Theorem phtpy01 24931

Description: Two path-homotopic paths have the same start and end point. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isphtpy.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpy.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyi.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
phtpy01	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))

Proof of Theorem phtpy01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1elunit 13377	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
2		isphtpy.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3		isphtpy.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4		phtpyi.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
5	2, 3, 4	phtpyi 24930	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻1) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻1) = (𝐹‘1)))
6	1, 5	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0𝐻1) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻1) = (𝐹‘1)))
7	6	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0𝐻1) = (𝐹‘0))
8		0elunit 13376	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
9		iitopon 24819	. . . . . . 7 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
11	2, 3	phtpyhtpy 24928	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
12	11, 4	sseldd 3931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
13	10, 2, 3, 12	htpyi 24920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻0) = (𝐹‘0) ∧ (0𝐻1) = (𝐺‘0)))
14	8, 13	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0𝐻0) = (𝐹‘0) ∧ (0𝐻1) = (𝐺‘0)))
15	14	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0𝐻1) = (𝐺‘0))
16	7, 15	eqtr3d 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
17	6	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1𝐻1) = (𝐹‘1))
18	10, 2, 3, 12	htpyi 24920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((1𝐻0) = (𝐹‘1) ∧ (1𝐻1) = (𝐺‘1)))
19	1, 18	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1𝐻0) = (𝐹‘1) ∧ (1𝐻1) = (𝐺‘1)))
20	19	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1𝐻1) = (𝐺‘1))
21	17, 20	eqtr3d 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
22	16, 21	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11017  1c1 11018  [,]cicc 13255  TopOnctopon 22845   Cn ccn 23159  IIcii 24815   Htpy chtpy 24913  PHtpycphtpy 24914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-icc 13259  df-seq 13916  df-exp 13976  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-topgen 17354  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-top 22829  df-topon 22846  df-bases 22881  df-cn 23162  df-ii 24817  df-htpy 24916  df-phtpy 24917

This theorem is referenced by:  phtpycom  24934  phtpycc  24937  phtpc01  24942  pcohtpylem  24966  cvmliftphtlem  35433