Theorem phtpy01 24148

Description: Two path-homotopic paths have the same start and end point. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isphtpy.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpy.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyi.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
phtpy01	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))

Proof of Theorem phtpy01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1elunit 13202	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
2		isphtpy.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3		isphtpy.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4		phtpyi.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
5	2, 3, 4	phtpyi 24147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻1) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻1) = (𝐹‘1)))
6	1, 5	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0𝐻1) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻1) = (𝐹‘1)))
7	6	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0𝐻1) = (𝐹‘0))
8		0elunit 13201	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
9		iitopon 24042	. . . . . . 7 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
11	2, 3	phtpyhtpy 24145	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
12	11, 4	sseldd 3922	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
13	10, 2, 3, 12	htpyi 24137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻0) = (𝐹‘0) ∧ (0𝐻1) = (𝐺‘0)))
14	8, 13	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0𝐻0) = (𝐹‘0) ∧ (0𝐻1) = (𝐺‘0)))
15	14	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0𝐻1) = (𝐺‘0))
16	7, 15	eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
17	6	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1𝐻1) = (𝐹‘1))
18	10, 2, 3, 12	htpyi 24137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((1𝐻0) = (𝐹‘1) ∧ (1𝐻1) = (𝐺‘1)))
19	1, 18	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1𝐻0) = (𝐹‘1) ∧ (1𝐻1) = (𝐺‘1)))
20	19	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1𝐻1) = (𝐺‘1))
21	17, 20	eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
22	16, 21	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872  [,]cicc 13082  TopOnctopon 22059   Cn ccn 22375  IIcii 24038   Htpy chtpy 24130  PHtpycphtpy 24131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-icc 13086  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-cn 22378  df-ii 24040  df-htpy 24133  df-phtpy 24134

This theorem is referenced by:  phtpycom  24151  phtpycc  24154  phtpc01  24159  pcohtpylem  24182  cvmliftphtlem  33279