Theorem phtpyco2 24945

Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phtpyco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyco2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyco2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
phtpyco2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
phtpyco2	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem phtpyco2

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpyco2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		phtpyco2.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		cnco 23210	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
5		phtpyco2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6		cnco 23210	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
7	5, 2, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
8	1, 5	phtpyhtpy 24937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
9		phtpyco2.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
10	8, 9	sseldd 3934	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
11	1, 5, 2, 10	htpyco2 24934	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(II Htpy 𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))
12	1, 5, 9	phtpyi 24939	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1)))
13	12	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘0))
14	13	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑃‘(0𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
15		iitopon 24828	. . . . . . 7 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
16		txtopon 23535	. . . . . . 7 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))) → (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))))
17	15, 15, 16	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1)))
18		cntop2 23185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
19	1, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
20		toptopon2 22862	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
21	19, 20	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
22	1, 5	phtpycn 24938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ ((II ×t II) Cn 𝐽))
23	22, 9	sseldd 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
24		cnf2 23193	. . . . . 6 ⊢ (((II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽)) → 𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽)
25	17, 21, 23, 24	mp3an2i 1468	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽)
26		0elunit 13385	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
27		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
28		opelxpi 5661	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
29	26, 27, 28	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
30		fvco3 6933	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽 ∧ ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)))
31	25, 29, 30	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)))
32		df-ov 7361	. . . 4 ⊢ (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩)
33		df-ov 7361	. . . . 5 ⊢ (0𝐻𝑠) = (𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)
34	33	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(0𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩))
35	31, 32, 34	3eqtr4g 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = (𝑃‘(0𝐻𝑠)))
36		iiuni 24830	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
37		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
38	36, 37	cnf 23190	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
39	1, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
40	39	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
41		fvco3 6933	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘0) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
42	40, 26, 41	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘0) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
43	14, 35, 42	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐹)‘0))
44	12	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1))
45	44	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑃‘(1𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
46		1elunit 13386	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
47		opelxpi 5661	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
48	46, 27, 47	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
49		fvco3 6933	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽 ∧ ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)))
50	25, 48, 49	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)))
51		df-ov 7361	. . . 4 ⊢ (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩)
52		df-ov 7361	. . . . 5 ⊢ (1𝐻𝑠) = (𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)
53	52	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(1𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩))
54	50, 51, 53	3eqtr4g 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = (𝑃‘(1𝐻𝑠)))
55		fvco3 6933	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘1) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
56	40, 46, 55	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘1) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
57	45, 54, 56	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐹)‘1))
58	4, 7, 11, 43, 57	isphtpyd 24941	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4586  ∪ cuni 4863   × cxp 5622   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027  [,]cicc 13264  Topctop 22837  TopOnctopon 22854   Cn ccn 23168   ×_t ctx 23504  IIcii 24824   Htpy chtpy 24922  PHtpycphtpy 24923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-icc 13268  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-topgen 17363  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-top 22838  df-topon 22855  df-bases 22890  df-cn 23171  df-tx 23506  df-ii 24826  df-htpy 24925  df-phtpy 24926

This theorem is referenced by:  phtpcco2  24955