Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phtpyco2.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyco2.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyco2.p (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
phtpyco2.h (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
Assertion
Ref Expression
phtpyco2 (𝜑 → (𝑃𝐻) ∈ ((𝑃𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃𝐺)))

Proof of Theorem phtpyco2
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpyco2.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2 phtpyco2.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 cnco 23290 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
41, 2, 3syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
5 phtpyco2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6 cnco 23290 . . 3 ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
75, 2, 6syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
81, 5phtpyhtpy 25028 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
9 phtpyco2.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
108, 9sseldd 3996 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
111, 5, 2, 10htpyco2 25025 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐻) ∈ ((𝑃𝐹)(II Htpy 𝐾)(𝑃𝐺)))
121, 5, 9phtpyi 25030 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1)))
1312simpld 494 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘0))
1413fveq2d 6911 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑃‘(0𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
15 iitopon 24919 . . . . . . 7 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
16 txtopon 23615 . . . . . . 7 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))) → (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))))
1715, 15, 16mp2an 692 . . . . . 6 (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1)))
18 cntop2 23265 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
191, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
20 toptopon2 22940 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
2119, 20sylib 218 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
221, 5phtpycn 25029 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ ((II ×t II) Cn 𝐽))
2322, 9sseldd 3996 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
24 cnf2 23273 . . . . . 6 (((II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽)) → 𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽)
2517, 21, 23, 24mp3an2i 1465 . . . . 5 (𝜑𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽)
26 0elunit 13506 . . . . . 6 0 ∈ (0[,]1)
27 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
28 opelxpi 5726 . . . . . 6 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
2926, 27, 28sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
30 fvco3 7008 . . . . 5 ((𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽 ∧ ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((𝑃𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)))
3125, 29, 30syl2an2r 685 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)))
32 df-ov 7434 . . . 4 (0(𝑃𝐻)𝑠) = ((𝑃𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩)
33 df-ov 7434 . . . . 5 (0𝐻𝑠) = (𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)
3433fveq2i 6910 . . . 4 (𝑃‘(0𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩))
3531, 32, 343eqtr4g 2800 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑃𝐻)𝑠) = (𝑃‘(0𝐻𝑠)))
36 iiuni 24921 . . . . . . 7 (0[,]1) = II
37 eqid 2735 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
3836, 37cnf 23270 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
391, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
4039adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
41 fvco3 7008 . . . 4 ((𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃𝐹)‘0) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
4240, 26, 41sylancl 586 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃𝐹)‘0) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
4314, 35, 423eqtr4d 2785 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑃𝐻)𝑠) = ((𝑃𝐹)‘0))
4412simprd 495 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1))
4544fveq2d 6911 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑃‘(1𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
46 1elunit 13507 . . . . . 6 1 ∈ (0[,]1)
47 opelxpi 5726 . . . . . 6 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
4846, 27, 47sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
49 fvco3 7008 . . . . 5 ((𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽 ∧ ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((𝑃𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)))
5025, 48, 49syl2an2r 685 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)))
51 df-ov 7434 . . . 4 (1(𝑃𝐻)𝑠) = ((𝑃𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩)
52 df-ov 7434 . . . . 5 (1𝐻𝑠) = (𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)
5352fveq2i 6910 . . . 4 (𝑃‘(1𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩))
5450, 51, 533eqtr4g 2800 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑃𝐻)𝑠) = (𝑃‘(1𝐻𝑠)))
55 fvco3 7008 . . . 4 ((𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃𝐹)‘1) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
5640, 46, 55sylancl 586 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃𝐹)‘1) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
5745, 54, 563eqtr4d 2785 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑃𝐻)𝑠) = ((𝑃𝐹)‘1))
584, 7, 11, 43, 57isphtpyd 25032 1 (𝜑 → (𝑃𝐻) ∈ ((𝑃𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cop 4637   cuni 4912   × cxp 5687  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154  [,]cicc 13387  Topctop 22915  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248   ×t ctx 23584  IIcii 24915   Htpy chtpy 25013  PHtpycphtpy 25014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cn 23251  df-tx 23586  df-ii 24917  df-htpy 25016  df-phtpy 25017
This theorem is referenced by:  phtpcco2  25046
  Copyright terms: Public domain W3C validator