Theorem phtpy01 25195

Description: Two path-homotopic paths have the same start and end point. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isphtpy.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpy.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyi.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
phtpy01	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))

Proof of Theorem phtpy01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1elunit 13513	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
2		isphtpy.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3		isphtpy.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4		phtpyi.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
5	2, 3, 4	phtpyi 25194	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻1) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻1) = (𝐹‘1)))
6	1, 5	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0𝐻1) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻1) = (𝐹‘1)))
7	6	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0𝐻1) = (𝐹‘0))
8		0elunit 13512	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
9		iitopon 25089	. . . . . . 7 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
11	2, 3	phtpyhtpy 25192	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
12	11, 4	sseldd 3939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
13	10, 2, 3, 12	htpyi 25184	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻0) = (𝐹‘0) ∧ (0𝐻1) = (𝐺‘0)))
14	8, 13	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0𝐻0) = (𝐹‘0) ∧ (0𝐻1) = (𝐺‘0)))
15	14	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0𝐻1) = (𝐺‘0))
16	7, 15	eqtr3d 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
17	6	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1𝐻1) = (𝐹‘1))
18	10, 2, 3, 12	htpyi 25184	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((1𝐻0) = (𝐹‘1) ∧ (1𝐻1) = (𝐺‘1)))
19	1, 18	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1𝐻0) = (𝐹‘1) ∧ (1𝐻1) = (𝐺‘1)))
20	19	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1𝐻1) = (𝐺‘1))
21	17, 20	eqtr3d 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
22	16, 21	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11115  1c1 11116  [,]cicc 13391  TopOnctopon 23117   Cn ccn 23431  IIcii 25085   Htpy chtpy 25177  PHtpycphtpy 25178

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-icc 13395  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-topgen 17518  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-top 23101  df-topon 23118  df-bases 23153  df-cn 23434  df-ii 25087  df-htpy 25180  df-phtpy 25181

This theorem is used by:  phtpycom  25198  phtpycc  25201  phtpc01  25206  pcohtpylem  25229  cvmliftphtlem  35846