Theorem phtpycc 25219

Description: Concatenate two path homotopies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
phtpycc.1	⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐾(2 · 𝑦)), (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1))))
phtpycc.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycc.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycc.5	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycc.6	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
phtpycc.7	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))

Assertion

Ref	Expression
phtpycc	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)   𝐻(𝑥, 𝑦)   𝑀(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem phtpycc

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpycc.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		phtpycc.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
3		phtpycc.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐾(2 · 𝑦)), (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1))))
4		iitopon 25107	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
6		phtpycc.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
7	1, 6	phtpyhtpy 25210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
8		phtpycc.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
9	7, 8	sseldd 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
10	6, 2	phtpyhtpy 25210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ⊆ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐻))
11		phtpycc.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
12	10, 11	sseldd 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐻))
13	3, 5, 1, 6, 2, 9, 12	htpycc 25208	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐻))
14		0elunit 13522	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
15		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
16		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
17	16	breq1d 5113	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑦 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
18		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 0)
19	16	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑠))
20	18, 19	oveq12d 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑥𝐾(2 · 𝑦)) = (0𝐾(2 · 𝑠)))
21	19	oveq1d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((2 · 𝑦) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
22	18, 21	oveq12d 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1)) = (0𝐿((2 · 𝑠) − 1)))
23	17, 20, 22	ifbieq12d 4511	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐾(2 · 𝑦)), (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1))) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
24		ovex 7446	. . . . . 6 ⊢ (0𝐾(2 · 𝑠)) ∈ V
25		ovex 7446	. . . . . 6 ⊢ (0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) ∈ V
26	24, 25	ifex 4533	. . . . 5 ⊢ if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))) ∈ V
27	23, 3, 26	ovmpoa 7568	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑀𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
28	14, 15, 27	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑀𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
29		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝜑)
30		elii1 25163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
31		iihalf1 25159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
32	30, 31	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
33	32	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
34	1, 6, 8	phtpyi 25212	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1)) → ((0𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘1)))
35	29, 33, 34	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((0𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘1)))
36	35	simpld 500	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (0𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘0))
37		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝜑)
38		elii2 25164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1))
39		iihalf2 25161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1))
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1))
41	40	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1))
42	6, 2, 11	phtpyi 25212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1)) → ((0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘0) ∧ (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘1)))
43	37, 41, 42	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘0) ∧ (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘1)))
44	43	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘0))
45	1, 6, 8	phtpy01 25213	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
46	45	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
47	46	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
48	44, 47	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐹‘0))
49	36, 48	ifeqda 4519	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))) = (𝐹‘0))
50	28, 49	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑀𝑠) = (𝐹‘0))
51		1elunit 13523	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
52		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
53	52	breq1d 5113	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑦 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
54		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 1)
55	52	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑠))
56	54, 55	oveq12d 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑥𝐾(2 · 𝑦)) = (1𝐾(2 · 𝑠)))
57	55	oveq1d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((2 · 𝑦) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
58	54, 57	oveq12d 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1)) = (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)))
59	53, 56, 58	ifbieq12d 4511	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐾(2 · 𝑦)), (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1))) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
60		ovex 7446	. . . . . 6 ⊢ (1𝐾(2 · 𝑠)) ∈ V
61		ovex 7446	. . . . . 6 ⊢ (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) ∈ V
62	60, 61	ifex 4533	. . . . 5 ⊢ if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))) ∈ V
63	59, 3, 62	ovmpoa 7568	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑀𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
64	51, 15, 63	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑀𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
65	35	simprd 501	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (1𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘1))
66	43	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘1))
67	46	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
68	66, 67	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐹‘1))
69	65, 68	ifeqda 4519	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))) = (𝐹‘1))
70	64, 69	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑀𝑠) = (𝐹‘1))
71	1, 2, 13, 50, 70	isphtpyd 25214	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129   ≤ cle 11268   − cmin 11465   / cdiv 11895  2c2 12319  [,]cicc 13401  TopOnctopon 23135   Cn ccn 23449  IIcii 25103   Htpy chtpy 25195  PHtpycphtpy 25196

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-ii 25105  df-htpy 25198  df-phtpy 25199

This theorem is used by:  phtpcer  25223