Theorem phtpycc 24897

Description: Concatenate two path homotopies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
phtpycc.1	⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐾(2 · 𝑦)), (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1))))
phtpycc.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycc.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycc.5	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycc.6	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
phtpycc.7	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))

Assertion

Ref	Expression
phtpycc	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem phtpycc

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpycc.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		phtpycc.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
3		phtpycc.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐾(2 · 𝑦)), (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1))))
4		iitopon 24779	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
6		phtpycc.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
7	1, 6	phtpyhtpy 24888	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
8		phtpycc.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
9	7, 8	sseldd 3950	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
10	6, 2	phtpyhtpy 24888	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ⊆ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐻))
11		phtpycc.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
12	10, 11	sseldd 3950	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐻))
13	3, 5, 1, 6, 2, 9, 12	htpycc 24886	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐻))
14		0elunit 13437	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
15		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
16		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
17	16	breq1d 5120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑦 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
18		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 0)
19	16	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑠))
20	18, 19	oveq12d 7408	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑥𝐾(2 · 𝑦)) = (0𝐾(2 · 𝑠)))
21	19	oveq1d 7405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((2 · 𝑦) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
22	18, 21	oveq12d 7408	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1)) = (0𝐿((2 · 𝑠) − 1)))
23	17, 20, 22	ifbieq12d 4520	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐾(2 · 𝑦)), (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1))) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
24		ovex 7423	. . . . . 6 ⊢ (0𝐾(2 · 𝑠)) ∈ V
25		ovex 7423	. . . . . 6 ⊢ (0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) ∈ V
26	24, 25	ifex 4542	. . . . 5 ⊢ if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))) ∈ V
27	23, 3, 26	ovmpoa 7547	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑀𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
28	14, 15, 27	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑀𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
29		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝜑)
30		elii1 24838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
31		iihalf1 24832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
32	30, 31	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
33	32	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
34	1, 6, 8	phtpyi 24890	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1)) → ((0𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘1)))
35	29, 33, 34	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((0𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘1)))
36	35	simpld 494	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (0𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘0))
37		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝜑)
38		elii2 24839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1))
39		iihalf2 24835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1))
41	40	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1))
42	6, 2, 11	phtpyi 24890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1)) → ((0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘0) ∧ (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘1)))
43	37, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘0) ∧ (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘1)))
44	43	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘0))
45	1, 6, 8	phtpy01 24891	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
46	45	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
47	46	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
48	44, 47	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐹‘0))
49	36, 48	ifeqda 4528	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))) = (𝐹‘0))
50	28, 49	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑀𝑠) = (𝐹‘0))
51		1elunit 13438	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
52		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
53	52	breq1d 5120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑦 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
54		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 1)
55	52	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑠))
56	54, 55	oveq12d 7408	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑥𝐾(2 · 𝑦)) = (1𝐾(2 · 𝑠)))
57	55	oveq1d 7405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((2 · 𝑦) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
58	54, 57	oveq12d 7408	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1)) = (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)))
59	53, 56, 58	ifbieq12d 4520	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐾(2 · 𝑦)), (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1))) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
60		ovex 7423	. . . . . 6 ⊢ (1𝐾(2 · 𝑠)) ∈ V
61		ovex 7423	. . . . . 6 ⊢ (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) ∈ V
62	60, 61	ifex 4542	. . . . 5 ⊢ if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))) ∈ V
63	59, 3, 62	ovmpoa 7547	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑀𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
64	51, 15, 63	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑀𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
65	35	simprd 495	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (1𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘1))
66	43	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘1))
67	46	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
68	66, 67	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐹‘1))
69	65, 68	ifeqda 4528	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))) = (𝐹‘1))
70	64, 69	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑀𝑠) = (𝐹‘1))
71	1, 2, 13, 50, 70	isphtpyd 24892	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4491   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  2c2 12248  [,]cicc 13316  TopOnctopon 22804   Cn ccn 23118  IIcii 24775   Htpy chtpy 24873  PHtpycphtpy 24874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-ii 24777  df-htpy 24876  df-phtpy 24877

This theorem is referenced by:  phtpcer  24901