Theorem iccss2 13338

Description: Condition for a closed interval to be a subset of another closed interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iccss2	⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem iccss2

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-icc 13273	. . . . . 6 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	elixx3g 13279	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
3	2	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
5	4	simp1d 1142	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6	4	simp2d 1143	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7	2	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
9	8	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
10	1	elixx3g 13279	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)))
11	10	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵))
12	11	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐷 ≤ 𝐵)
13	12	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐷 ≤ 𝐵)
14		xrletr 13078	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑤) → 𝐴 ≤ 𝑤))
15		xrletr 13078	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝐵))
16	1, 1, 14, 15	ixxss12 13286	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
17	5, 6, 9, 13, 16	syl22anc 838	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝ^*cxr 11167   ≤ cle 11169  [,]cicc 13269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-icc 13273

This theorem is referenced by:  ordtresticc  23126  iccconn  24735  icccvx  24864  oprpiece1res1  24865  oprpiece1res2  24866  pcoass  24940  dvlip  25914  c1liplem1  25917  dvgt0lem1  25923  ftc2ditglem  25968  ttgcontlem1  28848  unitssxrge0  33866  xrge0iifhmeo  33902