Theorem phtpy01 25112

Description: Two path-homotopic paths have the same start and end point. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isphtpy.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpy.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpyi.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
phtpy01	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))

Proof of Theorem phtpy01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1elunit 13496	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
2		isphtpy.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3		isphtpy.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4		phtpyi.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
5	2, 3, 4	phtpyi 25111	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻1) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻1) = (𝐹‘1)))
6	1, 5	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0𝐻1) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻1) = (𝐹‘1)))
7	6	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0𝐻1) = (𝐹‘0))
8		0elunit 13495	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
9		iitopon 25006	. . . . . . 7 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
11	2, 3	phtpyhtpy 25109	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
12	11, 4	sseldd 3946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
13	10, 2, 3, 12	htpyi 25101	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻0) = (𝐹‘0) ∧ (0𝐻1) = (𝐺‘0)))
14	8, 13	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0𝐻0) = (𝐹‘0) ∧ (0𝐻1) = (𝐺‘0)))
15	14	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0𝐻1) = (𝐺‘0))
16	7, 15	eqtr3d 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
17	6	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1𝐻1) = (𝐹‘1))
18	10, 2, 3, 12	htpyi 25101	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((1𝐻0) = (𝐹‘1) ∧ (1𝐻1) = (𝐺‘1)))
19	1, 18	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1𝐻0) = (𝐹‘1) ∧ (1𝐻1) = (𝐺‘1)))
20	19	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1𝐻1) = (𝐺‘1))
21	17, 20	eqtr3d 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
22	16, 21	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11099  1c1 11100  [,]cicc 13374  TopOnctopon 23035   Cn ccn 23349  IIcii 25002   Htpy chtpy 25094  PHtpycphtpy 25095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-icc 13378  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-topgen 17495  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-top 23019  df-topon 23036  df-bases 23071  df-cn 23352  df-ii 25004  df-htpy 25097  df-phtpy 25098

This theorem is referenced by:  phtpycom  25115  phtpycc  25118  phtpc01  25123  pcohtpylem  25146  cvmliftphtlem  35707