Theorem phtpyco2 25117

Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phtpyco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyco2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyco2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
phtpyco2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
phtpyco2	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem phtpyco2

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpyco2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		phtpyco2.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		cnco 23391	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
5		phtpyco2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6		cnco 23391	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
7	5, 2, 6	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
8	1, 5	phtpyhtpy 25109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
9		phtpyco2.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
10	8, 9	sseldd 3946	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
11	1, 5, 2, 10	htpyco2 25106	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(II Htpy 𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))
12	1, 5, 9	phtpyi 25111	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1)))
13	12	simpld 499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘0))
14	13	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑃‘(0𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
15		iitopon 25006	. . . . . . 7 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
16		txtopon 23716	. . . . . . 7 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))) → (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))))
17	15, 15, 16	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1)))
18		cntop2 23366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
19	1, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
20		toptopon2 23043	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
21	19, 20	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
22	1, 5	phtpycn 25110	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ ((II ×t II) Cn 𝐽))
23	22, 9	sseldd 3946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
24		cnf2 23374	. . . . . 6 ⊢ (((II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽)) → 𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽)
25	17, 21, 23, 24	mp3an2i 1492	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽)
26		0elunit 13495	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
27		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
28		opelxpi 5699	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
29	26, 27, 28	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
30		fvco3 6982	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽 ∧ ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)))
31	25, 29, 30	syl2an2r 697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)))
32		df-ov 7414	. . . 4 ⊢ (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩)
33		df-ov 7414	. . . . 5 ⊢ (0𝐻𝑠) = (𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)
34	33	fveq2i 6885	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(0𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩))
35	31, 32, 34	3eqtr4g 2829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = (𝑃‘(0𝐻𝑠)))
36		iiuni 25008	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
37		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
38	36, 37	cnf 23371	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
39	1, 38	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
40	39	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
41		fvco3 6982	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘0) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
42	40, 26, 41	sylancl 597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘0) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
43	14, 35, 42	3eqtr4d 2814	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐹)‘0))
44	12	simprd 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1))
45	44	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑃‘(1𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
46		1elunit 13496	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
47		opelxpi 5699	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
48	46, 27, 47	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
49		fvco3 6982	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽 ∧ ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)))
50	25, 48, 49	syl2an2r 697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)))
51		df-ov 7414	. . . 4 ⊢ (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩)
52		df-ov 7414	. . . . 5 ⊢ (1𝐻𝑠) = (𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)
53	52	fveq2i 6885	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(1𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩))
54	50, 51, 53	3eqtr4g 2829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = (𝑃‘(1𝐻𝑠)))
55		fvco3 6982	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘1) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
56	40, 46, 55	sylancl 597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘1) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
57	45, 54, 56	3eqtr4d 2814	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐹)‘1))
58	4, 7, 11, 43, 57	isphtpyd 25113	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟨cop 4600  ∪ cuni 4876   × cxp 5660   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11099  1c1 11100  [,]cicc 13374  Topctop 23018  TopOnctopon 23035   Cn ccn 23349   ×_t ctx 23685  IIcii 25002   Htpy chtpy 25094  PHtpycphtpy 25095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-icc 13378  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-topgen 17495  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-top 23019  df-topon 23036  df-bases 23071  df-cn 23352  df-tx 23687  df-ii 25004  df-htpy 25097  df-phtpy 25098

This theorem is referenced by:  phtpcco2  25126