MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpycc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem phtpycc 24498
Description: Concatenate two path homotopies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
phtpycc.1 𝑀 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≀ (1 / 2), (π‘₯𝐾(2 Β· 𝑦)), (π‘₯𝐿((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1))))
phtpycc.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycc.4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycc.5 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycc.6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐺))
phtpycc.7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐺(PHtpyβ€˜π½)𝐻))
Assertion
Ref Expression
phtpycc (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐻))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝐾,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)   𝐻(π‘₯,𝑦)   𝑀(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem phtpycc
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpycc.3 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2 phtpycc.5 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
3 phtpycc.1 . . 3 𝑀 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≀ (1 / 2), (π‘₯𝐾(2 Β· 𝑦)), (π‘₯𝐿((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1))))
4 iitopon 24386 . . . 4 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
54a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
6 phtpycc.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
71, 6phtpyhtpy 24489 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐺) βŠ† (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
8 phtpycc.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐺))
97, 8sseldd 3982 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
106, 2phtpyhtpy 24489 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺(PHtpyβ€˜π½)𝐻) βŠ† (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐻))
11 phtpycc.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐺(PHtpyβ€˜π½)𝐻))
1210, 11sseldd 3982 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐻))
133, 5, 1, 6, 2, 9, 12htpycc 24487 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐻))
14 0elunit 13442 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
15 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑠 ∈ (0[,]1))
16 simpr 485 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ 𝑦 = 𝑠)
1716breq1d 5157 . . . . . 6 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (𝑦 ≀ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≀ (1 / 2)))
18 simpl 483 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ π‘₯ = 0)
1916oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (2 Β· 𝑦) = (2 Β· 𝑠))
2018, 19oveq12d 7423 . . . . . 6 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (π‘₯𝐾(2 Β· 𝑦)) = (0𝐾(2 Β· 𝑠)))
2119oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1) = ((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))
2218, 21oveq12d 7423 . . . . . 6 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (π‘₯𝐿((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1)) = (0𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)))
2317, 20, 22ifbieq12d 4555 . . . . 5 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ if(𝑦 ≀ (1 / 2), (π‘₯𝐾(2 Β· 𝑦)), (π‘₯𝐿((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1))) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), (0𝐾(2 Β· 𝑠)), (0𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))))
24 ovex 7438 . . . . . 6 (0𝐾(2 Β· 𝑠)) ∈ V
25 ovex 7438 . . . . . 6 (0𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)) ∈ V
2624, 25ifex 4577 . . . . 5 if(𝑠 ≀ (1 / 2), (0𝐾(2 Β· 𝑠)), (0𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))) ∈ V
2723, 3, 26ovmpoa 7559 . . . 4 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝑀𝑠) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), (0𝐾(2 Β· 𝑠)), (0𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))))
2814, 15, 27sylancr 587 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝑀𝑠) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), (0𝐾(2 Β· 𝑠)), (0𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))))
29 simpll 765 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ πœ‘)
30 elii1 24442 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)))
31 iihalf1 24438 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ (0[,]1))
3230, 31sylbir 234 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ (0[,]1))
3332adantll 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ (0[,]1))
341, 6, 8phtpyi 24491 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (2 Β· 𝑠) ∈ (0[,]1)) β†’ ((0𝐾(2 Β· 𝑠)) = (πΉβ€˜0) ∧ (1𝐾(2 Β· 𝑠)) = (πΉβ€˜1)))
3529, 33, 34syl2anc 584 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ ((0𝐾(2 Β· 𝑠)) = (πΉβ€˜0) ∧ (1𝐾(2 Β· 𝑠)) = (πΉβ€˜1)))
3635simpld 495 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (0𝐾(2 Β· 𝑠)) = (πΉβ€˜0))
37 simpll 765 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ πœ‘)
38 elii2 24443 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ 𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1))
39 iihalf2 24440 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1) β†’ ((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1))
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ ((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1))
4140adantll 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ ((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1))
426, 2, 11phtpyi 24491 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1)) β†’ ((0𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)) = (πΊβ€˜0) ∧ (1𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)) = (πΊβ€˜1)))
4337, 41, 42syl2anc 584 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ ((0𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)) = (πΊβ€˜0) ∧ (1𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)) = (πΊβ€˜1)))
4443simpld 495 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (0𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)) = (πΊβ€˜0))
451, 6, 8phtpy01 24492 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜0) = (πΊβ€˜0) ∧ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1)))
4645ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ ((πΉβ€˜0) = (πΊβ€˜0) ∧ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1)))
4746simpld 495 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (πΉβ€˜0) = (πΊβ€˜0))
4844, 47eqtr4d 2775 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (0𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)) = (πΉβ€˜0))
4936, 48ifeqda 4563 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ if(𝑠 ≀ (1 / 2), (0𝐾(2 Β· 𝑠)), (0𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))) = (πΉβ€˜0))
5028, 49eqtrd 2772 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝑀𝑠) = (πΉβ€˜0))
51 1elunit 13443 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
52 simpr 485 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ 𝑦 = 𝑠)
5352breq1d 5157 . . . . . 6 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (𝑦 ≀ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≀ (1 / 2)))
54 simpl 483 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ π‘₯ = 1)
5552oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (2 Β· 𝑦) = (2 Β· 𝑠))
5654, 55oveq12d 7423 . . . . . 6 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (π‘₯𝐾(2 Β· 𝑦)) = (1𝐾(2 Β· 𝑠)))
5755oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1) = ((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))
5854, 57oveq12d 7423 . . . . . 6 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (π‘₯𝐿((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1)) = (1𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)))
5953, 56, 58ifbieq12d 4555 . . . . 5 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ if(𝑦 ≀ (1 / 2), (π‘₯𝐾(2 Β· 𝑦)), (π‘₯𝐿((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1))) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), (1𝐾(2 Β· 𝑠)), (1𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))))
60 ovex 7438 . . . . . 6 (1𝐾(2 Β· 𝑠)) ∈ V
61 ovex 7438 . . . . . 6 (1𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)) ∈ V
6260, 61ifex 4577 . . . . 5 if(𝑠 ≀ (1 / 2), (1𝐾(2 Β· 𝑠)), (1𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))) ∈ V
6359, 3, 62ovmpoa 7559 . . . 4 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝑀𝑠) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), (1𝐾(2 Β· 𝑠)), (1𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))))
6451, 15, 63sylancr 587 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝑀𝑠) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), (1𝐾(2 Β· 𝑠)), (1𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))))
6535simprd 496 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (1𝐾(2 Β· 𝑠)) = (πΉβ€˜1))
6643simprd 496 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (1𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)) = (πΊβ€˜1))
6746simprd 496 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1))
6866, 67eqtr4d 2775 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (1𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)) = (πΉβ€˜1))
6965, 68ifeqda 4563 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ if(𝑠 ≀ (1 / 2), (1𝐾(2 Β· 𝑠)), (1𝐿((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))) = (πΉβ€˜1))
7064, 69eqtrd 2772 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝑀𝑠) = (πΉβ€˜1))
711, 2, 13, 50, 70isphtpyd 24493 1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4527   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  2c2 12263  [,]cicc 13323  TopOnctopon 22403   Cn ccn 22719  IIcii 24382   Htpy chtpy 24474  PHtpycphtpy 24475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-ii 24384  df-htpy 24477  df-phtpy 24478
This theorem is referenced by:  phtpcer  24502
  Copyright terms: Public domain W3C validator