MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioossioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioossioo 12828
Description: Condition for an open interval to be a subset of an open interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
ioossioo (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem ioossioo
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 12739 . 2 (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)})
2 xrlelttr 12546 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐶𝐶 < 𝑤) → 𝐴 < 𝑤))
3 xrltletr 12547 . 2 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐷𝐷𝐵) → 𝑤 < 𝐵))
41, 1, 2, 3ixxss12 12755 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  wss 3919   class class class wbr 5052  (class class class)co 7149  *cxr 10672   < clt 10673  cle 10674  (,)cioo 12735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-ioo 12739
This theorem is referenced by:  difioo  30516  tpr2rico  31212  signsply0  31878  ftc1cnnclem  35073  ftc1anclem7  35081  ftc1anclem8  35082  ftc1anc  35083  ftc2nc  35084  ioossioobi  42080  dvbdfbdioolem1  42496  fourierdlem20  42695  fourierdlem72  42746  fourierdlem79  42753  fourierdlem103  42777  fourierdlem104  42778  ioorrnopnxrlem  42874
  Copyright terms: Public domain W3C validator