Theorem phtpycc 24907

Description: Concatenate two path homotopies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
phtpycc.1	⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐾(2 · 𝑦)), (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1))))
phtpycc.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycc.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycc.5	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycc.6	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
phtpycc.7	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))

Assertion

Ref	Expression
phtpycc	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem phtpycc

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpycc.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		phtpycc.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
3		phtpycc.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐾(2 · 𝑦)), (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1))))
4		iitopon 24789	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
6		phtpycc.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
7	1, 6	phtpyhtpy 24898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
8		phtpycc.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
9	7, 8	sseldd 3938	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
10	6, 2	phtpyhtpy 24898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ⊆ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐻))
11		phtpycc.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
12	10, 11	sseldd 3938	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐻))
13	3, 5, 1, 6, 2, 9, 12	htpycc 24896	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐻))
14		0elunit 13391	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
15		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
16		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
17	16	breq1d 5105	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑦 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
18		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 0)
19	16	oveq2d 7369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑠))
20	18, 19	oveq12d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑥𝐾(2 · 𝑦)) = (0𝐾(2 · 𝑠)))
21	19	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((2 · 𝑦) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
22	18, 21	oveq12d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1)) = (0𝐿((2 · 𝑠) − 1)))
23	17, 20, 22	ifbieq12d 4507	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐾(2 · 𝑦)), (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1))) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
24		ovex 7386	. . . . . 6 ⊢ (0𝐾(2 · 𝑠)) ∈ V
25		ovex 7386	. . . . . 6 ⊢ (0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) ∈ V
26	24, 25	ifex 4529	. . . . 5 ⊢ if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))) ∈ V
27	23, 3, 26	ovmpoa 7508	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑀𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
28	14, 15, 27	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑀𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
29		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝜑)
30		elii1 24848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
31		iihalf1 24842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
32	30, 31	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
33	32	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
34	1, 6, 8	phtpyi 24900	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1)) → ((0𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘1)))
35	29, 33, 34	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((0𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘1)))
36	35	simpld 494	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (0𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘0))
37		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝜑)
38		elii2 24849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1))
39		iihalf2 24845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1))
41	40	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1))
42	6, 2, 11	phtpyi 24900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1)) → ((0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘0) ∧ (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘1)))
43	37, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘0) ∧ (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘1)))
44	43	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘0))
45	1, 6, 8	phtpy01 24901	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
46	45	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
47	46	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
48	44, 47	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (0𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐹‘0))
49	36, 48	ifeqda 4515	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (0𝐾(2 · 𝑠)), (0𝐿((2 · 𝑠) − 1))) = (𝐹‘0))
50	28, 49	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑀𝑠) = (𝐹‘0))
51		1elunit 13392	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
52		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
53	52	breq1d 5105	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑦 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
54		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 1)
55	52	oveq2d 7369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑠))
56	54, 55	oveq12d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑥𝐾(2 · 𝑦)) = (1𝐾(2 · 𝑠)))
57	55	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((2 · 𝑦) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
58	54, 57	oveq12d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1)) = (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)))
59	53, 56, 58	ifbieq12d 4507	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐾(2 · 𝑦)), (𝑥𝐿((2 · 𝑦) − 1))) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
60		ovex 7386	. . . . . 6 ⊢ (1𝐾(2 · 𝑠)) ∈ V
61		ovex 7386	. . . . . 6 ⊢ (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) ∈ V
62	60, 61	ifex 4529	. . . . 5 ⊢ if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))) ∈ V
63	59, 3, 62	ovmpoa 7508	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑀𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
64	51, 15, 63	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑀𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))))
65	35	simprd 495	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (1𝐾(2 · 𝑠)) = (𝐹‘1))
66	43	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐺‘1))
67	46	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
68	66, 67	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (1𝐿((2 · 𝑠) − 1)) = (𝐹‘1))
69	65, 68	ifeqda 4515	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1𝐾(2 · 𝑠)), (1𝐿((2 · 𝑠) − 1))) = (𝐹‘1))
70	64, 69	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑀𝑠) = (𝐹‘1))
71	1, 2, 13, 50, 70	isphtpyd 24902	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4478   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033   ≤ cle 11169   − cmin 11366   / cdiv 11796  2c2 12202  [,]cicc 13270  TopOnctopon 22814   Cn ccn 23128  IIcii 24785   Htpy chtpy 24883  PHtpycphtpy 24884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13271  df-icc 13274  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-seq 13928  df-exp 13988  df-hash 14257  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-hom 17204  df-cco 17205  df-rest 17345  df-topn 17346  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-topgen 17366  df-pt 17367  df-prds 17370  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-mulg 18966  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-psmet 21272  df-xmet 21273  df-met 21274  df-bl 21275  df-mopn 21276  df-cnfld 21281  df-top 22798  df-topon 22815  df-topsp 22837  df-bases 22850  df-cld 22923  df-cn 23131  df-cnp 23132  df-tx 23466  df-hmeo 23659  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-ii 24787  df-htpy 24886  df-phtpy 24887

This theorem is referenced by:  phtpcer  24911