MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxss12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixxss12 12401
Description: Subset relationship for intervals of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
ixxss12.2 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧𝑧𝑈𝑦)})
ixxss12.3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑊𝐶𝐶𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
ixxss12.4 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑈𝐷𝐷𝑋𝐵) → 𝑤𝑆𝐵))
Assertion
Ref Expression
ixxss12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) → (𝐶𝑃𝐷) ⊆ (𝐴𝑂𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑂   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧   𝑤,𝑊   𝑤,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑤)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxss12
StepHypRef Expression
1 ixxss12.2 . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧𝑧𝑈𝑦)})
21elixx3g 12394 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶𝑇𝑤𝑤𝑈𝐷)))
32simplbi 481 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*))
43adantl 467 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*))
54simp3d 1138 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
6 simplrl 756 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐴𝑊𝐶)
72simprbi 480 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) → (𝐶𝑇𝑤𝑤𝑈𝐷))
87adantl 467 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → (𝐶𝑇𝑤𝑤𝑈𝐷))
98simpld 478 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐶𝑇𝑤)
10 simplll 752 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
114simp1d 1136 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
12 ixxss12.3 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑊𝐶𝐶𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
1310, 11, 5, 12syl3anc 1476 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → ((𝐴𝑊𝐶𝐶𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
146, 9, 13mp2and 673 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐴𝑅𝑤)
158simprd 479 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤𝑈𝐷)
16 simplrr 757 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐷𝑋𝐵)
174simp2d 1137 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
18 simpllr 754 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
19 ixxss12.4 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑈𝐷𝐷𝑋𝐵) → 𝑤𝑆𝐵))
205, 17, 18, 19syl3anc 1476 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → ((𝑤𝑈𝐷𝐷𝑋𝐵) → 𝑤𝑆𝐵))
2115, 16, 20mp2and 673 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤𝑆𝐵)
22 ixx.1 . . . . . 6 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
2322elixx1 12390 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵)))
2423ad2antrr 699 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵)))
255, 14, 21, 24mpbir3and 1427 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵))
2625ex 397 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)))
2726ssrdv 3759 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) → (𝐶𝑃𝐷) ⊆ (𝐴𝑂𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  wss 3724   class class class wbr 4787  (class class class)co 6794  cmpt2 6796  *cxr 10276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-fv 6040  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-xr 10281
This theorem is referenced by:  iccss  12447  iccssioo  12448  icossico  12449  iccss2  12450  iccssico  12451  iocssioo  12470  icossioo  12471  ioossioo  12472
  Copyright terms: Public domain W3C validator