MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpyco2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phtpyco2 24513
Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phtpyco2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyco2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyco2.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
phtpyco2.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐺))
Assertion
Ref Expression
phtpyco2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpyβ€˜πΎ)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem phtpyco2
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpyco2.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2 phtpyco2.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 cnco 22777 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
41, 2, 3syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
5 phtpyco2.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6 cnco 22777 . . 3 ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
75, 2, 6syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
81, 5phtpyhtpy 24505 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐺) βŠ† (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
9 phtpyco2.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐺))
108, 9sseldd 3983 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
111, 5, 2, 10htpyco2 24502 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(II Htpy 𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))
121, 5, 9phtpyi 24507 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((0𝐻𝑠) = (πΉβ€˜0) ∧ (1𝐻𝑠) = (πΉβ€˜1)))
1312simpld 495 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐻𝑠) = (πΉβ€˜0))
1413fveq2d 6895 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (π‘ƒβ€˜(0𝐻𝑠)) = (π‘ƒβ€˜(πΉβ€˜0)))
15 iitopon 24402 . . . . . . 7 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
16 txtopon 23102 . . . . . . 7 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))) β†’ (II Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜((0[,]1) Γ— (0[,]1))))
1715, 15, 16mp2an 690 . . . . . 6 (II Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
18 cntop2 22752 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Top)
191, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
20 toptopon2 22427 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
2119, 20sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
221, 5phtpycn 24506 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐺) βŠ† ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
2322, 9sseldd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
24 cnf2 22760 . . . . . 6 (((II Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽)) β†’ 𝐻:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝐽)
2517, 21, 23, 24mp3an2i 1466 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝐽)
26 0elunit 13448 . . . . . 6 0 ∈ (0[,]1)
27 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑠 ∈ (0[,]1))
28 opelxpi 5713 . . . . . 6 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ⟨0, π‘ βŸ© ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
2926, 27, 28sylancr 587 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ⟨0, π‘ βŸ© ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
30 fvco3 6990 . . . . 5 ((𝐻:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝐽 ∧ ⟨0, π‘ βŸ© ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨0, π‘ βŸ©) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨0, π‘ βŸ©)))
3125, 29, 30syl2an2r 683 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨0, π‘ βŸ©) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨0, π‘ βŸ©)))
32 df-ov 7414 . . . 4 (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨0, π‘ βŸ©)
33 df-ov 7414 . . . . 5 (0𝐻𝑠) = (π»β€˜βŸ¨0, π‘ βŸ©)
3433fveq2i 6894 . . . 4 (π‘ƒβ€˜(0𝐻𝑠)) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨0, π‘ βŸ©))
3531, 32, 343eqtr4g 2797 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = (π‘ƒβ€˜(0𝐻𝑠)))
36 iiuni 24404 . . . . . . 7 (0[,]1) = βˆͺ II
37 eqid 2732 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
3836, 37cnf 22757 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽)
391, 38syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽)
4039adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽)
41 fvco3 6990 . . . 4 ((𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐹)β€˜0) = (π‘ƒβ€˜(πΉβ€˜0)))
4240, 26, 41sylancl 586 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐹)β€˜0) = (π‘ƒβ€˜(πΉβ€˜0)))
4314, 35, 423eqtr4d 2782 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐹)β€˜0))
4412simprd 496 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐻𝑠) = (πΉβ€˜1))
4544fveq2d 6895 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (π‘ƒβ€˜(1𝐻𝑠)) = (π‘ƒβ€˜(πΉβ€˜1)))
46 1elunit 13449 . . . . . 6 1 ∈ (0[,]1)
47 opelxpi 5713 . . . . . 6 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ⟨1, π‘ βŸ© ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
4846, 27, 47sylancr 587 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ⟨1, π‘ βŸ© ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
49 fvco3 6990 . . . . 5 ((𝐻:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝐽 ∧ ⟨1, π‘ βŸ© ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨1, π‘ βŸ©) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨1, π‘ βŸ©)))
5025, 48, 49syl2an2r 683 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨1, π‘ βŸ©) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨1, π‘ βŸ©)))
51 df-ov 7414 . . . 4 (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨1, π‘ βŸ©)
52 df-ov 7414 . . . . 5 (1𝐻𝑠) = (π»β€˜βŸ¨1, π‘ βŸ©)
5352fveq2i 6894 . . . 4 (π‘ƒβ€˜(1𝐻𝑠)) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨1, π‘ βŸ©))
5450, 51, 533eqtr4g 2797 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = (π‘ƒβ€˜(1𝐻𝑠)))
55 fvco3 6990 . . . 4 ((𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐹)β€˜1) = (π‘ƒβ€˜(πΉβ€˜1)))
5640, 46, 55sylancl 586 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐹)β€˜1) = (π‘ƒβ€˜(πΉβ€˜1)))
5745, 54, 563eqtr4d 2782 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐹)β€˜1))
584, 7, 11, 43, 57isphtpyd 24509 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpyβ€˜πΎ)(𝑃 ∘ 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5674   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113  [,]cicc 13329  Topctop 22402  TopOnctopon 22419   Cn ccn 22735   Γ—t ctx 23071  IIcii 24398   Htpy chtpy 24490  PHtpycphtpy 24491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-icc 13333  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cn 22738  df-tx 23073  df-ii 24400  df-htpy 24493  df-phtpy 24494
This theorem is referenced by:  phtpcco2  24522
  Copyright terms: Public domain W3C validator