MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpyco2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phtpyco2 23287
Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phtpyco2.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyco2.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyco2.p (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
phtpyco2.h (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
Assertion
Ref Expression
phtpyco2 (𝜑 → (𝑃𝐻) ∈ ((𝑃𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃𝐺)))

Proof of Theorem phtpyco2
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpyco2.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2 phtpyco2.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 cnco 21568 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
41, 2, 3syl2anc 576 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
5 phtpyco2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6 cnco 21568 . . 3 ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
75, 2, 6syl2anc 576 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
81, 5phtpyhtpy 23279 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
9 phtpyco2.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
108, 9sseldd 3855 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
111, 5, 2, 10htpyco2 23276 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐻) ∈ ((𝑃𝐹)(II Htpy 𝐾)(𝑃𝐺)))
121, 5, 9phtpyi 23281 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1)))
1312simpld 487 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘0))
1413fveq2d 6497 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑃‘(0𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
15 iitopon 23180 . . . . . . 7 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
16 txtopon 21893 . . . . . . 7 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))) → (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))))
1715, 15, 16mp2an 679 . . . . . 6 (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1)))
18 cntop2 21543 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
191, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
20 toptopon2 21220 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
2119, 20sylib 210 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
221, 5phtpycn 23280 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ ((II ×t II) Cn 𝐽))
2322, 9sseldd 3855 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
24 cnf2 21551 . . . . . 6 (((II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽)) → 𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽)
2517, 21, 23, 24mp3an2i 1445 . . . . 5 (𝜑𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽)
26 0elunit 12664 . . . . . 6 0 ∈ (0[,]1)
27 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
28 opelxpi 5437 . . . . . 6 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
2926, 27, 28sylancr 578 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
30 fvco3 6582 . . . . 5 ((𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽 ∧ ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((𝑃𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)))
3125, 29, 30syl2an2r 672 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)))
32 df-ov 6973 . . . 4 (0(𝑃𝐻)𝑠) = ((𝑃𝐻)‘⟨0, 𝑠⟩)
33 df-ov 6973 . . . . 5 (0𝐻𝑠) = (𝐻‘⟨0, 𝑠⟩)
3433fveq2i 6496 . . . 4 (𝑃‘(0𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨0, 𝑠⟩))
3531, 32, 343eqtr4g 2833 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑃𝐻)𝑠) = (𝑃‘(0𝐻𝑠)))
36 iiuni 23182 . . . . . . 7 (0[,]1) = II
37 eqid 2772 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
3836, 37cnf 21548 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
391, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
4039adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
41 fvco3 6582 . . . 4 ((𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃𝐹)‘0) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
4240, 26, 41sylancl 577 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃𝐹)‘0) = (𝑃‘(𝐹‘0)))
4314, 35, 423eqtr4d 2818 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑃𝐻)𝑠) = ((𝑃𝐹)‘0))
4412simprd 488 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1))
4544fveq2d 6497 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑃‘(1𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
46 1elunit 12665 . . . . . 6 1 ∈ (0[,]1)
47 opelxpi 5437 . . . . . 6 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
4846, 27, 47sylancr 578 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
49 fvco3 6582 . . . . 5 ((𝐻:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽 ∧ ⟨1, 𝑠⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((𝑃𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)))
5025, 48, 49syl2an2r 672 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)))
51 df-ov 6973 . . . 4 (1(𝑃𝐻)𝑠) = ((𝑃𝐻)‘⟨1, 𝑠⟩)
52 df-ov 6973 . . . . 5 (1𝐻𝑠) = (𝐻‘⟨1, 𝑠⟩)
5352fveq2i 6496 . . . 4 (𝑃‘(1𝐻𝑠)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨1, 𝑠⟩))
5450, 51, 533eqtr4g 2833 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑃𝐻)𝑠) = (𝑃‘(1𝐻𝑠)))
55 fvco3 6582 . . . 4 ((𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃𝐹)‘1) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
5640, 46, 55sylancl 577 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑃𝐹)‘1) = (𝑃‘(𝐹‘1)))
5745, 54, 563eqtr4d 2818 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑃𝐻)𝑠) = ((𝑃𝐹)‘1))
584, 7, 11, 43, 57isphtpyd 23283 1 (𝜑 → (𝑃𝐻) ∈ ((𝑃𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  cop 4441   cuni 4706   × cxp 5398  ccom 5404  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970  0cc0 10327  1c1 10328  [,]cicc 12550  Topctop 21195  TopOnctopon 21212   Cn ccn 21526   ×t ctx 21862  IIcii 23176   Htpy chtpy 23264  PHtpycphtpy 23265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-sup 8693  df-inf 8694  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-icc 12554  df-seq 13178  df-exp 13238  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-topgen 16563  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-met 20231  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-top 21196  df-topon 21213  df-bases 21248  df-cn 21529  df-tx 21864  df-ii 23178  df-htpy 23267  df-phtpy 23268
This theorem is referenced by:  phtpcco2  23296
  Copyright terms: Public domain W3C validator