Theorem ioossioo 13243

Description: Condition for an open interval to be a subset of an open interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ioossioo	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem ioossioo

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13153	. 2 ⊢ (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
2		xrlelttr 12960	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝑤) → 𝐴 < 𝑤))
3		xrltletr 12961	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵) → 𝑤 < 𝐵))
4	1, 1, 2, 3	ixxss12 13169	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5085  (class class class)co 7313  ℝ^*cxr 11078   < clt 11079   ≤ cle 11080  (,)cioo 13149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-id 5505  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-ioo 13153

This theorem is referenced by:  difioo  31211  tpr2rico  31968  signsply0  32636  ftc1cnnclem  35908  ftc1anclem7  35916  ftc1anclem8  35917  ftc1anc  35918  ftc2nc  35919  ioossioobi  43299  dvbdfbdioolem1  43713  fourierdlem20  43912  fourierdlem72  43963  fourierdlem79  43970  fourierdlem103  43994  fourierdlem104  43995  ioorrnopnxrlem  44091  iooii  46470