MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpyco2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phtpyco2 24506
Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phtpyco2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyco2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyco2.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
phtpyco2.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐺))
Assertion
Ref Expression
phtpyco2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpyβ€˜πΎ)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem phtpyco2
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpyco2.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2 phtpyco2.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 cnco 22770 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
41, 2, 3syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
5 phtpyco2.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6 cnco 22770 . . 3 ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
75, 2, 6syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
81, 5phtpyhtpy 24498 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐺) βŠ† (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
9 phtpyco2.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐺))
108, 9sseldd 3984 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
111, 5, 2, 10htpyco2 24495 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(II Htpy 𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))
121, 5, 9phtpyi 24500 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((0𝐻𝑠) = (πΉβ€˜0) ∧ (1𝐻𝑠) = (πΉβ€˜1)))
1312simpld 496 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐻𝑠) = (πΉβ€˜0))
1413fveq2d 6896 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (π‘ƒβ€˜(0𝐻𝑠)) = (π‘ƒβ€˜(πΉβ€˜0)))
15 iitopon 24395 . . . . . . 7 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
16 txtopon 23095 . . . . . . 7 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))) β†’ (II Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜((0[,]1) Γ— (0[,]1))))
1715, 15, 16mp2an 691 . . . . . 6 (II Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
18 cntop2 22745 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Top)
191, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
20 toptopon2 22420 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
2119, 20sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
221, 5phtpycn 24499 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐺) βŠ† ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
2322, 9sseldd 3984 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
24 cnf2 22753 . . . . . 6 (((II Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽)) β†’ 𝐻:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝐽)
2517, 21, 23, 24mp3an2i 1467 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝐽)
26 0elunit 13446 . . . . . 6 0 ∈ (0[,]1)
27 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑠 ∈ (0[,]1))
28 opelxpi 5714 . . . . . 6 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ⟨0, π‘ βŸ© ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
2926, 27, 28sylancr 588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ⟨0, π‘ βŸ© ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
30 fvco3 6991 . . . . 5 ((𝐻:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝐽 ∧ ⟨0, π‘ βŸ© ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨0, π‘ βŸ©) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨0, π‘ βŸ©)))
3125, 29, 30syl2an2r 684 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨0, π‘ βŸ©) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨0, π‘ βŸ©)))
32 df-ov 7412 . . . 4 (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨0, π‘ βŸ©)
33 df-ov 7412 . . . . 5 (0𝐻𝑠) = (π»β€˜βŸ¨0, π‘ βŸ©)
3433fveq2i 6895 . . . 4 (π‘ƒβ€˜(0𝐻𝑠)) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨0, π‘ βŸ©))
3531, 32, 343eqtr4g 2798 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = (π‘ƒβ€˜(0𝐻𝑠)))
36 iiuni 24397 . . . . . . 7 (0[,]1) = βˆͺ II
37 eqid 2733 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
3836, 37cnf 22750 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽)
391, 38syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽)
4039adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽)
41 fvco3 6991 . . . 4 ((𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐹)β€˜0) = (π‘ƒβ€˜(πΉβ€˜0)))
4240, 26, 41sylancl 587 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐹)β€˜0) = (π‘ƒβ€˜(πΉβ€˜0)))
4314, 35, 423eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐹)β€˜0))
4412simprd 497 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐻𝑠) = (πΉβ€˜1))
4544fveq2d 6896 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (π‘ƒβ€˜(1𝐻𝑠)) = (π‘ƒβ€˜(πΉβ€˜1)))
46 1elunit 13447 . . . . . 6 1 ∈ (0[,]1)
47 opelxpi 5714 . . . . . 6 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ⟨1, π‘ βŸ© ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
4846, 27, 47sylancr 588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ⟨1, π‘ βŸ© ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
49 fvco3 6991 . . . . 5 ((𝐻:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝐽 ∧ ⟨1, π‘ βŸ© ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨1, π‘ βŸ©) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨1, π‘ βŸ©)))
5025, 48, 49syl2an2r 684 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨1, π‘ βŸ©) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨1, π‘ βŸ©)))
51 df-ov 7412 . . . 4 (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨1, π‘ βŸ©)
52 df-ov 7412 . . . . 5 (1𝐻𝑠) = (π»β€˜βŸ¨1, π‘ βŸ©)
5352fveq2i 6895 . . . 4 (π‘ƒβ€˜(1𝐻𝑠)) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨1, π‘ βŸ©))
5450, 51, 533eqtr4g 2798 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = (π‘ƒβ€˜(1𝐻𝑠)))
55 fvco3 6991 . . . 4 ((𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐹)β€˜1) = (π‘ƒβ€˜(πΉβ€˜1)))
5640, 46, 55sylancl 587 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐹)β€˜1) = (π‘ƒβ€˜(πΉβ€˜1)))
5745, 54, 563eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐹)β€˜1))
584, 7, 11, 43, 57isphtpyd 24502 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpyβ€˜πΎ)(𝑃 ∘ 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909   Γ— cxp 5675   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111  [,]cicc 13327  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728   Γ—t ctx 23064  IIcii 24391   Htpy chtpy 24483  PHtpycphtpy 24484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cn 22731  df-tx 23066  df-ii 24393  df-htpy 24486  df-phtpy 24487
This theorem is referenced by:  phtpcco2  24515
  Copyright terms: Public domain W3C validator