Theorem phtpyco2 24916

Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phtpyco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyco2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyco2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
phtpyco2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
phtpyco2	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem phtpyco2

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpyco2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		phtpyco2.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		cnco 23181	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
5		phtpyco2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6		cnco 23181	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
7	5, 2, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
8	1, 5	phtpyhtpy 24908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
9		phtpyco2.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
10	8, 9	sseldd 3930	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
11	1, 5, 2, 10	htpyco2 24905	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(II Htpy 𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))
12	1, 5, 9	phtpyi 24910	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1)))
13	12	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘0))
14	13	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑃‘(0𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
15		iitopon 24799	. . . . . . 7 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
16		txtopon 23506	. . . . . . 7 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))) → (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))))
17	15, 15, 16	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1)))
18		cntop2 23156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
19	1, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
20		toptopon2 22833	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
21	19, 20	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
22	1, 5	phtpycn 24909	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ ((II ×t II) Cn 𝐽))
23	22, 9	sseldd 3930	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
24		cnf2 23164	. . . . . 6 ⊢ (((II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽)) → 𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽)
25	17, 21, 23, 24	mp3an2i 1468	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽)
26		0elunit 13369	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
27		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
28		opelxpi 5651	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
29	26, 27, 28	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
30		fvco3 6921	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽 ∧ ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)))
31	25, 29, 30	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)))
32		df-ov 7349	. . . 4 ⊢ (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩)
33		df-ov 7349	. . . . 5 ⊢ (0𝐻𝑠) = (𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)
34	33	fveq2i 6825	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(0𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩))
35	31, 32, 34	3eqtr4g 2791	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = (𝑃‘(0𝐻𝑠)))
36		iiuni 24801	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
37		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
38	36, 37	cnf 23161	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
39	1, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
40	39	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
41		fvco3 6921	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘0) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
42	40, 26, 41	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘0) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
43	14, 35, 42	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐹)‘0))
44	12	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1))
45	44	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑃‘(1𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
46		1elunit 13370	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
47		opelxpi 5651	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
48	46, 27, 47	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
49		fvco3 6921	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽 ∧ ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)))
50	25, 48, 49	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)))
51		df-ov 7349	. . . 4 ⊢ (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩)
52		df-ov 7349	. . . . 5 ⊢ (1𝐻𝑠) = (𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)
53	52	fveq2i 6825	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(1𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩))
54	50, 51, 53	3eqtr4g 2791	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = (𝑃‘(1𝐻𝑠)))
55		fvco3 6921	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘1) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
56	40, 46, 55	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘1) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
57	45, 54, 56	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐹)‘1))
58	4, 7, 11, 43, 57	isphtpyd 24912	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4579  ∪ cuni 4856   × cxp 5612   ∘ ccom 5618  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007  [,]cicc 13248  Topctop 22808  TopOnctopon 22825   Cn ccn 23139   ×_t ctx 23475  IIcii 24795   Htpy chtpy 24893  PHtpycphtpy 24894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-icc 13252  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-topgen 17347  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22861  df-cn 23142  df-tx 23477  df-ii 24797  df-htpy 24896  df-phtpy 24897

This theorem is referenced by:  phtpcco2  24926