Theorem phtpycc 23198

Description: Concatenate two path homotopies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
phtpycc.1	⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐾(2 · 𝑦)), (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1))))
phtpycc.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycc.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycc.5	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycc.6	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
phtpycc.7	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))

Assertion

Ref	Expression
phtpycc	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem phtpycc

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpycc.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		phtpycc.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
3		phtpycc.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐾(2 · 𝑦)), (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1))))
4		iitopon 23090	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
6		phtpycc.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
7	1, 6	phtpyhtpy 23189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
8		phtpycc.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
9	7, 8	sseldd 3822	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
10	6, 2	phtpyhtpy 23189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ⊆ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐻))
11		phtpycc.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
12	10, 11	sseldd 3822	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐻))
13	3, 5, 1, 6, 2, 9, 12	htpycc 23187	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐻))
14		0elunit 12605	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
15		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
16		simpr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
17	16	breq1d 4896	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑦 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
18		simpl 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 0)
19	16	oveq2d 6938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑠))
20	18, 19	oveq12d 6940	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑥𝐾(2 · 𝑦)) = (0𝐾(2 · 𝑠)))
21	19	oveq1d 6937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((2 · 𝑦) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
22	18, 21	oveq12d 6940	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1)) = (0𝐿((2 · 𝑠) − 1)))
23	17, 20, 22	ifbieq12d 4334	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐾(2 · 𝑦)), (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1))) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
24		ovex 6954	. . . . . 6 ⊢ (0𝐾(2 · 𝑠)) ∈ V
25		ovex 6954	. . . . . 6 ⊢ (0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) ∈ V
26	24, 25	ifex 4355	. . . . 5 ⊢ if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))) ∈ V
27	23, 3, 26	ovmpt2a 7068	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑀𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
28	14, 15, 27	sylancr 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑀𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
29		simpll 757	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝜑)
30		elii1 23142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
31		iihalf1 23138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
32	30, 31	sylbir 227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
33	32	adantll 704	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
34	1, 6, 8	phtpyi 23191	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1)) → ((0𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘1)))
35	29, 33, 34	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((0𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘1)))
36	35	simpld 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (0𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘0))
37		simpll 757	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝜑)
38		elii2 23143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1))
39		iihalf2 23140	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1))
41	40	adantll 704	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1))
42	6, 2, 11	phtpyi 23191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1)) → ((0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘0) ∧ (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘1)))
43	37, 41, 42	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘0) ∧ (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘1)))
44	43	simpld 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘0))
45	1, 6, 8	phtpy01 23192	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
46	45	ad2antrr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
47	46	simpld 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
48	44, 47	eqtr4d 2817	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐹‘0))
49	36, 48	ifeqda 4342	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))) = (𝐹‘0))
50	28, 49	eqtrd 2814	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑀𝑠) = (𝐹‘0))
51		1elunit 12606	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
52		simpr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
53	52	breq1d 4896	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑦 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
54		simpl 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 1)
55	52	oveq2d 6938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑠))
56	54, 55	oveq12d 6940	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑥𝐾(2 · 𝑦)) = (1𝐾(2 · 𝑠)))
57	55	oveq1d 6937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((2 · 𝑦) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
58	54, 57	oveq12d 6940	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1)) = (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)))
59	53, 56, 58	ifbieq12d 4334	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐾(2 · 𝑦)), (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1))) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
60		ovex 6954	. . . . . 6 ⊢ (1𝐾(2 · 𝑠)) ∈ V
61		ovex 6954	. . . . . 6 ⊢ (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) ∈ V
62	60, 61	ifex 4355	. . . . 5 ⊢ if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))) ∈ V
63	59, 3, 62	ovmpt2a 7068	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑀𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
64	51, 15, 63	sylancr 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑀𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
65	35	simprd 491	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (1𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘1))
66	43	simprd 491	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘1))
67	46	simprd 491	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
68	66, 67	eqtr4d 2817	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐹‘1))
69	65, 68	ifeqda 4342	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))) = (𝐹‘1))
70	64, 69	eqtrd 2814	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑀𝑠) = (𝐹‘1))
71	1, 2, 13, 50, 70	isphtpyd 23193	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ifcif 4307   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↦ cmpt2 6924  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277   ≤ cle 10412   − cmin 10606   / cdiv 11032  2c2 11430  [,]cicc 12490  TopOnctopon 21122   Cn ccn 21436  IIcii 23086   Htpy chtpy 23174  PHtpycphtpy 23175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-ii 23088  df-htpy 23177  df-phtpy 23178

This theorem is referenced by:  phtpcer  23202