Theorem phtpyco2 25149

Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phtpyco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyco2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyco2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
phtpyco2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
phtpyco2	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem phtpyco2

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpyco2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		phtpyco2.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		cnco 23423	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
5		phtpyco2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6		cnco 23423	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
7	5, 2, 6	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
8	1, 5	phtpyhtpy 25141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
9		phtpyco2.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
10	8, 9	sseldd 3938	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
11	1, 5, 2, 10	htpyco2 25138	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(II Htpy 𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))
12	1, 5, 9	phtpyi 25143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1)))
13	12	simpld 499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘0))
14	13	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑃‘(0𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
15		iitopon 25038	. . . . . . 7 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
16		txtopon 23748	. . . . . . 7 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))) → (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))))
17	15, 15, 16	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1)))
18		cntop2 23398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
19	1, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
20		toptopon2 23075	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
21	19, 20	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
22	1, 5	phtpycn 25142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ ((II ×t II) Cn 𝐽))
23	22, 9	sseldd 3938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
24		cnf2 23406	. . . . . 6 ⊢ (((II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽)) → 𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽)
25	17, 21, 23, 24	mp3an2i 1495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽)
26		0elunit 13491	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
27		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
28		opelxpi 5698	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
29	26, 27, 28	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
30		fvco3 6981	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽 ∧ ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)))
31	25, 29, 30	syl2an2r 697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)))
32		df-ov 7413	. . . 4 ⊢ (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩)
33		df-ov 7413	. . . . 5 ⊢ (0𝐻𝑠) = (𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)
34	33	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(0𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩))
35	31, 32, 34	3eqtr4g 2823	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = (𝑃‘(0𝐻𝑠)))
36		iiuni 25040	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
37		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
38	36, 37	cnf 23403	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
39	1, 38	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
40	39	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
41		fvco3 6981	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘0) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
42	40, 26, 41	sylancl 597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘0) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
43	14, 35, 42	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐹)‘0))
44	12	simprd 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1))
45	44	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑃‘(1𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
46		1elunit 13492	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
47		opelxpi 5698	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
48	46, 27, 47	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
49		fvco3 6981	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽 ∧ ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)))
50	25, 48, 49	syl2an2r 697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)))
51		df-ov 7413	. . . 4 ⊢ (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩)
52		df-ov 7413	. . . . 5 ⊢ (1𝐻𝑠) = (𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)
53	52	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(1𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩))
54	50, 51, 53	3eqtr4g 2823	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = (𝑃‘(1𝐻𝑠)))
55		fvco3 6981	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘1) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
56	40, 46, 55	sylancl 597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘1) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
57	45, 54, 56	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑃 ∘ 𝐻)𝑠) = ((𝑃 ∘ 𝐹)‘1))
58	4, 7, 11, 43, 57	isphtpyd 25145	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4595  ∪ cuni 4872   × cxp 5659   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096  [,]cicc 13370  Topctop 23050  TopOnctopon 23067   Cn ccn 23381   ×_t ctx 23717  IIcii 25034   Htpy chtpy 25126  PHtpycphtpy 25127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-icc 13374  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-topgen 17491  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-top 23051  df-topon 23068  df-bases 23103  df-cn 23384  df-tx 23719  df-ii 25036  df-htpy 25129  df-phtpy 25130

This theorem is referenced by:  phtpcco2  25158